备考2024届高考数学一轮复习分层练习第十章计数原理概率随机变量及其分布第6讲离散型随机变量及其分布列数字特征

第6讲离散型随机变量及其分布列、数字特征1.[2023福建福州联考]已知随机变量X的分布列为P（X＝i）＝ia（i＝1，2，3，4，5），则P（2≤X＜5）＝（　C　）A.13B.12C.35D.910解析　由分布列的性质，知∑i=15ia＝1，解得a＝15，故P（2≤X＜5）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝4）＝215＋315＋415＝915＝35.故选C.2.[2024江苏镇江模拟]已知随机变量X的分布列如下表所示，若E（X）＝13，则DX=（　B　）X－201Pa13bA.4981B.89C.2327D.2381解析　因为E（X）＝13，且各概率之和为1，所以－2a+0×13＋b＝13，a＋13＋b=1，解得a＝19，b＝59，所以D（X）＝19×（－2－13）2＋13×（0－13）2＋59×（1－13）2＝89.故选B.3.设0＜a≤b，随机变量X的分布列是X012Paba＋b则E（X）的取值范围是（　D　）A.（12，1）B.（1，54]C.（1，32）D.[54，32）解析　由分布列的性质可得0<a<1，0<b<1，0<a＋b<1，且a＋b＋（a＋b）＝2a＋2b＝1，即a＋b＝12，可得a＝12－b，结合0＜a≤b，得14≤b＜12.因为E（X）＝0×a＋1×b＋2×（a＋b）＝1＋b，所以54≤E（X）＜32.故选D.4.[浙江高考]设0＜a＜1.随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在（0，1）内增大时，（　D　）A.D（X）增大B.D（X）减小C.D（X）先增大后减小 D.D（X）先减小后增大解析　由分布列得E（X）＝1+a3.解法一　D（X）＝（1+a3－0）2×13＋（1+a3－a）2×13＋（1+a3－1）2×13＝29（a－12）2＋16，所以当a在（0，1）内增大时，D（X）先减小后增大.故选D.解法二　D（X）＝E（X2）－E2（X）＝0＋a23＋13－（a+1）29＝2a2－2a+29＝29[（a－12）2＋34]，所以当a在（0，1）内增大时，D（X）先减小后增大.故选D.5.[多选]已知14＜p＜1，随机变量X的分布列如下，则下列结论正确的有（　BD　）X012Pp－p21－pp2A.P（X＝2）的值最大B.P（X＝0）＜P（X＝1）C.E（X）随p的增大而减小D.E（X）随p的增大而增大解析　当p＝12时，P（X＝2）＝14，P（X＝1）＝1－12＝12＞14，A错误；因为14＜p＜1，所以p－p2＝p（1－p）＜1－p，即P（X＝0）＜P（X＝1），B正确；E（X）＝1－p＋2p2＝2（p－14）2＋78，因为14＜p＜1，所以E（X）随p的增大而增大，C错误，D正确.6.[多选]已知A＝B＝{1，2，3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P（a，b），设事件“点P恰好落在直线x＋y＝n上”对应的随机变量为X，PX=n＝Pn，X的数学期望和方差分别为E（X），D（X），则（　BCD　）A.P4＝2P2B.P（3≤X≤5）＝79C.E（X）＝4D.D（X）＝43解析　因为A＝B＝{1，2，3}，点P（a，b）恰好落在直线x＋y＝n上，所以X的值可以为2，3，4，5，6.又从A，B中分别任取一个数，共有9种情况，所以P（X＝2）＝19，P（X＝3）＝29，P（X＝4）＝39＝13，P（X＝5）＝29，P（X＝6）＝19.对于A，P4＝3P2，故A不正确；对于B，P（3≤X≤5）＝29＋13＋29＝79，故B正确；对于C，E（X）＝2×19＋3×29＋4×13＋5×29＋6×19＝369＝4，故C正确；对于D，D（X）＝（2－4）2×19＋（3－4）2×29＋（4－4）2×13＋（5－4）2×29＋（6－4）2×19＝43，故D正确.故选BCD.7.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）. 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分.若甲参加活动，则甲得分X的均值E（X）＝　421　.解析　由题意知，“三位递增数”总共有C93＝84（个），随机变量X的取值为0，－1，1，因此，P（X＝0）＝C83C93＝23，P（X＝－1）＝C42C93＝114，P（X＝1）＝1－114－23＝1142.所以X的分布列为X0－11P231141142则E（X）＝0×23＋（－1）×114＋1×1142＝421.8.[2024惠州市一调]学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得－5分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为p1，p2.（1）用X表示教师乙的总得分，求X的分布列与期望.（2）如果｜p1－p2｜≥2｜p12－p22｜5+0.1，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别.