2025年高考数学一轮讲义第9章 第1课时　两个计数原理、排列与组合

第1课时　两个计数原理、排列与组合[考试要求]　1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2．理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3．会用两个计数原理及排列、组合分析和解决一些简单的实际问题．1．两个计数原理分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法2．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照__________排成一列组合作为一组3．排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有________的个数公式Anm＝n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)＝__Cnm＝AnmAmm＝1m！[n(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)]＝__7/7 性质Ann＝____，0！＝__Cnn＝__，Cn0＝__[常用结论]排列数、组合数常用公式1Anm＝n-m+1Anm-1.2Anm＝nAn-1m-1.(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.4kCnk＝nCn-1k-1，Cnm＝Cnn-m.5Cnm+Cn-1m+…+Cm+1m+Cmm＝Cn+1m+1一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　)(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第三册P11习题6.1T2改编)如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．则从甲地到丁地的不同路线共有(　　)A．12条　B．15条C．18条　D．72条2．(人教A版选择性必修第三册P19例4改编)从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，可以组成的无重复数字的三位偶数的个数为(　　)A．52　B．56C．48　D．723．(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T13改编)从2名女生，4名男生中选7/7 3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．4．(易错题)(人教A版选择性必修第三册P12习题6.1T8改编)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为____________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有____________种(用数字作答)．考点一　两个计数原理及综合应用[典例1]　(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)A．24　　B．18　C．12　　D．9(2)(2024·江苏常州模拟)中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，…，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域(如区域1与区域5)所涂颜色相同．若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有(　　)A．1050种　B．1260种C．1302种　D．1512种(3)(2023·山东济南二模)已知abc表示一个三位数，如果满足a>b且c>b，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共________个(7/7 用数字作答)．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[拓展变式]　若本例(1)中CD段马路由于正在维修(如图)，暂时不通，则从E到G的最短路径有________条．　利用两个基本计数原理解决问题的步骤提醒：涂色问题的两种常用解题方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；以颜色为主分类讨论，用分类加法计数原理分析．[跟进训练]1．(1)(2024·山东菏泽模拟)某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为(　　)A．288种　B．336种C．576种　D．1680种(2)(2023·南京六校联考)如图，用4种不同的颜色把图中A，B，C，D7/7 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法种数为(　　)A．144种　B．73种C．48种　D．32种(3)3600有________个正约数．考点二　排列、组合问题[典例2]　(1)(2024·海南模拟)某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一场或最后一场，讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法共有(　　)A．34种　B．56种C．96种　D．144种(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求解排列、组合应用问题的六种常用方法7/7 提醒：先选后排，先组合后排列，恰当的分类，合理的分步．分类标准要明确，做到不重不漏；分步要步步独立，步骤完整．[跟进训练]2．(1)(2024·四川泸县模拟)7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、丙不相邻，则不同排法的种数是(　　)A．60　B．120C．240　D．360(2)(2023·唐山二模)从2艘驱逐舰和6艘护卫舰中选出3艘舰艇分别担任防空、反潜、巡逻任务，要求其中至少有一艘驱逐舰，则不同的安排方法种数为(　　)A．336　B．252C．216　D．180(3)(2024·浙江平湖模拟)若一个三位数M的各个数位上的数字之和为8，则称M是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”，那么“叔同数”共有________个．考点三　分组、分配问题[典例3]　(1)把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法种数为(　　)A．41种　B．56种　C．156种　D．252种(2)(2023·青岛二模)某教育局为振兴乡村教育，将5名教师安排到3所乡村学校支教，若每名教师仅去一所学校，每所学校至少安排1名教师，则不同的安排情况有(　　)A．300种　B．210种C．180种　D．150种[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：(1)相同元素的分配问题，常用“挡板法”；(2)不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；7/7 (3)有限制条件的分配问题，采用分类求解．提醒：对于部分均分问题，若有m组元素个数相等，则分组时应除以Amm.[跟进训练]3．(1)甲、乙等4名志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有(　　)A．12种　B．18种C．24种　D．36种(2)现有5支救援队前往A，B，C3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两个受灾点中的一个，则不同的安排方法数是(　　)A．72种　B．84种C．88种　D．100种7/7