2024年高考数学一轮复习讲义（学生版）第8章　§8.3　圆的方程

§8.3　圆的方程考试要求　1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．圆的定义和圆的方程定义平面上到的距离等于的点的集合叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心C_______半径为_______一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心C_______半径r＝_______2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|<r⇔M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．常用结论1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．3．圆心在任一弦的垂直平分线上．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a为半径的圆．(　　)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)教材改编题1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝14 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝22．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为(　　)A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．[－2,0]D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)3．(多选)下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是(　　)A．(0,2)B．(3,3)C．(－2,2)D．(4,1)题型一　圆的方程例1　(1)(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________________________________________________________________________.(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　求圆的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．跟踪训练1　(1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是(　　)A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝4(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为____________．题型二　与圆有关的轨迹问题例2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．4 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2　(2023·宜昌模拟)已知定点M(1,0)，N(2,0)，动点P满足|PN|＝|PM|.(1)求动点P的轨迹C的方程；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三　与圆有关的最值问题命题点1　利用几何性质求最值例3　(2022·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)的最大值和最小值；(2)y－x的最小值；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(3)x2＋y2的最大值和最小值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2　利用函数求最值例4　(2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则·的最大值为________．4 延伸探究　若将本例改为“设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)”，则|＋|的最大值为________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华　与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．跟踪训练3　(1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　)A．6B．25C．26D．36(2)若点P(x，y)在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，则的最大值为________．4