2025年高考数学一轮讲义第8章 第8课时　抛物线

第8课时　抛物线[考试要求]　1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3．了解抛物线的简单应用.4．理解数形结合的思想．1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离____的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的____，直线l叫做抛物线的____．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点____________对称轴y＝0x＝0焦点Fp2，0________________________F0，-p2离心率e＝1准线方程____________x＝p2y＝－p2____________范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R[常用结论]1．与焦点弦有关的常用结论如图，倾斜角为α的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则有8/8 (1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p；(4)焦半径：|AF|＝p1-cosαF|＝p1+cosα，特别地1AF+1BF＝2p；(5)以弦AB为直径的圆与准线相切；(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(7)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(8)焦点弦端点与顶点构成的三角形面积：S△AOB＝p22sinα＝12|OF|·|y1－y2|．2．若A，B为抛物线y2＝2px(p＞0)上异于原点O的两点，则OA⊥OB是直线AB过定点(2p，0)的充要条件．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)(3)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是x＝－a4．(　　)(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线y＝14x2的准线方程是(　　)A．y＝－1　B．y＝－2C．x＝－1　D．x＝－22．(人教A版选择性必修第一册P133练习T3改编)若抛物线y＝4x2上的一点M8/8 到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)A．1716　B．1516C．78　D．03．(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)A．9　B．8C．7　D．64．(人教A版选择性必修第一册P134例3改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．考点一　抛物线的定义及应用　动点轨迹的判定[典例1]　(1)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为(　　)A．y2＝2x　　　　B．y2＝4xC．y2＝－4x　D．y2＝－8x(2)动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　)A．直线　B．椭圆C．双曲线　D．抛物线[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　抛物线上的点到定点的距离及最值[典例2]　(1)(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝(　　)A．7　　B．6C．5　　D．4(2)已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.8/8 若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　抛物线定义的应用规律[跟进训练]1．(1)(2024·广东珠海模拟)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线l与坐标轴交于点N，M是抛物线上一点，若|FN|＝|FM|，则△FMN的面积为(　　)A．4　　B．23C．22　　D．2(2)已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上的一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________．考点二　抛物线的标准方程与几何性质[典例3]　(1)(多选)过点(1，－2)的抛物线的标准方程可能是(　　)A．y2＝4x　B．y2＝－4xC．x2＝－12y　D．x2＝12y(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．求抛物线的标准方程的方法8/8 (1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，为避免过多的讨论，通常依据焦点所在的位置，将抛物线的标准方程设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)．2．抛物线性质的应用要树立两个意识(1)转化意识：“见准线想焦点，见焦点想准线”．(2)图形意识：借助平面图形的性质简化运算．[跟进训练]2．(1)(2023·湖北武汉二模)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝(　　)A．3　　B．6C．9　　D．12(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为(　　)A．y2＝8x　B．y2＝4xC．y2＝2x　D．y2＝x(3)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为________．考点三　直线与抛物线的位置关系[典例4]　(1)(多选)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－3(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)A．p＝2B．|MN|＝83C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形8/8 (2)抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．(3)重视在选择、填空题中有关结论的灵活应用．[跟进训练]3．(1)(2024·广东深圳模拟)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k(x＋1)与C交于A，B两点(A在B的左边)，则4|AF|＋|BF|的最小值是(　　)A．10　　B．9C．8　　D．5(2)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点A(1，1)在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(　　)A．C的准线为y＝－1B．直线AB与C相切C．|OP|·|OQ|＞|OA|2D．|BP|·|BQ|＞|BA|2如图，假设抛物线方程为x2＝2py(p＞0),过抛物线准线y＝－p2上一点P(x0，y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为A，B，其坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则以点P和两切点A，B围成的△PAB中，有如下的常见结论：8/8 (1)抛物线在A处的切线方程：x1x＝p(y＋y1)，抛物线在B处的切线方程：x2x＝p(y＋y2)，直线AB的方程：x0x＝2py0+y2＝p(y0＋y)；(2)直线AB过抛物线的焦点；(3)过F的直线与抛物线交于A，B两点，以A，B分别为切点作两条切线，则这两条切线的交点P(x0，y0)的轨迹即为抛物线的准线；(4)PF⊥AB；(5)AP⊥PB；(6)直线AB的中点为M，则PM平行于抛物线的对称轴．[典例1]　(多选)阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称△PAB为“阿基米德三角形”．已知抛物线x2＝8y的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为x－y＋2＝0，弦AB的中点为C，则关于“阿基米德三角形”PAB，下列结论正确的是(　　)A．点P(3，－2)　B．PC⊥x轴C．PA⊥PB　D．PF⊥AB[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例2]　(2021·全国乙卷)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p的值；(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8/8 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8/8