2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.3　圆的方程

§8.3　圆的方程考试要求　1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．知识梳理1．圆的定义和圆的方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心C半径r＝2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．常用结论1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．3．圆心在任一弦的垂直平分线上．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　√　)(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2,1)为圆心，a为半径的圆．(　×　)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　√　)(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　√　)教材改编题1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)14 A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案　D解析　因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.2．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为(　　)A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．[－2,0]D．(－∞，－2]∪[0，＋∞)答案　B解析　由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2.3．(多选)下列各点中，在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的内部的是(　　)A．(0,2)B．(3,3)C．(－2,2)D．(4,1)答案　AD解析　由(0－1)2＋(2＋2)2＜25知(0,2)在圆内；由(3－1)2＋(3＋2)2＞25知(3,3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2,2)在圆上，由(4－1)2＋(1＋2)2＜25知(4,1)在圆内．题型一　圆的方程例1　(1)(2022·全国乙卷)过四点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案　(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或2＋2＝或2＋(y－1)2＝解析　依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.若过(0,0)，(4,0)，(－1,1)，则14 解得满足D2＋E2－4F>0，所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13；若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则解得满足D2＋E2－4F>0，所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5；若过(0,0)，(4,2)，(－1,1)，则解得满足D2＋E2－4F>0，所以圆的方程为x2＋y2－x－y＝0，即2＋2＝；若过(－1,1)，(4,0)，(4,2)，则解得满足D2＋E2－4F>0，所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－＝0，即2＋(y－1)2＝.(2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为________．答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝5解析　方法一　设⊙M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法二　设⊙M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则M，∴解得∴⊙M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.14 方法三　设A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半径为r，则kAB＝＝－，AB的中点坐标为，∴AB的垂直平分线方程为y－＝3，即3x－y－4＝0.联立解得∴M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.思维升华　求圆的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．跟踪训练1　(1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是(　　)A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝4答案　A解析　根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.(2)若圆C经过坐标原点，且圆心在直线y＝－2x＋3上运动，当半径最小时，圆的方程为____________．答案　2＋2＝解析　设圆心坐标为(a，－2a＋3)，则圆的半径r＝＝＝.当a＝时，rmin＝.故所求圆的方程为2＋2＝.题型二　与圆有关的轨迹问题14 例2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解　(1)方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．方法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，且M是线段BC的中点，所以由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．思维升华　求与圆有关的轨迹问题的常用方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．跟踪训练2　(2023·宜昌模拟)已知定点M(1,0)，N(2,0)，动点P满足|PN|＝|PM|.(1)求动点P的轨迹C的方程；14 (2)已知点B(6,0)，点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程．解　(1)设动点P的坐标为(x，y)，因为M(1,0)，N(2,0)，且|PN|＝|PM|，所以＝·，整理得x2＋y2＝2，所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.(2)设点Q的坐标为(x，y)，点A的坐标为(xA，yA)，因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，所以＝2，即(x－xA，y－yA)＝2(6－x，－y)，解得又点A在轨迹C上运动，由(1)有(3x－12)2＋(3y)2＝2，化简得(x－4)2＋y2＝，即点Q的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝.题型三　与圆有关的最值问题命题点1　利用几何性质求最值例3　(2022·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)的最大值和最小值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．解　(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆．设＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由＝，解得k2＝3，∴kmax＝，kmin＝－.14 ∴max＝，min＝－.(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±，故(y－x)min＝－2－.(3)x2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4.命题点2　利用函数求最值例4　(2023·湘潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则·的最大值为________．答案　12解析　由题意，得＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.延伸探究　若将本例改为“设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)”，则|＋|的最大值为________．答案　10解析　由题意，知＝(－x,2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，14 故y2＝－(x－3)2＋4，所以|＋|＝＝2.由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|＋|的值最大，最大值为2×＝10.思维升华　与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题．(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．跟踪训练3　(1)设P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值是(　　)A．6B．25C．26D．36答案　D解析　(x－5)2＋(y＋4)2表示点P(x，y)到(5，－4)的距离的平方，∵P(x，y)是圆(x－2)2＋y2＝1上的任意一点，∴(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为圆心(2,0)到(5，－4)的距离与半径之和的平方，即[(x－5)2＋(y＋4)2]max＝[＋1]2＝36.