2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.6　双曲线

§8.6双曲线第八章直线和圆、圆锥曲线 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于非零常数(______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的______，两焦点间的距离叫做双曲线的______.绝对值小于焦点焦距 标准方程＝1(a>0，b>0)＝1(a>0，b>0)图形性质焦点_____________________________________焦距___________2.双曲线的标准方程和简单几何性质F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)|F1F2|＝2c 性质范围_______或______，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：_______；对称中心：______顶点_____________________________________轴实轴：线段_______，长：____；虚轴：线段B1B2，长：_____，实半轴长：___，虚半轴长：___渐近线___________________x≤－ax≥a坐标轴原点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)A1A22a2bab 性质离心率e＝∈_________a，b，c的关系c2＝_______(c>a>0，c>b>0)(1，＋∞)a2＋b2 1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()√××√ A.－1<k<5B.k>5C.k<－1D.k≠－1或5√若曲线C是焦点在y轴上的双曲线， √2.双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是 17根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17. 探究核心题型第二部分 例1(1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为题型一双曲线的定义及应用√ 如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5， (2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______. 不妨设点P在双曲线的右支上，在△F1PF2中，由余弦定理，得∴|PF1|·|PF2|＝8， 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.思维升华 跟踪训练1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为√ 设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8， (2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝______.4 如图所示，延长F2M交PF1于Q，由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点.根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8，即|QF1|＝8，由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线， 题型二双曲线的标准方程√ √ 由△OAF是边长为2的等边三角形， 求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.思维升华 √ 解得a＝2，c＝4， (2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是√ 由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上. 命题点1渐近线题型三双曲线的几何性质－3 4x2－y2＝1 方法二由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，∴双曲线方程为4x2－y2＝1. 思维升华 命题点2离心率例4(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为√ 设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，在△F1PF2中， 意值均可) 思维升华 √√√ 对于A，因为0<k<1，所以9－k>0，k－1<0， (2)(2022·怀化模拟)已知F是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线方程为________. 设C的左焦点为F1，连接F1B，过F1作F1D⊥FB于点D，如图所示，易知F1D∥OA，在双曲线C中，易知|FA|＝b，又3|FA|＝|AB|，则|DB|＝2b，则D为线段FB的中点，所以△F1BF为等腰三角形，又|FB|＝4b，|F1B|＝4b－2a＝|F1F|＝2c， 即c＋a＝2b，又b2＝c2－a2＝(c＋a)(c－a)，得c＋a＝4(c－a)，又c2＝a2＋b2， 课时精练第三部分 1234567891011121314√基础保分练 2.“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√1234567891011121314 因为方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，所以mn<0，又当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，因此“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件.1234567891011121314 √1234567891011121314 1234567891011121314∵2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4. 4.(2022·南通模拟)方程x2＋(cosθ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为A.两条直线B.圆C.椭圆D.双曲线1234567891011121314√ 1234567891011121314因为θ∈(0，π)，所以cosθ∈(－1,1)，所以当cosθ∈(－1,0)时，方程x2＋(cosθ)y2＝1表示双曲线；当cosθ＝0时，方程x2＋(cosθ)y2＝1表示两条直线x＝±1； 1234567891011121314√√ 1234567891011121314 1234567891011121314 √√1234567891011121314 因为|PQ|＝|PF2|，所以由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，所以|QF2|＝4a，所以|PQ|＝|PF2|＝4a，故△PQF2是等边三角形.在△PF1F2中，1234567891011121314 1234567891011121314 1234567891011121314 1234567891011121314 ∵|PF2|≥c－a，1234567891011121314 1234567891011121314 (1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程；1234567891011121314所以b＝2， (2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值.1234567891011121314 1234567891011121314因为PF1⊥PF2，因为△PF1F2的面积为9，所以|PF1|·|PF2|＝18，又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，所以|PF1|2＋|PF2|2＝40， 1234567891011121314又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，所以b＝3. (1)求双曲线的标准方程；1234567891011121314 双曲线焦距为2c，实轴长为2a，∴b2＝c2－a2＝a2，∴双曲线方程为x2－y2＝a2，1234567891011121314 1234567891011121314(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；∵M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2＝3，以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，将M(3，m)代入得9＋3＝12，∴M在以F1F2为直径的圆上. 1234567891011121314(3)在(2)的条件下，若点M在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN的面积. ∵点M在第一象限，1234567891011121314 1234567891011121314 1234567891011121314综合提升练√ 1234567891011121314∴焦距2c＝4. 1234567891011121314√ 1234567891011121314过点A作AF⊥x轴，垂足为F，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，如图所示.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|OB|＝|OF2|＝c， 1234567891011121314 拓展冲刺练√1234567891011121314 如图，设B(m，n)，则C(－m，－n)，易知A(a,0)，F(c,0)，又M在直线CA上，1234567891011121314 1234567891011121314整理得c＝3a， 14.(多选)(2022·湖南联考)已知双曲线E：－y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过点F2作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则下列命题中正确的是C.△F1PQ周长的最小值为8D.△AOB(O为坐标原点)的面积为定值√√√1234567891011121314 由题意知|PF1|－|PF2|＝2a，a2＋1＝c2，则|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4a2，所以有|PF1|2＋|PF2|2＝4a2＋4＝4c2＝|F1F2|2，1234567891011121314 1234567891011121314 1234567891011121314 所以S△AOB＝2S△AOP＝a，故D正确.1234567891011121314