2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.6　双曲线

§8.6　双曲线考试要求　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)常用结论1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.19 3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.5．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　)(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　)(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.(　√　)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　)教材改编题1．已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　　)A．－1<k<5B．k>5C．k<－1D．k≠－1或5答案　C解析　若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则解得k<－1.2．双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是(　　)A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±x答案　C解析　依题意知，双曲线－x2＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝，虚半轴长b＝1，所以双曲线2y2－x2＝1的渐近线方程是y＝±x.19 3．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.答案　17解析　根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.题型一　双曲线的定义及应用例1(1)(2022·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为(　　)A.－＝1(x>2)B.－＝1(x>3)C.＋＝1(0<x<2)D.＋＝1(0<x<3)答案　A解析　如图，设△ABC与圆的切点分别为D，E，F，则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以顶点C的轨迹方程为－＝1(x>2)．(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．答案　219 解析　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝2.思维升华　在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．跟踪训练1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)A．x2－＝1B.－y2＝1C．x2－＝1(x≤－1)D．x2－＝1(x≥1)答案　C解析　设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．(2)(2022·荆州模拟)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点(不是顶点)，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝________.答案　4解析　如图所示，延长F2M交PF1于Q，19 由于PM是∠F1PF2的角平分线，F2M⊥PM，所以△QPF2是等腰三角形，所以|PQ|＝|PF2|，且M是QF2的中点．根据双曲线的定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝8，即|QF1|＝8，由于O是F1F2的中点，所以MO是△QF1F2的中位线，所以|MO|＝|QF1|＝4.题型二　双曲线的标准方程例2　(1)(2021·北京)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　)A．x2－＝1B.－y2＝1C．x2－＝1D.－y2＝1答案　A解析　由e＝＝2，得c＝2a，b＝＝a，则双曲线的方程为－＝1，将点(，)的坐标代入双曲线的方程可得－＝＝1，解得a＝1，故b＝，因此双曲线的标准方程为x2－＝1.(2)(2023·连云港模拟)在平面直角坐标系中，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的标准方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1答案　D解析　由方程－＝1，19 得双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设A在直线y＝x上，由△OAF是边长为2的等边三角形，可得c＝2，直线y＝x的倾斜角为60°，即＝，联立可得故双曲线的标准方程为x2－＝1.思维升华　求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案　A解析　易知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为ay＝±bx，由C的左焦点(－c,0)到其渐近线的距离是2，可得＝b＝2，则b2＝12，由双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，得e＝＝2，又c2＝a2＋b2，解得a＝2，c＝4，则双曲线的方程为－＝1.(2)(2023·廊坊模拟)江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永．现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，19 瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是(　　)A.－＝1B.－y2＝1C.－＝1D.－＝1答案　D解析　由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4,3)在该双曲线上．设该双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得故该双曲线的标准方程是－＝1.题型三　双曲线的几何性质命题点1　渐近线例3　(1)(2022·北京)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________.答案　－3解析　方法一　依题意得m<0，双曲线的方程化为标准方程为y2－＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±＝±，解得m＝－3.方法二　依题意得m<0，令y2－＝0，得y＝±x，则±＝±，解得m＝－3.(2)(2022·连云港模拟)若双曲线经过点(1，)，其渐近线方程为y＝±2x，则双曲线的方程是________．