2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第5章　§5.4　平面向量的综合应用[培优课]

§5.4　平面向量的综合应用题型一　平面向量在几何中的应用例1　(1)如图，在△ABC中，cos∠BAC＝，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝，则△ABC的面积的最大值为________．答案　解析　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为BD＝3DC，＝＋，又AD＝，cos∠BAC＝，所以2＝2＝c2＋b2＋bccos∠BAC＝c2＋b2＋bc，又＝c2＋b2＋bc＝2＋2＋bc≥2×c×b＋bc＝bc，当且仅当c＝3b时，等号成立．所以bc≤8，又sin∠BAC＝，所以S△ABC＝bcsin∠BAC≤×8×＝.(2)(2022·天津)在△ABC中，＝a，＝b，D是AC的中点，＝2，试用a，b表示为________，若⊥，则∠ACB的最大值为________．答案　b－a　解析　＝－＝b－a，13 ＝－＝b－a，由⊥得(3b－a)·(b－a)＝0，即3b2＋a2＝4a·b，所以cos∠ACB＝＝≥＝，当且仅当|a|＝|b|时取等号，而0<∠ACB<π，所以∠ACB∈.思维升华　用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．跟踪训练1　(1)在△ABC中，已知·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形答案　A解析　，分别表示，方向上的单位向量，＋在∠A的角平分线上，∵·＝0，∴||＝||，13 又·＝，∴cos〈，〉＝·＝，则与的夹角为60°，即∠BAC＝60°，可得△ABC是等边三角形．(2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　)A．3B．3C．3D．6答案　A解析　因为＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，设AB＝x，则2＝2，得37＝x2＋×x×9cos60°＋×92，即2x2＋9x－126＝0，因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6，所以||＝|－|＝＝＝3.题型二　和向量有关的最值(范围)问题命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题13 例2　如图，在△ABC中，点P满足2＝，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝x，＝y(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为(　　)A．3B．3C．1D.答案　A解析　由题意知，＝＋＝＋＝＋＝＋，又＝x，＝y(x>0，y>0)，∴＝＋，由M，P，N三点共线，得＋＝1，∴2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋≥＋2＝3，当且仅当x＝y时等号成立．故2x＋y的最小值为3.命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题例3　已知在边长为2的正△ABC中，M，N分别为边BC，AC上的动点，且CN＝BM，则·的最大值为________．答案　－解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，)，则＝(2,0)，＝(－1，)，设＝t(0≤t≤1)，则＝t(0≤t≤1)，则M(2t－1,0)，N(1－t，t)，13 ∴＝(2t－1，－)，＝(2－3t，t)，∴·＝(2t－1)×(2－3t)＋(－)×(t)＝－6t2＋4t－2＝－62－，当t＝时，·取得最大值－.命题点3　与模有关的最值(范围)问题例4　已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　)A．[－1，＋1]B．[－1，]C．[，＋1]D．[2－，2＋]答案　A解析　a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故－1≤|c|≤＋1，∴－1≤|c|≤＋1.思维升华　向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．跟踪训练2　(1)已知平行四边形ABCD的面积为9，∠BAD＝，E为线段BC的中点．若F为线段DE上的一点，且＝λ＋，则||的最小值为(　　)A.B．3C.D.答案　D解析　设||＝x，||＝y，则S＝x·y·sin ＝xy＝9，∴xy＝18.∵＝λ＋＝λ(＋)＋＝λ＋，∵E，F，D三点共线，∴λ＋－＝1⇒λ＝，13 ∴＝＋，∴||2＝||2＋·＋||2＝x2＋xy·＋y2≥－5＋2＝5，当且仅当x＝y时，等号成立．∴||的最小值为.(2)(2023·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|－－|＝1，则||的最小值为(　　)A.－1B．2－1C．2－1D.－1答案　C解析　因为|＋|2＝2＋2＋2·＝||2＋||2＋2||·||cos ＝12，所以|＋|＝2，由平面向量模的三角不等式可得||＝|(－－)＋(＋)|≥||－－|－|＋||＝2－1.当且仅当－－与＋方向相反时，等号成立．因此||的最小值为2－1.(3)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则·的取值范围是(　　)A．[－5,3]B．[－3,5]C．[－6,4]D．[－4,6]答案　D解析　以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(3,0)，B(0,4)．设P(x，y)，13 则x2＋y2＝1，＝(3－x，－y)，＝(－x,4－y)，所以·＝x2－3x＋y2－4y＝2＋(y－2)2－.又2＋(y－2)2表示圆x2＋y2＝1上一点到点距离的平方，圆心(0,0)到点的距离为，所以·∈，即·∈[－4,6]，故选D.课时精练1．四边形ABCD中，＝，(＋)·(－)＝0，则这个四边形是(　　)A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形答案　A解析　由题意，＝，即|AD|＝|BC|且AD∥BC，故四边形ABCD为平行四边形，又(＋)·(－)＝·＝0，故AC⊥BD即四边形ABCD为菱形．2．(多选)如图，点A，B在圆C上，则·的值(　　)A．与圆C的半径有关B．与圆C的半径无关C．与弦AB的长度有关D．与点A，B的位置有关答案　BC解析　如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，13 故·＝||·||·cos∠CAD＝||·||·＝||2，故·的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关．