第47讲 离散型随机变量的分布列、均值与方差（解析版）

第47讲离散型随机变量的分布列、均值与方差1．随机变量的有关概念随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母，…表示．离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量分布列的概念及性质（1）离散型随机变量的分布列的概念设离散型随机变量X可能取的不同值为，，…，，X取每一个值(i＝1，2，…，n)的概率，则下表称为随机变量X的概率分布，简称为X的分布列.…………有时也用等式表示X的分布列．（2）离散型随机变量的分布列的性质①(i＝1，2，…，n)；②．3．必记结论（1）随机变量的线性关系若是随机变量，，是常数，则Y也是随机变量．（2）分布列性质的两个作用①利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．4．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量的分布列为：…………（1）称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．（2）称为随机变量的方差，它刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．5．均值与方差的性质微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 若，其中为常数，则也是随机变量，且；6．二项分布的期望、方差：若，则,.题型一：离散型随机变量分布列1．（黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考）设离散型随机变量的分布列为012340.20.10.10.3若随机变量，则等于（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7【答案】A【详解】因为，所以或.故选：A2．（全国高二课时练习）已知随机变量ξ只能取三个值，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（）A．B．C．[－3，3]D．[0，1]【答案】B【详解】解：由题意得：设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故，由，解得.所以公差的取值范围是.故选：B3．（全国高二课时练习）随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 ，则的值为（）A．B．C．110D．55【答案】B【详解】∵随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝故选：B.4．（全国）袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量，则ξ所有可能取值的个数是（）A．25B．10C．15D．9【答案】D【详解】由题意得：两个球的号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.故选：D5．（全国）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为，则“”表示试验的结果为（）A．第一枚为5点，第二枚为1点B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点C．第一枚为6点，第二枚为1点D．第一枚为4点，第二枚为1点【答案】C【详解】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，所以“X>4”即“X=5”，表示试验的结果为第一枚为6点，第二枚为1点，故选：C6．（全国）若为非负实数，随机变量的分布列为012微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 则的最大值为（）A．1B．C．D．2【答案】B【详解】由题分布列的性质，可得且，解得，又由，所以的最大值为.故选：B.7．（全国高二单元测试）设离散型随机变量的分布列为：123则的充要条件是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：由离散型随机变量X的分布列知：当EX=2时，，解得P1=P3，当P1=P3时，P1+P2+P3=2P1+P2=1.EX=P1+2P2+3P3=4P1+2P2=2.∴EX=2的充要条件是P1=P3.故选：C.8．（河南高二期末（理））若随机变量的分布列如下表，则的最大值是（）微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 A．B．C．D．【答案】A【详解】由分布列的性质，得，，，所以，当且仅当时，等号成立，故选：.9．（黑龙江哈尔滨三中高二月考）已知随机变量的概率分布如下：12345678910则（）A．B．C．D．【答案】C【详解】由离散型随机变量分布列的性质，可知，所以.故选：C.10．（全国）已知随机变量的分布列如表所示.0123若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，9，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 且，，，，∵，∴实数满足.故选：B.题型二：离散型随机变量的均值和方差1．（全国高二单元测试）已知离散型随机变量的分布列为123则的数学期望（）A．B．2C．D．3【答案】A【详解】.故选：A.2．（全国高二单元测试）已知随机变量，则随机变量的方差为（）A．B．C．D．【答案】D因为，所以.故选：D.3．（黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考）已知一组数据的方差是1，那么另一组数据，，，，，的方差是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D设，依题意得，则，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 即另一组数据，，，，，的方差是.故选：D4．（全国高二课时练习）设随机变量的方差，则的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C.故选：C.5．（全国高二课时练习）已知随机变量的分布列为，.则等于（）A．6B．9C．3D．4【答案】A由题意得,.故选：A.6．（全国高二课时练习）已知随机变量满足，则＝（）A．6B．8C．18D．20【答案】C【详解】∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.故选:C.7．（天津市蓟州区擂鼓台中学）为了展示中华汉字的无穷魅力，传递传统文化，提高学习热情，某校开展“中国汉字听写大会”的活动为响应学校号召高二9班组建了兴趣班，根据甲、乙两人近期8次成绩所得数据分别为甲:68，69，71，72，74，78，83，85;乙:65，70，70，73，75，80，82，85.（1）求甲、乙两人成绩的平均数和中位数;（2）现要从甲、乙两人中选派一人参加比赛，从统计学的角度你认为派哪位学生参加比较合适?【答案】（1）甲、乙的平均数、中位数分别为{75，73}、{75，74}；（2）甲成绩稳定.【详解】（1）甲的平均数为=(68+69+71+72+74+78+83+85)÷8=75，中位数为(72+74)÷2=73，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 乙的平均数为=(65+70+70+73+75+80+82+85)÷8=75，中位数为(73+75)÷2=74.（2）甲的方差为s12=[(68-75)2+(69-75)2+(71-75)2+(72-75)2+(74-75)2+(78-75)2+(83-75)2+(85-75)2]÷8=35.5，乙的方差为s22=[(65-75)2+(70-75)2+(70-75)2+(73-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(82-75)2+(85-75)2]÷8=41，∵s12<s22，∴甲成绩稳定.8．（四川南充·（理））随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为.（1）求的分布列；（2）求和.【答案】（1）分布列见解析；（2）3.5；2.92.【详解】（1）由题意，的可能取值为且各点面的概率均为，∴的分布列为123456（2）；.9．（福建省永春第二中学高二期末）设随机变量具有分布列：12345求这个随机变量的与【答案】3，27【详解】，因为，微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 ，所以．10．（浙江丽水·高二课时练习）为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两种检测是否合格相互独立．（1）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；（2）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量表示这3台产品的获利，求的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为【详解】（1）设事件表示“每台新型防雾霾产品不能销售”事件表示“每台新型防雾霾产品能销售”所以所以（2）根据（1）可知，“每台新型防雾霾产品能销售”的概率为“每台新型防雾霾产品不能销售”的概率为所有的可能取值为：，，，则所以的分布列为微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 所以则11．（浙江丽水·高二课时练习）某运动员射击一次所得环数的分布列如下：89100．40．40．2现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；（2）求的分布列和数学期望．【答案】（1）0.36；（2）见解析，9.2【详解】（1）两次都命中8环的概率为两次都命中9环的概率为两次都命中10环的概率为设该运动员两次命中的环数相同的概率为（2）的可能取值为8，9，10，，，的分布列为89100．160．480．3612．（甘肃城关·兰州一中高三月考（理））现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538 （Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用，分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）（3）【详解】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率（Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，由于与互斥，故所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故，．所以ξ的分布列是ξ024P随机变量ξ的数学期望微信公众号：数学讲义试卷囡囡老师微信jiaoyu376word版下载QQ群：457512538