2025年高考数学一轮讲义第8章 第3课时　圆的方程

第3课时　圆的方程[考试要求]　1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．1．圆的定义及方程定义平面上到____的距离等于____的点的集合(轨迹)标准方程_____________________________圆心__________，半径r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心__，半径____提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点-D2，-E2；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则____________________________________．(2)若M(x0，y0)在圆上，则____________________________________．(3)若M(x0，y0)在圆内，则____________________________________．[常用结论]1．圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　)7/7 (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0．(　　)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x02+y02＋Dx0＋Ey0＋F＞0．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第一册P85练习T3改编)已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)A．x2＋y2＝2　B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝1　D．x2＋y2＝42．(人教A版选择性必修第一册P84例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝43．(人教A版选择性必修第一册P88练习T2改编)若点P(1，1)在圆C：x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是(　　)A．(－2，＋∞)　B．-2，-12C．-2，12　D．(－2，2)4．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．考点一　圆的方程[典例1]　(1)(多选)(2023·辽宁葫芦岛二模)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为(　　)A．(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－2)2＋(y－3)2＝137/7 C．x-432＋y-732＝22D．x-852＋(y－1)2＝95(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求圆的方程的两种方法(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．[跟进训练]1．(1)若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　)A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．考点二　与圆有关的最值问题　斜率型、截距型、距离型最值问题[典例2]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：(1)yx的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7/7 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　建立函数关系求最值[典例3]　设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则PA·PB的最大值为________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用对称性求最值[典例4]　已知M，N分别是曲线C1：x2＋y2－4x－4y＋7＝0，C2：x2＋y2－2x＝0上的两个动点，P为直线x＋y＋1＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)A．2　　B．3　C．2　　D．3[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)斜率型：形如μ＝y-bx-a形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．(2)截距型：形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)距离型：形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．2．建立函数关系式求最值问题的解题策略根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、单调法等，利用基本不等式求最值．3．求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：7/7 (1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．[跟进训练]2．(1)(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　)A．1＋322　　　B．4C．1＋32　D．7(2)已知点P(x，y)为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则PC·PO(O为坐标原点)的取值范围是(　　)A．[－3，1]　B．[－1，1]C．[－1，3]　D．[1，3](3)(2024·广东惠州模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上动点，P是x轴上动点，则|PN|－|PM|的最大值是________．考点三　与圆有关的轨迹问题[典例5]　已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．提醒：注意特殊点的取舍．7/7 [跟进训练]3．如图所示，两根杆分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，求杆的交点P的轨迹方程．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－m，0)，B(m，0)．又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得x+m2+y2＝λx-m2+y2，两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，x-λ2+1λ2-1m2＋y2＝4λ2m2λ2-12，轨迹为以点λ2+1λ2-1m，0为圆心，2λmλ2-1为半径的圆．[典例]　(1)(多选)(2024·海南中学模拟)已知在平面直角坐标系Oxy中，A(－2，0)，B(4，0)．点P满足PAPB＝12，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是(　　)A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝16　B．在C上存在点D，使得D到点(1，1)的距离为107/7 C．在C上存在点M，使得MO＝2MA　D．C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为9(2)在平面直角坐标系Oxy中，设点A(1，0)，B(3，0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在点P，使得|PA|＝2|PB|，|PC|＝|PD|，则实数a的取值范围是________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7/7