备考2024届高考数学一轮复习强化训练第十章计数原理概率随机变量及其分布第6讲离散型随机变量及其分布列数字特征

第6讲离散型随机变量及其分布列、数字特征1.[命题点1]设X是一个离散型随机变量，其分布列为X01P9a2－a3－8a则常数a的值为（　A　）A.13B.23C.13或23D.－13或－23解析　由分布列的性质可知0≤9a2－a≤1，0≤3－8a≤1，9a2－a+3－8a=1，解得a＝13.2.[命题点2]已知ξ的分布列如表所示.ξ012P？！？其中，“！”处完全无法看清，尽管两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下列各式中：①E（ξ）＝1；②D（ξ）＞1；③P（ξ＝0）≤12，正确的个数是（　C　）A.0B.1C.2D.3解析　设“？”＝a，“！”＝b，则a，b∈[0，1]，2a＋b＝1.①E（ξ）＝0×a＋1×b＋2×a＝2a＋b＝1，因此①正确；②D（ξ）＝（0－1）2×a＋（1－1）2×b＋（2－1）2×a＝2a≤1，因此②不正确；③P（ξ＝0）＝a＝1－b2≤12，因此③正确.3.[命题点2/2023南昌市一模]某班准备购买班服，确定从A，B两种款式中选出一种统一购买.现在全班50位同学赞成购买A，B款式的人数分别为20，30，为了尽量统一意见，准备在全班进行3轮宣传，每轮宣传从全班同学中随机选出一位，介绍他赞成所选款式的理由.假设每轮宣传后，赞成该同学所选款式的不会改变意见，不赞成该同学所选款式的同学会有5位改变意见，改成赞成该同学所选款式.（1）计算第2轮宣传选到的同学赞成A款式的概率.（2）设经过3轮宣传后赞成A款式的人数为X，求随机变量X的数学期望.解析　（1）记第i轮宣传选到的同学赞成A款式为事件Ai，第i轮宣传选到的同学赞成B款式为事件Bi，i＝1，2，3.因为P（A1A2）＝2050×2550＝15，P（B1A2）＝3050×1550＝950，所以第2轮宣传选到的同学赞成A款式的概率P（A2）＝P（A1A2）＋P（B1A2）＝15＋950＝1950. （2）经过3轮宣传后赞成A款式的人数X的所有可能取值为5，15，25，35，则P（X＝5）＝P（B1B2B3）＝3050×3550×4050＝42125，P（X＝15）＝P（A1B2B3）＋P（B1A2B3）＋P（B1B2A3）＝2050×2550×3050＋3050×1550×3050＋3050×3550×1050＝39125，P（X＝25）＝P（B1A2A3）＋P（A1B2A3）＋P（A1A2B3）＝3050×1550×2050＋2050×2550×2050＋2050×2550×2050＝29125，P（X＝35）＝P（A1A2A3）＝2050×2550×3050＝325.所以X的分布列为X5152535P421253912529125325所以E（X）＝5×42125＋15×39125＋25×29125＋35×325＝40925.4.[命题点3/2023南宁市第一次适应性测试]在某次现场招聘会上，某公司计划从甲和乙两位应聘人员中录用一位，规定从6个问题中随机抽取3个问题作答.假设甲能答对的问题有4个，乙每个问题能答对的概率为23.（1）求甲在第一个问题答错的情况下，第二个和第三个问题均答对的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙谁被录用的可能性更大.解析　（1）记“甲第一个问题答错”为事件A，“甲第二个和第三个问题均答对”为事件B，则P（A）＝26＝13，P（AB）＝13×45×34＝15，∴甲在第一个问题答错的条件下，第二个和第三个问题均答对的概率为P（B｜A）＝P（AB）P（A）＝1513＝35.（2）设甲答对的问题数为X，则X的所有可能取值为1，2，3.P（X＝1）＝C41C22C63＝15，P（X＝2）＝C42C21C63＝35，P（X＝3）＝C43C20C63＝15，∴X的分布列为X123P153515E（X）＝1×15＋2×35＋3×15＝2，D（X）＝（1－2）2×15＋（2－2）2×35＋（3－2）2×15＝25.设乙答对的问题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3.P（Y＝0）＝（1－23）3＝127，P（Y＝1）＝C31×23×（1－23）2＝29， P（Y＝2）＝C32×（23）2×（1－23）＝49，P（Y＝3）＝（23）3＝827，∴Y的分布列为Y0123P1272949827E（Y）＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2，（另解：∵Y～B（3，23），∴E（Y）＝3×23＝2）D（Y）＝（0－2）2×127＋（1－2）2×29＋（2－2）2×49＋（3－2）2×827＝23.（另解：DY=3×23×1－23=23）由E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y）可得，甲被录用的可能性更大.