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高考总动员2022届高考数学大一轮复习第8章第6节双曲线课时提升练文新人教版

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课时提升练(四十五) 双曲线一、选择题1.若双曲线-y2=1的一个焦点为(2,0),则它的离心率为(  )A.   B.C.   D.2【解析】 由焦点为(2,0)知,a2+1=22,∴a2=3,a=,∴离心率e===.故选C.【答案】 C2.(2022·北京高考)双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是(  )A.m>B.m≥1C.m>1D.m>2【解析】 ∵双曲线x2-=1的离心率e=,又∵e>,∴>,∴m>1.【答案】 C3.(2022·漳州模拟)焦点为(0,6)且与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程是(  )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】 设所求双曲线方程为-y2=λ,因为焦点为(0,6),所以|3λ|=36,又焦点在y轴上,所以λ=-12,即双曲线方程为-=1.【答案】 B4.(2022·广东高考)若实数k满足0<k<9,则曲线-=1与曲线-6\n=1的(  )A.焦距相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等【解析】 因为0<k<9,所以两条曲线都表示双曲线.双曲线-=1的实半轴长为5,虚半轴长为,焦距为2=2,离心率为.双曲线-=1的实半轴长为,虚半轴长为3,焦距为2=2,离心率为,故两曲线只有焦距相等.故选A.【答案】 A5.(2022·浙江高考)如图861,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(  )图861A.B.C.D.【解析】 由椭圆可知|AF1|+|AF2|=4,|F1F2|=2.因为四边形AF1BF2为矩形,所以|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=12,所以2|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+|AF2|2)=16-12=4,所以(|AF2|-|AF1|)2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1|·|AF2|=12-4=8,所以|AF2|-|AF1|=2,因此对于双曲线有a=,c=,6\n所以C2的离心率e==.【答案】 D6.(2022·江西高考)过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为(  )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】 由得∴A(a,-b).由题意知右焦点到原点的距离为c=4,∴=4,即(a-4)2+b2=16.而a2+b2=16,∴a=2,b=2.∴双曲线C的方程为-=1.【答案】 A二、填空题7.(文)(2022·北京高考)设双曲线C的两个焦点为(-,0),(,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为________.【解析】 由题意可知,双曲线的焦点在x轴上,且c=,a=1,则b2=c2-a2=1,所以双曲线C的方程为x2-y2=1.【答案】 x2-y2=18.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为________.【解析】 ∵-=1,∴A(3,0),F(5,0),渐近线方程为y=±x.设l:y=(x-5),与-=1联立可求得xB=,∴yB=-,∴S△AFB=|AF||yB|=×(c-a)×=×2×=.6\n【答案】 9.(2022·浙江高考)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.【解析】 双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.由得A,由得B,所以AB的中点C坐标为.设直线l:x-3y+m=0(m≠0),因为|PA|=|PB|,所以PC⊥l,所以kPC=-3,化简得a2=4b2.在双曲线中,c2=a2+b2=5b2,所以e==.【答案】 三、解答题10.已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.【解】 设动圆M的半径为r,则由已知|MC1|=r+,|MC2|=r-,∴|MC1|-|MC2|=2,又C1(-4,0),C2(4,0),∴|C1C2|=8,∴2<|C1C2|.根据双曲线定义知,点M的轨迹是以C1(-4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支.又a=,c=4,∴b2=c2-a2=14,∴点M的轨迹方程是-=1(x≥).11.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-6\n).(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:点M在以F1F2为直径的圆上;(3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积.【解】 (1)∵离心率e=,∴双曲线为等轴双曲线,可设其方程为x2-y2=λ(λ≠0),则由点(4,-)在双曲线上,可得λ=42-(-)2=6,∴双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明:∵点M(3,m)在双曲线上,∴32-m2=6,∴m2=3,又双曲线x2-y2=6的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),∴·=(-2-3,-m)·(2-3,-m)=(-3)2-(2)2+m2=9-12+3=0,∴MF1⊥MF2,∴点M在以F1F2为直径的圆上.(3)S△F1MF2=×4×|m|=6.12.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-,求双曲线的离心率.【解】 (1)∵双曲线的渐近线为y=±x,又双曲线的一条渐近线的方程为y=x,∴a=b,∴c2=a2+b2=2a2=4,∴a2=b2=2,∴双曲线的方程为-=1.(2)设点A的坐标为(x0,y0),∴由题意知·(-)=-1,∴x0=y0,①依题意,知圆的方程为x2+y2=c2,6\n将①代入x2+y2=c2得3y+y=c2,即y0=c,∴x0=c,∴点A的坐标为,代入-=1(a>b>0)得-=1,即b2c2-a2c2=a2b2,②又∵a2+b2=c2,∴将b2=c2-a2代入②式,整理得c4-2a2c2+a4=0,∴34-82+4=0,∴(3e2-2)(e2-2)=0,∵e>1,∴e=,∴双曲线的离心率为.6

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发布时间:2022-08-25 16:55:47 页数:6
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文章作者:U-336598

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