2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第5章　§5.4　平面向量的综合应用[培优课]

§5.4平面向量的综合应用[培优课]第五章　平面向量与复数 题型一平面向量在几何中的应用 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 当且仅当c＝3b时，等号成立. 即3b2＋a2＝4a·b， 思维升华 A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三边均不相等的三角形√ 即∠BAC＝60°，可得△ABC是等边三角形. √ 即2x2＋9x－126＝0，因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6， 题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题√ 故2x＋y的最小值为3. 命题点2与数量积有关的最值(范围)问题 命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是√ a，b是单位向量，a·b＝0，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离， 向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围).(2)利用基本不等式求最值(范围).(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值. √ ∴xy＝18. √ (3)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则的取值范围是A.[－5,3]B.[－3,5]C.[－6,4]D.[－4,6]√ 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3,0)，B(0,4).设P(x，y)， 课时精练 123456789101112A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形√故四边形ABCD为平行四边形，故AC⊥BD即四边形ABCD为菱形. 123456789101112A.与圆C的半径有关B.与圆C的半径无关C.与弦AB的长度有关D.与点A，B的位置有关√√ 123456789101112如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点， A.8B.9C.12D.16123456789101112√ 123456789101112∵E为线段AD上的动点，∴A，D，E三点共线，∴x＋3y＝1且x>0，y>0， 123456789101112√ 123456789101112 123456789101112√ 123456789101112建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)， 1234567891011126.设向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c·(a＋b－c)＝0，则|c|的最大值等于√ 向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，不妨设a＝(1,0)，b＝(0,2)，c＝(x，y)，∵c·(a＋b－c)＝0，∴(x，y)·(1－x,2－y)＝x(1－x)＋y(2－y)＝0，即x2＋y2－x－2y＝0，123456789101112 7.(多选)(2022·珠海模拟)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有123456789101112√√ 123456789101112同理可证O为AB，AC边上中线的三等分点，所以O为△ABC的重心，选项A正确； 123456789101112故O为△ABC的内心，选项B错误； 123456789101112所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心，选项D错误. 8.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则的取值范围是123456789101112√ 123456789101112如图所示，取AF的中点Q， 123456789101112 1234567891011129.(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则的最小值为____.7 123456789101112设C(0，a)，P(0，b)，B(1，a)，A(2,0)，0≤b≤a， 1234567891011125 123456789101112取BC的中点O，∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC，则以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 123456789101112由二次函数性质知， 123456789101112 123456789101112又P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1， 12.(2022·浙江)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则的取值范围是______________.123456789101112 123456789101112以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示， 123456789101112设P(x，y)，因为cos22.5°≤|OP|≤1，