答案　4x2－y2＝1解析　方法一　由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设－＝1(a>0，b>0)，则－＝1且＝2，联立解得a＝，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；19 ②若双曲线的焦点在y轴上，则可设－＝1(a>0，b>0)，则－＝1，且＝2，此时无解，综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.方法二　由题可设双曲线方程为4x2－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线经过点(1，)，∴λ＝4×12－()2＝1，∴双曲线方程为4x2－y2＝1.思维升华　(1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.命题点2　离心率例4　(1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　设|PF2|＝m，则|PF1|＝3m，在△F1PF2中，|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝.(2)(2022·全国甲卷)记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________．答案　2((1，]内的任意值均可)解析　双曲线C的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝2x与双曲线C无公共点，则2≥，∴≤4，∴e2＝＝1＋≤5，19 又e＞1，∴e∈(1，]，∴填写(1，]内的任意值均可．思维升华　求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3　(1)(多选)(2023·聊城模拟)已知双曲线C：＋＝1(0<k<1)，则下列结论正确的是(　　)A．双曲线C的焦点在x轴上B．双曲线C的焦距等于4C．双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于D．双曲线C的离心率的取值范围为答案　ACD解析　对于A，因为0<k<1，所以9－k>0，k－1<0，所以双曲线C：－＝1(0<k<1)表示焦点在x轴上的双曲线，故选项A正确；对于B，由A知a2＝9－k，b2＝1－k，所以c2＝a2＋b2＝10－2k，所以c＝，所以双曲线C的焦距等于2c＝2(0<k<1)，故选项B错误；对于C，设焦点在x轴上的双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，焦点坐标为(±c,0)，则渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，所以焦点到渐近线的距离d＝＝b，所以双曲线C：－＝1(0<k<1)的焦点到其渐近线的距离等于，故选项C正确；对于D，双曲线C的离心率e＝＝＝，因为0<k<1，所以1<2－<，所以e＝∈，故选项D正确．(2)(2022·怀化模拟)已知F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线方程为________．19 答案　y＝±x解析　设C的左焦点为F1，连接F1B，过F1作F1D⊥FB于点D，如图所示，易知F1D∥OA，在双曲线C中，易知|FA|＝b，又3|FA|＝|AB|，则|DB|＝2b，则D为线段FB的中点，所以△F1BF为等腰三角形，又|FB|＝4b，|F1B|＝4b－2a＝|F1F|＝2c，即c＋a＝2b，又b2＝c2－a2＝(c＋a)(c－a)，将b＝代入得＝(c＋a)(c－a)，得c＋a＝4(c－a)，则c＝a，又c2＝a2＋b2，所以b＝a，则渐近线方程为y＝±x.课时精练1．(2022·宜昌模拟)双曲线－＝λ(λ>0)的离心率为(　　)A.B.C.或D.答案　B解析　因为λ>0，所以－＝1，所以双曲线焦点在x轴上，所以a2＝2λ，b2＝4λ，c2＝a2＋19 b2＝6λ，所以离心率为＝＝＝.2.“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　C解析　因为方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，所以mn<0，又当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线，因此“mn<0”是“方程mx2＋ny2＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为(　　)A.－＝1B.－＝1或－＝1C.－＝1D.－＝1或－＝1答案　D解析　设双曲线方程为－＝1(m≠0)，∵2a＝4，∴a2＝4，当m>0时，2m＝4，m＝2；当m<0时，－m＝4，m＝－4.故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.4．(2022·南通模拟)方程x2＋(cosθ)y2＝1，θ∈(0，π)表示的曲线不可能为(　　)A．两条直线B．圆C．椭圆D．双曲线答案　B解析　因为θ∈(0，π)，所以cosθ∈(－1,1)，所以当cosθ∈(－1,0)时，方程x2＋(cosθ)y2＝1表示双曲线；当cosθ＝0时，方程x2＋(cosθ)y2＝1表示两条直线x＝±1；19 当cosθ∈(0,1)时，方程x2＋(cosθ)y2＝1可化为x2＋＝1，因为>1，所以方程表示焦点在y轴上的椭圆．5．(多选)(2023·唐山模拟)已知F1，F2为双曲线C：－x2＝1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则(　　)A．|PF1|－|PF2|＝2B．双曲线C的渐近线方程为y＝±xC．双曲线C的离心率为D．|＋|≥2答案　CD解析　双曲线C：－x2＝1焦点在y轴上，a＝，b＝1，c＝＝2.对于A选项，||PF1|－|PF2||＝2a＝2，而P点在哪支上并不确定，故A错误；对于B选项，焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，故B错误；对于C选项，e＝＝＝，故C正确；对于D选项，设P(x，y)(x∈R)，则|PO|＝＝＝≥(当且仅当x＝0时取等号)，因为O为F1F2的中点，所以|＋|＝|2|＝2||≥2，故D正确．6．(多选)(2023·湖南长郡中学模拟)F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C右支上的一点，PF1与C的左支交于点Q.已知＝2，且|PQ|＝|PF2|，则(　　)A．△PQF2为直角三角形B．△PQF2为等边三角形C．C的渐近线方程为y＝±xD．C的渐近线方程为y＝±x答案　BC解析　因为|PQ|＝|PF2|，所以由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，19 所以|QF2|＝4a，又＝2，所以|PQ|＝|PF2|＝4a，故△PQF2是等边三角形．在△PF1F2中，由余弦定理得，cos∠F1PF2＝＝＝，则＝＝7，即＝，故C的渐近线方程为y＝±x.7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线C的渐近线方程为________．