请根据上述要求判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别.解析　（1）根据题意知，X的所有可能取值为－15，0，15，30.可得P（X＝－15）＝0.4×0.5×0.75＝0.15，P（X＝0）＝0.6×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.25＝0.425，P（X＝15）＝0.4×0.5×0.25＋0.6×0.5×0.25＋0.6×0.5×0.75＝0.35，P（X＝30）＝0.6×0.5×0.25＝0.075.∴X的分布列为X－1501530P0.150.4250.350.075∴E（X）＝－15×0.15＋0×0.425＋15×0.35＋30×0.075＝5.25.（2）设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A，B，C，由题意知A，B，C相互独立，则教师甲获得冠军的概率p1＝P（ABC）＋P（ABC）＋P（ABC）＋P（ABC）　＝0.4×0.5×0.75＋0.6×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.75＋0.4×0.5×0.25　＝0.15＋0.225＋0.15＋0.05 　＝0.575.由对立事件的概率公式，可得p2＝1－p1＝0.425，∴2｜p12－p22｜5+0.1＝0.16＝0.4，｜p1－p2｜＝0.15.∵｜p1－p2｜＜2｜p12－p22｜5+0.1，∴甲、乙获得冠军的实力没有明显差别.9.[2023重庆市三检]在“五一”节日期间，某商场准备举行有奖促销活动，顾客购买超过一定金额的商品后均有一次抽奖机会.抽奖规则如下：将质地均匀的转盘平均分成n（n∈N*，n≥3）个扇区，每个扇区涂一种颜色，所有扇区的颜色各不相同，顾客抽奖时连续转动转盘三次，记录每次转盘停止时指针所指扇区内的颜色（若指针指在分界线处，本次转动无效，需重转一次），若三次颜色都一样，则获得一等奖；若其中两次颜色一样，则获得二等奖；若三次颜色均不一样，则获得三等奖.（1）若一、二等奖的获奖概率之和不大于49，求n的最小值；（2）规定一等奖返还现金108元，二等奖返还现金60元，三等奖返还现金18元，在n取（1）中的最小值的情况下，求顾客在一次抽奖中获奖金额的分布列和数学期望.解析　（1）设“获得三等奖”为事件A，由题意得P（A）≥59，又P（A）＝An3n3＝（n－1)(n－2）n2，∴（n－1)(n－2）n2≥59，整理得4n2－27n＋18≥0，解得n≥6或n≤34（舍去）（注意n∈N*），∴n的最小值为6.（2）设顾客在一次抽奖中获奖金额为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为108，60，18，根据题意得P（ξ＝108）＝C6163＝136，P（ξ＝60）＝C62C21C3163＝1536＝512，P（ξ＝18）＝C63A3363＝2036＝59，∴ξ的分布列为ξ1086018P13651259∴E（ξ）＝108×136＋60×512＋18×59＝38.10.[2024南昌市模拟]党建知识竞赛有两关，某学校代表队有四名队员，这四名队员通过比赛的概率见下表：队员第一关第二关 甲3423乙3423丙2312丁2312比赛规则是：从四名队员中随机选出两名队员分别参加比赛，每个队员通过第一关可以得60分，且有资格参加第二关比赛，若没有通过，得0分且没有资格参加第二关比赛，若通过第二关可以再得40分，若没有通过，不再加分.两名参赛队员所得总分为该代表队的得分，代表队得分不低于160分，可以获得“党建优秀代表队”称号.假设两名参赛队员的结果互不影响.（1）求这次比赛中，该校获得“党建优秀代表队”称号的概率；（2）若这次比赛中，选中了甲、乙两名队员参赛，记该代表队的得分为X，求随机变量X的分布列、期望和方差.解析　（1）记“选甲、乙两名队员参赛”为事件A1，“选甲、乙其中一人，丙、丁其中一人参赛”为事件A2，“选丙、丁两名队员参赛”为事件A3，“获得‘党建优秀代表队’称号”为事件B.则P（A1）＝C22C42＝16，P（A2）＝C21C21C42＝23，P（A3）＝C22C42＝16.P（B）＝P（A1B＋A2B＋A3B）＝16×（34）2×[（23）2＋2×23×13]＋23×34×23×（23×12＋13×12＋23×12）＋16×（23）2×[（12）2＋2×12×12]＝112＋518＋118＝512.（2）X的可能取值为0，60，100，120，160，200.P（X＝0）＝（14）2＝116，P（X＝60）＝2×34×13×14＝18，P（X＝100）＝2×34×23×14＝14，P（X＝120）＝（34）2×（13）2＝116，P（X＝160）＝（34）2×2×23×13＝14，P（X＝200）＝（34）2×（23）2＝14.