第五章　§5.4　平面向量的综合应用[培优课]

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§5.4　平面向量的综合应用题型一　平面向量在几何中的应用例1　(1)如图，在△ABC中，cos∠BAC＝，点D在线段BC上，且BD＝3DC，AD＝，则△ABC的面积的最大值为________．答案　解析　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为BD＝3DC，＝＋，又AD＝，cos∠BAC＝，所以2＝2＝c2＋b2＋bccos∠BAC＝c2＋b2＋bc，又＝c2＋b2＋bc＝2＋2＋bc≥2×c×b＋bc＝bc，当且仅当c＝3b时，等号成立．所以bc≤8，又sin∠BAC＝，所以S△ABC＝bcsin∠BAC≤×8×＝.(2)(2022·天津)在△ABC中，＝a，＝b，D是AC的中点，＝2，试用a，b表示为________，若⊥，则∠ACB的最大值为________．答案　b－a　解析　＝－＝b－a，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期＝－＝b－a，由⊥得(3b－a)·(b－a)＝0，即3b2＋a2＝4a·b，所以cos∠ACB＝＝≥＝，当且仅当|a|＝|b|时取等号，而0<∠ACB<π，所以∠ACB∈.思维升华　用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．跟踪训练1　(1)在△ABC中，已知·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边均不相等的三角形答案　A解析　，分别表示，方向上的单位向量，＋在∠A的角平分线上，∵·＝0，∴||＝||，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期又·＝，∴cos〈，〉＝·＝，则与的夹角为60°，即∠BAC＝60°，可得△ABC是等边三角形．(2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　)A．3B．3C．3D．6答案　A解析　因为＝2，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，设AB＝x，则2＝2，得37＝x2＋×x×9cos60°＋×92，即2x2＋9x－126＝0，因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6，所以||＝|－|＝＝＝3.题型二　和向量有关的最值(范围)问题命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期例2　如图，在△ABC中，点P满足2＝，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若＝x，＝y(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为(　　)A．3B．3C．1D.答案　A解析　由题意知，＝＋＝＋＝＋＝＋，又＝x，＝y(x>0，y>0)，∴＝＋，由M，P，N三点共线，得＋＝1，∴2x＋y＝(2x＋y)＝＋＋≥＋2＝3，当且仅当x＝y时等号成立．故2x＋y的最小值为3.命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题例3　已知在边长为2的正△ABC中，M，N分别为边BC，AC上的动点，且CN＝BM，则·的最大值为________．答案　－解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)，A(0，)，则＝(2,0)，＝(－1，)，设＝t(0≤t≤1)，则＝t(0≤t≤1)，则M(2t－1,0)，N(1－t，t)，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期∴＝(2t－1，－)，＝(2－3t，t)，∴·＝(2t－1)×(2－3t)＋(－)×(t)＝－6t2＋4t－2＝－62－，当t＝时，·取得最大值－.命题点3　与模有关的最值(范围)问题例4　已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　)A．[－1，＋1]B．[－1，]C．[，＋1]D．[2－，2＋]答案　A解析　a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故－1≤|c|≤＋1，∴－1≤|c|≤＋1.思维升华　向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．跟踪训练2　(1)已知平行四边形ABCD的面积为9，∠BAD＝，E为线段BC的中点．若F为线段DE上的一点，且＝λ＋，则||的最小值为(　　)A.B．3C.D.答案　D解析　设||＝x，||＝y，则S＝x·y·sin ＝xy＝9，∴xy＝18.∵＝λ＋＝λ(＋)＋＝λ＋，∵E，F，D三点共线，∴λ＋－＝1⇒λ＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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