2025年高考数学一轮讲义第2章 第10课时　函数的零点与方程的解

第10课时　函数的零点与方程的解[考试要求]　1．理解函数的零点与方程的解的联系.2．理解函数零点存在定理，并能简单应用.3．了解用二分法求方程的近似解．1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使____________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有____⇔函数y＝f(x)的图象与____有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且有____________________，那么，函数y＝f(x)在区间__________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得____________，这个c也就是方程f(x)＝0的解．提醒：函数f(x)的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．2．二分法对于在区间[a，b]上图象________且____________________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法，二分法只能求变号零点．[常用结论]1．若连续不断的函数f(x)在(a，b)上是单调函数，而且f(a)f(b)<0，则f(x)在(a，b)上有且仅有一个零点．2．由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．7/7 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0．(　　)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　　)(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T1改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)A　　　　　　　　BC　　　　　　　D2．(多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1234567f(x)－4－2142－1－3在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)A．(1，2)　　　　B．(2，3)C．(5，6)　D．(5，7)3．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T5(3)改编)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－x－1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　　)A．b>c>a　B．a>b>cC．c>b>a　D．c>a>b4．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T4改编)已知函数f(x)＝7/7 x2+x-2，x≤0，-1+lnx，x>0，则f(x)的零点为________．考点一　判定函数零点所在的区间[典例1]　(2024·广东东莞期中)函数f(x)＝2x＋log2x的零点所在区间是(　　)A．0，12　　　　　B．12，1C．(1，2)　D．(2，3)[四字解题]读想算思函数零点所在区间的判断问题定理法f14，f12的正负等价转化、数形结合图象法画y＝2x和y＝－log2x的图象[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，若连续，则再看是否有f(a)·f(b)<0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点．[跟进训练]1．(1)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)A．(a，b)和(b，c)内　B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内　D．(－∞，a)和(c，＋∞)内(2)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．考点二　确定函数零点的个数7/7 [典例2]　(1)已知函数f(x)＝52x-1，x≤2，4-x，x>2，则函数g(x)＝f(x)－x的零点个数为(　　)A．1　　B．2C．3　　D．4(2)已知函数f(x)＝lnx，x>0，-x2-3x，x≤0，则关于x的函数y＝4f2(x)－13f(x)＋9的零点的个数为(　　)A．8　　B．7C．5　　D．2[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．[跟进训练]2．(1)(2023·甘肃武威三模)已知函数y＝f(x)满足：当－2≤x≤2时，f(x)＝－14x2＋1，且f(x)＝f(x＋4)对任意x∈R都成立，则方程4f(x)＝|x|的实根个数是________．(2)(2021·北京高考)已知f(x)＝|lgx|－kx－2，给出下列四个结论：①若k＝0，则f(x)有两个零点；②∃k＜0，使得f(x)有一个零点；③∃k＜0，使得f(x)有三个零点；④∃k＞0，使得f(x)有三个零点．以上正确结论的序号是________．考点三　函数零点的应用　根据函数零点个数求参数7/7 [典例3]　(2023·通州区一模)设函数f(x)＝3x-x3，x≤a，2x+1，x>a，若函数f(x)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是________；若函数f(x)存在三个零点，则实数a的取值范围是________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　根据函数零点范围求参数[典例4]　(1)(2023·山西阳泉三模)函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)上存在零点，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，－5)　B．(－5，－1)C．(1，5)　D．(5，＋∞)(2)(2024·云南红河模拟)已知关于x的方程2x2－mx＋1＝0在12，4上存在两个不同的实数根，则实数m的取值范围为(　　)A．(2，3]　B．22，814C．3，814　D．(22，3][听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．[跟进训练]3．(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[0，2]时，f(x)＝x2－3，若方程f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)在区间(0，10)上有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　　)A．0，18∪[8，10)　　B．0，12∪[6，10)7/7 C．0，18∪(6，10]　D．0，12∪(6，10](2)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m的取值范围是________．函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．[典例]　函数f(x)＝ln-x-1，x＜-1，2x+1，x≥-1，若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．[赏析]　第一步：换元解套设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．第二步：辅助图形在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．第三步：数形结合当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2＞t1)，则t1＜－1，t2≥－1.当t1＜－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．第四步：归纳总结综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．[答案]　[－1，＋∞)　该类问题考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合思想是解决本类问题的关键．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由y＝f(x)与y＝t的图象确定零点的个数．7/7 [跟进训练]1．(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝11-x，x<0，lnx，x>0，则函数F(x)＝f[f(x)]－1e3f(x)－1(e为自然对数的底数)的零点个数为(　　)A．3　　B．5　C．7　　D．92．已知函数f(x)＝lnx-1x，x>0，x2+2x，x≤0，则函数y＝f(f(x)＋1)的零点个数是(　　)A．2　　B．3　C．4　　D．57/7