答案　y＝±x解析　因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以e＝＝＝＝2，所以＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.8．(2022·晋中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P在双曲线的右支上，|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是________．答案　解析　设∠F1PF2＝θ，由得∵|PF2|≥c－a，∴a≥c－a，即a≥c，即≤，19 ∴双曲线离心率的取值范围是1<e≤.9．已知双曲线C：x2－＝1(b>0)．(1)若双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，求双曲线C的标准方程；(2)设双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为9，求b的值．解　(1)因为双曲线C：x2－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx，而它的一条渐近线方程为y＝2x，所以b＝2，所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.(2)因为PF1⊥PF2，所以＝|PF1|·|PF2|，因为△PF1F2的面积为9，所以|PF1|·|PF2|＝18，又因为||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4，所以|PF1|2＋|PF2|2＝40，又因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，所以b＝3.10.如图，已知双曲线的中心在原点，F1，F2为左、右焦点，焦距是实轴长的倍，双曲线过点(4，－)．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下，若点M在第一象限，且直线MF2交双曲线于另一点N，求△F1MN的面积．19 (1)解　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，双曲线焦距为2c，实轴长为2a，则2c＝2a，即c＝a，∴b2＝c2－a2＝a2，∴双曲线方程为x2－y2＝a2，将(4，－)代入得，a2＝16－10＝6，∴双曲线的标准方程为－＝1.(2)证明　由(1)知，F1(－2，0)，F2(2，0)，∵M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2＝3，以F1F2为直径的圆为x2＋y2＝12，将M(3，m)代入得9＋3＝12，∴M在以F1F2为直径的圆上．(3)解　由(2)知，点M坐标为(3，)或(3，－)，∵点M在第一象限，∴M的坐标为(3，)，直线MF2的方程为y－＝(x－3)＝－(2＋)(x－3)，即y＝(－2－)x＋(6＋4)，代入双曲线方程整理可得(6－4)y2－4(2－)y＋6＝0，∵M的纵坐标为，∴N的纵坐标为＝＝－(＋2)，∴△F1MN的面积为S＝|F1F2|·(＋＋2)＝2×(2＋2)＝12＋4.11．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，一条渐近线方程为x－y＝0，则C的方程为(　　)A.－y2＝1或y2－＝1B．x2－＝1或y2－＝119 C.－y2＝1或－x2＝1D．x2－＝1或－x2＝1答案　A解析　在椭圆＋＝1中，c＝＝2，∴焦距2c＝4.∵C的一条渐近线方程为x－y＝0，∴设C的方程为－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为－＝1.当λ>0时，c＝＝2，解得λ＝1，则C的方程为－y2＝1；当λ<0时，c＝＝2，解得λ＝－1，则C的方程为y2－＝1.综上，C的方程为－y2＝1或y2－＝1.12．(2022·徐州模拟)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之比是∶，则该双曲线的离心率为(　　)A.B.C.D.答案　C解析　过点A作AF⊥x轴，垂足为F，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，如图所示．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|OB|＝|OF2|＝c，由渐近线的方程y＝x可知y2＝x2，在Rt△OBE中，x＋x＝c2，解得x2＝a(舍负)，由已知得x1∶x2＝∶，即x1＝a，即|AF|2＝c2－2＝c2－a2，19 因为离心率e>，所以c2－a2>0，则点A的坐标为，代入双曲线方程可得－＝1，化简得2a2＝c2，即e＝.13．(2022·枣庄模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为双曲线在第二象限上的一点，B关于坐标原点O的对称点为C，直线CA与直线BF的交点M恰好为线段BF的中点，则双曲线的离心率为(　　)A．2B．3C.D.答案　B解析　如图，设B(m，n)，则C(－m，－n)，易知A(a,0)，F(c,0)，由M为线段BF的中点得M，又M在直线CA上，故，共线，又＝(a＋m，n)，＝，故(a＋m)·＝n·，整理得c＝3a，故离心率e＝＝3.19 14．(多选)(2022·湖南联考)已知双曲线E：－y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过点F2作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则下列命题中正确的是(　　)A．若|PF1|·|PF2|＝2，则·＝0B．若＝，则双曲线的离心率e∈(1，＋1]C．△F1PQ周长的最小值为8D．△AOB(O为坐标原点)的面积为定值答案　ACD解析　由题意知|PF1|－|PF2|＝2a，a2＋1＝c2，则|PF1|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF2|2＝4a2，所以有|PF1|2＋|PF2|2＝4a2＋4＝4c2＝|F1F2|2，从而⊥，即·＝0，故A正确；在△PF1F2中，由正弦定理得＝，则＝＝，解得|PF1|＝|PF2|.又|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝>c－a，整理得c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，解得1<e<＋1，故B错误；当直线PQ⊥x轴时，|PQ|的最小值为，|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋2a＋|QF2|＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4a＋≥8(当且仅当a＝1时取等号)，故C正确；设P(x0，y0)，过点P的双曲线E的切线方程为x－y0y＝1，E的渐近线方程为y＝±x，不妨设切线x－y0y＝1与渐近线y＝x的交点为A，联立方程组解得即A，同理可得B.又因为点P在双曲线E上，则有－y＝1，xA＋xB＝＋＝2x0，故点P是AB的中点．设切线x－y0y＝1与x轴的交点为G，易知G，所以S△AOP＝·|yA－y0|＝19 ·＝，所以S△AOB＝2S△AOP＝a，故D正确．19