2025年高考数学一轮讲义第9章 第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征

第5课时　离散型随机变量的分布列和数字特征[考试要求]　1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．1．随机变量的有关概念(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有____的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以________的随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．(2)离散型随机变量分布列的性质①pi__0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝__．3．两点分布如果P(A)＝p，则P(A)＝1－p，那么X的分布列为X01P1－pp我们称X服从两点分布或0－1分布．提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．4．离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值6/6 称E(X)＝__________＝__________为随机变量X的____或数学期望，数学期望简称____．它反映了离散型随机变量取值的________．(2)方差称D(X)＝__为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X的取值与其均值E(X)的________，并称__为随机变量X的标准差，记为σ(X)．5．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝______________．(a，b为常数)(2)D(aX＋b)＝____________．(a，b为常数)[常用结论]1．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．2．均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－(E(X))2．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1．(　　)(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)(3)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究．(　　)(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第三册P60练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是(　　)A．第一枚6点，第二枚2点B．第一枚5点，第二枚1点C．第一枚1点，第二枚6点D．第一枚6点，第二枚1点2．(人教A版选择性必修第三册P60练习T3改编)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝________．6/6 3．(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)已知随机变量X的分布列为X－101P121316若Y＝2X＋3，则E(Y)的值为________．4．已知离散型随机变量X的取值为有限个，E(X)＝72，D(X)＝3512，则E(X2)＝________．考点一　分布列的性质[典例1]　(1)(多选)设随机变量ξ的分布列为Pξ=k5＝ak(k＝1，2，3，4，5)，则(　　)A．a＝115B．P12<ξ<45＝15C．P110<ξ<12＝215D．P(ξ＝1)＝310(2)设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P121－qq－q2则q＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．[跟进训练]6/6 1．(1)若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，2]　　　　B．[1，2]C．(1，2]　D．(1，2)(2)设随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10，若随机变量η＝2ξ－1，则P(η<6)＝________．考点二　离散型随机变量的分布列及数字特征[典例2]　(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　离散型随机变量分布列的求解步骤[跟进训练]2．(1)编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________．6/6 (2)(2024年1月九省联考卷)盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．①求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；②记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点三　数字特征在决策中的应用[典例3]　(2024·湖北武汉模拟)口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止．(1)记总的抽取次数为X，求E(X)；(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲、乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球．采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止．记这种方案的总抽取次数为Y，求E(Y)并从实际意义解释E(Y)与(1)中的E(X)的大小关系．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用均值、方差进行决策的方法随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．[跟进训练]3．(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B6/6 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6/6