第四章　§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.2．辅助角公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ.(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．tanαtanβ＝1－＝－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.(　√　)(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　×　)(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(　×　)(4)公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　×　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期教材改编题1．sin20°cos10°－cos160°sin10°等于(　　)A．－B.C．－D.答案　D解析　原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝.2．若将sinx－cosx写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝.答案　解析　因为sinx－cosx＝2，所以cosφ＝，sinφ＝，因为0≤φ<π，所以φ＝.3．已知α∈，且sinα＝，则tan的值为．答案　－解析　因为α∈，且sinα＝，所以cosα＝－＝－，tanα＝＝＝－.所以tan＝＝＝－.题型一　两角和与差的三角函数公式例1　(1)计算：等于(　　)A．－B.C．－D.答案　B成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期解析　＝＝＝.(2)(2023·青岛模拟)已知tanα＝1＋m，tanβ＝m，且α＋β＝，则实数m的值为(　　)A．－1B．1C．0或－3D．0或1答案　C解析　因为α＋β＝，所以tan(α＋β)＝tan ⇒＝1⇒＝1⇒m2＋3m＝0，解得m＝0或m＝－3.思维升华　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1　(1)(2023·茂名模拟)已知0<α<，sin＝，则的值为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　因为sin＝，所以(cosα－sinα)＝.所以cosα－sinα＝，所以1－2sinαcosα＝，得sinαcosα＝，因为cosα＋sinα＝＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以＝＝＝＝.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossinβ，则(　　)A．tan(α－β)＝1B．tan(α＋β)＝1C．tan(α－β)＝－1D．tan(α＋β)＝－1答案　C解析　由题意得sinαcosβ＋cosαsinβ＋cosαcosβ－sinαsinβ＝2×(cosα－sinα)sinβ，整理得sinαcosβ－cosαsinβ＋cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C.题型二　两角和与差的公式逆用与辅助角公式例2　(1)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，则tanAtanB的值为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　在△ABC中，∵C＝120°，∴tanC＝－.∵A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝－tanC＝.∴tanA＋tanB＝(1－tanAtanB)，又∵tanA＋tanB＝，∴tanAtanB＝.(2)(2022·浙江)若3sinα－sinβ＝，α＋β＝，则sinα＝，cos2β＝.答案　　解析　因为α＋β＝，所以β＝－α，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以3sinα－sinβ＝3sinα－sin＝3sinα－cosα＝sin(α－φ)＝，其中sinφ＝，cosφ＝.所以α－φ＝＋2kπ，k∈Z，所以α＝＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sinα＝sin＝cosφ＝，k∈Z.因为sinβ＝3sinα－＝－，所以cos2β＝1－2sin2β＝1－＝.思维升华　运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．跟踪训练2　(1)(2022·咸阳模拟)已知sin＝，则sinx＋sin等于(　　)A．1B．－1C.D.答案　A解析　因为sin＝，所以sinx＋sin＝sinx＋sinx－cosx＝sin＝1.(2)满足等式(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________．答案　(答案不唯一)解析　由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，得1＋tanβ＋tanα＋tanαtanβ＝2，所以tanβ＋tanα＝1－tanαtanβ，所以＝1，所以tan(α＋β)＝1，所以α＋β＝kπ＋，k∈Z，所以α可以为0，β可以为(答案不唯一)．题型三　角的变换问题成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期例3　(1)(2020·全国Ⅲ)已知sinθ＋sin＝1，则sin等于(　　)A.B.C.D.答案　B解析　因为sinθ＋sin＝sin＋sin＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin ＝2sincos ＝sin＝1.所以sin＝.(2)已知α，β为锐角，sinα＝，cos(α＋β)＝－.则sin(2α＋β)的值为．答案　－解析　因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝＝＝，因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝＝，所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β)＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝×＋×＝－.思维升华　常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．跟踪训练3　(1)(2023·青岛质检)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期答案　－解析　由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，因为sin＝，β－∈，所以cos＝－，所以cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.(2)若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝，tanα＝.答案　－1　解析　∵tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝＝－1，tanα＝tan(α＋β－β)＝＝＝.课时精练1．(2023·苏州模拟)cos24°cos36°－sin24°cos54°等于(　　)A．cos12°B．－cos12°C．－D.答案　D解析　cos24°cos36°－sin24°cos54°＝cos24°cos36°－sin24°sin36°＝cos(24°＋36°)＝cos60°＝.2．(2023·合肥模拟)已知sinα＋cosα＝，则sin等于(　　)A．±B.C．－D．－成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期答案　C解析　∵sinα＋cosα＝sin＝，∴sin＝，∴sin＝sin＝－sin＝－.3．(2023·重庆模拟)若2cos80°＝cos20°＋λsin20°，则λ等于(　　)A．－B．－1C．1D.答案　A解析　由已知可得λ＝＝＝－＝－.4．(2023·西安模拟)已知2cos＝sinα，则sinαcosα等于(　　)A．－B.C．－D.