2025年高考数学一轮讲义第4章 第3课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第3课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式[考试要求]　1．会推导两角差的余弦公式.2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式．1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝__________________________________________；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝__________________________________________；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝__________________________________________；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝__________________________________________；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝_______；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝_______．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝________________＝________________；(3)tan2α＝________．[常用结论]1．两角和与差的公式的常用变形(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．2．二倍角余弦公式变形－－降幂公式：sin2α＝1-cos2α2s2α＝1+cos2α2一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)5/5 (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　　)(2)在锐角三角形ABC中，sinAsinB和cosAcosB的大小关系不确定．(　　)(3)公式tan(α＋β)＝tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(　　)(4)3sinα＋cosα＝2sinα+π3．(　　)二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P218例3改编)若cosα＝－45，α是第三象限角，则sinα+π4等于(　　)A．－210　　B．210　　C．－7210　　D．72102．(人教A版必修第一册P229习题5.5T6(1)改编)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝(　　)A．－32　B．32C．－12　D．123．(多选)(人教A版必修第一册P223练习T5改编)下列各式的值为22的是(　　)A．sinπ12cosπ12　B．cos2π8－sin2π8C．tanπ81-tan2π8　D．2cos222.5°－14．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T12(2)改编)tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝______．考点一　和、差、倍角公式的直接应用[典例1]　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝13，cosαsinβ＝16，则cos(2α＋2β)＝(　　)A．79　　B．19　C．－19　　D．－79(2)(2024·湖南雅礼中学模拟)已知tanα＋tanβ＝3，sin(α＋β)＝2sinαsinβ，则tan(α＋β)＝(　　)5/5 A．4　B．6C．－32　D．－6[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　应用公式化简求值的策略(1)要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[跟进训练]1．(1)(2023·湖南师大附中一模)已知sinθ1+cosθ＝2，则tanθ＝(　　)A．43　B．－23C．－43　D．23(2)(2024·广东佛山禅城区一模)已知tan(α＋β)＝2(tanα＋tanβ)，且tanα＋tanβ≠0，cos(α－β)＝35，则cos(2α＋2β)＝(　　)A．－725　B．725C．－2325　D．2325考点二　公式的逆用与变形　公式的逆用[典例2]　(多选)下列等式正确的是(　　)A．cos82°sin52°－sin82°cos52°＝12B．sin15°sin30°sin75°＝18C．tan48°+tan72°1-tan48°tan72°＝3D．cos215°－sin215°＝32[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5/5 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　公式的变形[典例3]　(1)(多选)已知α，β，γ∈0，π2，sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则下列说法正确的是(　　)A．cos(β－α)＝12　B．cos(β－α)＝13C．β－α＝－π3　D．β－α＝π3(2)若α＋β＝－3π4，则(1＋tanα)(1＋tanβ)＝________．[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把值变角以便构造适合公式的形式．[跟进训练]2．(1)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为(　　)A．－22　B．22C．12　D．－12(2)设a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b＝22(sin56°－cos56°)，c＝1-tan239°1+tan239°，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a>b>c　B．b>a>cC．c>a>b　D．a>c>b考点三　角的变换问题[典例4]　(1)已知sinα＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于(　　)A．5π12　B．π35/5 C．π4　D．π6(2)(2023·山东烟台三模)已知α，β满足sin(2α＋β)＝cosβ，tanα＝2，则tanβ的值为(　　)A．－13　B．－23C．13　D．23[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式，即拆角或凑角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α+π4-π4.(2)当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．[跟进训练]3．(1)(2024·河南郑州模拟)已知sin6π5+α＝33，则cos3π5-2α＝(　　)A．－23　B．－13C．23　D．13(2)(2023·广东湛江一模)cos70°-cos20°cos65°＝________．5/5