3.如图，在△ABC中，＝，E为线段AD上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为(　　)A．8B．9C．12D．16答案　D解析　由已知得＝3，∴＝x＋y＝x＋3y，∵E为线段AD上的动点，∴A，D，E三点共线，∴x＋3y＝1且x>0，y>0，∴＋＝(x＋3y)＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当x＝y＝时，等号成立．故＋的最小值为16.4．在△ABC中，A＝，G为△ABC的重心，若·＝·＝6，则△ABC外接圆的半径为(　　)A.B.C．2D．2答案　C解析　由·＝·，可得·(－)＝·＝0，则有AG⊥BC，又在△ABC中，A＝，G为△ABC的重心，则△ABC为等边三角形．则·＝×(＋)·13 ＝＝||2＝6，解得||＝2，则△ABC外接圆的半径为×＝×＝2.5．在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AB⊥AD，点P为平行四边形ABCD所在平面内一点，则(＋)·的最小值是(　　)A．－B．－C．－D．－答案　A解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，所以＝(1－x，－y)，＋＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)，故(＋)·＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝22＋22－，所以当x＝，y＝时，(＋)·取得最小值－.6．设向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c·(a＋b－c)＝0，则|c|的最大值等于(　　)A．1B．2C．1＋D.答案　D解析　向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，不妨设a＝(1,0)，b＝(0,2)，c＝(x，y)，∵c·(a＋b－c)＝0，∴(x，y)·(1－x,2－y)＝x(1－x)＋y(2－y)＝0，即x2＋y2－x－2y＝0，整理可得2＋(y－1)2＝，则|c|表示圆心为，半径为的圆上的点到原点的距离，13 则|c|的最大值为＋＝.7．(多选)(2022·珠海模拟)已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　)A．若＋＋＝0，则点O为△ABC的重心B．若·＝·＝0，则点O为△ABC的垂心C．若(＋)·＝(＋)·＝0，则点O为△ABC的外心D．若·＝·＝·，则点O为△ABC的内心答案　AC解析　选项A，设D为BC的中点，由于＝－(＋)＝－2，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，同理可证O为AB，AC边上中线的三等分点，所以O为△ABC的重心，选项A正确；选项B，向量，分别表示在边AC和AB上的单位向量，设为和，则它们的差是向量，则当·＝0，即⊥时，点O在∠BAC的角平分线上，同理由·＝0，知点O在∠ABC的角平分线上，故O为△ABC的内心，选项B错误；选项C，由(＋)·＝0，得(＋)·(－)＝0，即2＝2，故||＝||，同理有||＝||，于是O为△ABC的外心，选项C正确；选项D，由·＝·，得·－·＝0，所以·(－)＝0，即·＝0，所以⊥，同理可证⊥，⊥，所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的垂心，选项D错误．8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，13 并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆的直径，则·的取值范围是(　　)A．[1,2]B．[2,3]C.D.答案　B解析　如图所示，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得|OQ|＝，又·＝(＋)·(＋)＝||2＋·＋·＋·＝||2＋·(＋)－1＝||2－1，根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，|PO|有最小值为，此时||2－1＝2，当点P位于正六边形的顶点时，|PO|有最大值为2，此时||2－1＝3，故·的取值范围是[2,3]．9．(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|2＋3|的最小值为________．答案　7解析　以D为坐标原点，，分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，13 设C(0，a)，P(0，b)，B(1，a)，A(2,0)，0≤b≤a，则2＋3＝2(2，－b)＋3(1，a－b)＝(7,3a－5b)，|2＋3|＝≥7，当且仅当b＝时取得最小值7.10．已知P是边长为4的正△ABC所在平面内一点，且＝λ＋(2－2λ)(λ∈R)，则·的最小值为________．答案　5解析　取BC的中点O，∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC，则以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－2,0)，C(2,0)，A(0,2)，设P(x，y)，∴＝(x，y－2)，＝(－2，－2)，＝(2，－2)，∴＝λ＋(2－2λ)＝(4－6λ，2λ－4)，则∴P(4－6λ，2λ－2)，∴＝(6λ－4,4－2λ)，＝(6λ－2,2－2λ)，∴·＝(6λ－4)(6λ－2)＋(4－2λ)(2－2λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函数性质知，当λ＝时，·取得最小值5.11．(2022·广州模拟)在△ABC中，D为AC上一点且满足＝，若P为BD上一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．答案　解析　∵λ，μ为正实数，＝，故＝4，∴＝λ＋4μ，13 又P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1，∴λμ＝·λ·4μ≤2＝，当且仅当λ＝，μ＝时取等号，故λμ的最大值为.12．(2022·浙江)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则＋＋…＋的取值范围是______________．答案　[12＋2，16]解析　以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A1(0,1)，A2，A3(1,0)，A4，A5(0，－1)，A6，A7(－1,0)，A8，设P(x，y)，于是＋＋…＋＝8(x2＋y2)＋8，因为cos22.5°≤|OP|≤1，所以≤x2＋y2≤1，故＋＋…＋的取值范围是[12＋2，16]．13