答案　D解析　2cos＝sinα，即2cosαcos －2sinαsin ＝sinα，即cosα－sinα＝sinα，则tanα＝，所以sinαcosα＝＝＝.5．(2023·扬州质检)已知sinα＝，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为(　　)A.B.C.D.答案　B解析　sinα＝，且α为锐角，则cosα＝＝＝，tanα＝＝.所以tan(α＋β)＝＝＝－1.又β为钝角，则α＋β∈，故α＋β＝.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期6．(2023·威海模拟)已知α∈，若tan＝－2，则cos等于(　　)A.B.C．－D．－答案　C解析　因为α∈，则α＋∈，又tan＝－2<0，故α＋∈，则cos＝，sin＝－，故cos＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝－.7．(2022·重庆模拟)cos15°sin10°cos20°＋cos10°cos70°－2cos45°sin15°sin10°sin70°的值为______．答案　解析　原式＝cos20°sin10°(cos15°－sin15°)＋cos10°cos70°＝cos20°sin10°×cos(45°＋15°)＋cos10°cos70°＝cos20°sin10°＋cos10°sin20°＝sin30°＝.8．(2022·上海模拟)已知α，β∈，且tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝，则α＋β＝.答案　－解析　由tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝得tan(α＋β)＝＝，又α，β∈，则α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.9．(2023·合肥模拟)已知α，β∈，且(1)求α＋β的值；成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(2)证明：0<α－β<，并求sin(α－β)的值．解　(1)因为α，β∈，所以cosα>0，cosβ>0，由解得cosα＝，cosβ＝，所以sinα＝＝，sinβ＝＝，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝，因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.(2)因为α＋β＝，sin＝>sinα＝>sinβ＝，且函数y＝sinx在上单调递增，所以0<β<α<，所以0<α－β<，所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝.10．在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sin＝cos(－α)；③3sin＝cos中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．已知0<β<α<，，cos(α＋β)＝－.(1)求sin；(2)求β.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解　(1)若选①，tan(π＋α)＝tanα＝＝3，又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sinα＝，cosα＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期所以sin＝sinαcos－cosαsin ＝×－×＝.若选②，因为sin(π－α)－2sin＝cos(－α)，化简得sinα＝3cosα，又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sinα＝，cosα＝，所以sin＝sinαcos －cosαsin ＝×－×＝.若选③，因为3sin＝cos，化简得3cosα＝sinα，又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sinα＝，cosα＝，所以sin＝sinαcos －cosαsin ＝×－×＝.(2)因为0<β<α<，且cos(α＋β)＝－，所以<α＋β<π，所以sin(α＋β)＝＝，所以sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝，又因为0<β<，所以β＝.11．已知3sinx－4cosx＝5sin(x＋φ)，则φ所在的象限为(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　D解析　3sinx－4cosx＝5＝5sin(x＋φ)，其中sinφ＝－，cosφ＝，所以φ所在的象限为第四象限．12．(多选)已知α，β，γ∈，sinβ＋sinγ＝sinα，cosα＋cosγ＝cosβ，则下列说法正确的是(　　)A．cos(β－α)＝B．cos(β－α)＝C．β－α＝D．β－α＝－成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期答案　BD解析　由已知可得所以1＝sin2γ＋cos2γ＝(sinα－sinβ)2＋(cosβ－cosα)2＝2－2(cosβcosα＋sinβsinα)＝2－2cos(β－α)，所以cos(β－α)＝，因为α，β，γ∈，则－<β－α<，因为sinγ＝sinα－sinβ>0，函数y＝sinx在上单调递增，则α>β，则－<β－α<0，故β－α＝－.13．(2023·武汉质检)设sin＝2cosαsin ，则的值为(　　)A.B.C．2D．4答案　B解析　∵sin＝2cosαsin ，∴sinαcos －cosαsin ＝2cosαsin ，即sinαcos ＝3cosαsin ，∴tanα＝3tan ，∵cos＝cos＝sin＝sinαcos ＋cosαsin ，∴＝＝＝＝.14．(多选)下列结论正确的是(　　)A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ)B．3sinx＋3cosx＝3sinC．f(x)＝sin ＋cos 的最大值为成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期D．sin50°(1＋tan10°)＝1答案　CD解析　对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A错误；对于B，3sinx＋3cosx＝6＝6sin，故B错误；对于C，f(x)＝sin ＋cos ＝sin，所以f(x)的最大值为，故C正确；对于D，由sin50°(1＋tan10°)＝sin50°·＝sin50°·＝＝＝＝1，故D正确．15．(2023·厦门模拟)若＝－3，则＝________.答案　2解析　依题意，＝＝＝＝－3，整理得tanα＝2tan ，所以＝2.16．在平面直角坐标系Oxy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角θ，再将旋转后的线段OP的长度变为原来的ρ(ρ>0)倍得到OP1，我们把这个过程称为对点P进行一次T(θ，ρ)变换得到点P1，例如对点(1,0)进行一次T 变换得到点(0,3)．若对点A(1,0)进行一次成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期T 变换得到点A1，则A1的坐标为；若对点B进行一次T(θ，ρ)变换得到点B1(－3，－4)，对点B1再进行一次T(θ，ρ)变换得到点B2，则B2的坐标为．答案　(－1，)　解析　点A(1,0)，OA与x轴的正方向的夹角θ＝0且|OA|＝1.进行一次T 变换，即将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转，再将OA的长度伸长为原来的2倍得到点A1，即坐标为A1(－1，).因为对点B进行一次T(θ，ρ)变换后得到点B1(－3，－4)，|OB|＝＝1，|OB1|＝＝5，所以ρ＝5，所以|OB2|＝|OB1|·ρ＝5×5＝25，设OB与x轴的正方向的夹角为α，则sinα＝，cosα＝，tanα＝，并且sin(α＋θ)＝－，cos(α＋θ)＝－，tan(α＋θ)＝，根据tanθ＝tan[(α＋θ)－α]＝＝＝，因为π<θ<，所以sinθ＝－，cosθ＝－，所以cos[(α＋θ)＋θ]＝cos(α＋θ)cosθ－sin(α＋θ)sinθ＝×－×＝，sin[(α＋θ)＋θ]＝sin(α＋θ)cosθ＋cos(α＋θ)sinθ＝×＋×＝，所以B2，即B2.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期