所以随机变量X的分布列为X060100120160200P11618141161414 所以E（X）＝0×116＋60×18＋100×14＋120×116＋160×14＋200×14＝130，D（X）＝（0－130）2×116＋（60－130）2×18＋（100－130）2×14＋（120－130）2×116＋（160－130）2×14＋（200－130）2×14＝3350.11.某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响.现计划购置甲、乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：品牌价格/（元/件）使用寿命/月甲10007或8乙4003或4已知甲品牌使用7个月或8个月的概率均为12，乙品牌使用3个月或4个月的概率均为12.（1）若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中，任选2件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于4个月的概率.（2）现有两种购置方案，方案一：购置2件甲品牌；方案二：购置1件甲品牌和2件乙品牌（甲、乙两品牌轴承搭配使用）.试从性价比（即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比）的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？解析　（1）电动机工作时间不少于4个月共有三种情况：①装入两件甲品牌，概率为C42C62＝25；②装入一件甲品牌，一件乙品牌，且乙品牌的使用寿命为4个月，概率为C41×C21C62×12＝415；③装入两件乙品牌，且两件的使用寿命均为4个月，概率为C22C62×12×12＝160.∴电动机可工作时间不少于4个月的概率P＝25＋415＋160＝4160.（2）若采用方案一，设电动机可工作时间为X（单位：月），则X的可能取值为7，8，P（X＝8）＝12×12＝14，P（X＝7）＝1－P（X＝8）＝34，∴X的分布列为X78P3414∴E（X）＝7×34＋8×14＝294，它与购置轴承的成本之比为E（X）1000+1000＝298000.若采用方案二，设两件乙品牌轴承使用寿命之和为Y（单位：月），则Y的可能取值为6，7，8，P（Y＝6）＝12×12＝14，P（Y＝7）＝2×12×12＝12，P（Y＝8）＝12×12＝14.设甲品牌轴承的使用寿命为M（单位：月），此时电动机可工作时间为Z（单位：月），则Z的可能取值为6，7，8，P（Z＝6）＝P（Y＝6）＝14， P（Z＝7）＝P（M＝7，Y≥7）＋P（M＝8，Y＝7）＝12×34＋12×12＝58，P（Z＝8）＝P（M＝Y＝8）＝12×14＝18，∴Z的分布列为Z678P145818∴E（Z）＝6×14＋7×58＋8×18＝558，它与购置轴承的成本之比为E（Z）1000+400+400＝112880.∵298000＜112880，∴从性价比的角度考虑，方案二更实惠.12.[设问创新/2024长沙一中等校联考]甲、乙两家公司招聘高级软件工程师，应聘程序都是应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过项数越多，聘用可能性越大，程序员小明准备应聘这两家公司.已知小明应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为23；小明应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为56，23，m，其中0＜m＜1.各项专业技能测试是否通过相互独立.（1）若m＝23，分别求小明应聘甲、乙两家公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率.（2）若甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，小明只能应聘其中一家，则当m的取值在什么范围内时，小明应选择应聘乙公司？解析　（1）设A＝“小明应聘甲公司恰好通过两项专业技能测试”，B＝“小明应聘乙公司恰好通过两项专业技能测试”，根据题意可得P（A）＝C32×（23）2×（1－23）＝49，P（B）＝56×C21×23×（1－23）＋（1－56）×23×23＝49.（2）设小明应聘甲公司通过测试的项数为X，应聘乙公司通过测试的项数为Y，根据题意可知，X～B（3，23），则E（X）＝3×23＝2.Y的所有可能取值为0，1，2，3，P（Y＝0）＝（1－56）×（1－23）×（1－m）＝118－118m，P（Y＝1）＝56×（1－23）×（1－m）＋（1－56）×23×（1－m）＋（1－56）×（1－23）×m＝718－13m，P（Y＝2）＝56×23×（1－m）＋（1－56）×23×m＋56×（1－23）×m＝59－16m，P（Y＝3）＝56×23×m＝59m，则随机变量Y的分布列为Y0123 P118－118m718－13m59－16m59mE（Y）＝（118－118m）×0＋（718－13m）×1＋（59－16m）×2＋59m×3＝32＋m.若E（Y）＞E（X），则32＋m＞2，故12＜m＜1，故当m的取值范围是（12，1）时，小明应选择应聘乙公司.