(2)若点P(x，y)在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上，则的最大值为________．答案　解析　圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为(1,1)，半径为1，表示圆上的点(x，y)与点(－1,0)连线的斜率，设过点(－1,0)的圆的切线斜率为k，则圆的切线方程为y－0＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，由圆心到切线的距离等于半径，可得＝1，解得k＝0或k＝，14 所以0≤k≤，即的最大值为.课时精练1．(2023·六安模拟)圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　)A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9答案　D解析　因为圆心为(1，－2)，半径为3，所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.2．(2023·宁德模拟)已知点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为(　　)A．－6<k<B．k<－6或k>C．k>－6D．k<答案　A解析　∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝.若点M(3,1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足>，且1－2k>0，即13>1－2k且k<，即－6<k<.3．若△AOB的三个顶点坐标分别为A(2,0)，B(0，－4)，O(0,0)，则△AOB外接圆的圆心坐标为(　　)A．(1，－1)B．(－1，－2)C．(1，－2)D．(－2,1)答案　C解析　由题意得△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.所以△AOB的外接圆的圆心就是线段AB的中点，设圆心坐标为(x，y)，由中点坐标公式得x＝＝1，y＝＝－2.14 故所求圆心坐标为(1，－2)．4．圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为(　　)A．x2＋y2－2y－3＝0B．x2＋y2－2y－15＝0C．x2＋y2＋2y－3＝0D．x2＋y2＋2y－15＝0答案　A解析　由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1,0)，半径为2，故其关于直线l：y＝x对称的圆的圆心为(0,1)，半径为2，故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－2y－3＝0.5．点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于(　　)A.2B.C．3D．9答案　C解析　圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的标准方程为2＋(y＋1)2＝5＋，则圆心坐标为，半径为r＝，因为点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，所以－＋1＋1＝0，解得k＝4.所以圆的半径r＝＝3.6．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)A．8x－6y－21＝0B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0D．6x－8y－21＝0答案　D解析　由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示．14 设P(x0，y0)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋4＝(x0－3)2＋(y0＋4)2，即6x0－8y0－21＝0，结合选项知D符合题意．7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________．答案　(－2，－4)　5解析　由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×＜0，∴a＝2不符合题意；当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.8．已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0,0)，底边的一个端点B的坐标为(1,1)，则另一个端点C的轨迹方程为______________________.答案　x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))解析　设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2.考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1,1)和(－1，－1)．所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))．9．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和点B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．解　设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D.又kAB＝－3，所以km＝，所以直线m的方程为x－3y－3＝0.14 由得圆心C(－3，－2)，则半径r＝|CA|＝＝5，所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.设点M(x，y)，Q(x0，y0)．因为点P的坐标为(5,0)，所以即又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝.即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝.10．已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4)，圆心在直线2x－y－1＝0上．(1)求圆C1的方程；(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此时点P的坐标．解　(1)由题意知AB的中点坐标为，kAB＝＝1，∴AB的垂直平分线为y＝5－x，联立解得即圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.(2)注意到点C1(2,3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧，直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示．∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3≥|C1C2|－4＝－4，当且仅当M，N，P在线段C1C2上时取等号，此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点，14 过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，联立解得∴点P的坐标为.11．若直线ax－by－6＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x＋4y＝0的周长，则＋的最小值为(　　)A．1B．2C．3D．4答案　D解析　圆x2＋y2－4x＋4y＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(2，－2)，依题意，点(2，－2)在直线ax－by－6＝0上，则有2a－(－2)b－6＝0，整理得a＋b＝3，而a>0，b>0，于是得＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以＋的最小值为4.12．(多选)已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的可能取值为(　　)A．－12B．－8C．6D．－1答案　ABD解析　由题意可得圆的标准方程是(x－1)2＋(y－2)2＝10－a，圆心为(1,2)，半径为r＝(a<10)，圆心到已知直线的距离为d＝＝4，则圆心到与直线3x－4y－15＝0平行且距离为1的直线的距离分别为3和5，由题意得3<<5，解得－15<a<1.13．(多选)已知圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是(　　)A．圆M的圆心在定直线x－y－2＝0上B．圆M的面积的最大值为50πC．圆M的半径的最小值为114 D．满足条件的所有圆M的半径之积为8答案　AB解析　∵圆M与直线x＋y＋2＝0相切于A(0，－2)，∴直线AM与直线x＋y＋2＝0垂直，∴直线AM的斜率为1，则点M在直线y＝x－2，即x－y－2＝0上，故A正确；设M(a，a－2)，∴圆M的半径r＝|AM|＝＝|a|，∵圆M被x轴截得的弦长为2，∴2＝2＝2，解得a＝－5或a＝1.当a＝－5时，圆M的面积最大，为πr2＝50π，故B正确；当a＝1时，圆M的半径最小，为，故C错误；满足条件的所有圆M的半径之积为5×＝10，故D错误．14．(2022·沧州模拟)阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则△PAB面积的最大值是(　　)A.B．2C．2D．4答案　C解析　设以经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，以线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则A(－1,0)，B(1,0)．设P(x，y)，∵＝，∴＝，两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0，即点P的轨迹为(x－3)2＋y2＝8.要使△PAB的面积最大，只需点P到AB(x轴)的距离最大，此时面积为×2×2＝2.14