2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.10　圆锥曲线中求值与证明问题

§8.10　圆锥曲线中求值与证明问题题型一　求值问题例1　(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.(1)求l的斜率；[切入点：kAP＋kAQ＝0](2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．[关键点：利用tan∠PAQ求kAP，kAQ]13 思维升华　求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．跟踪训练1　在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点，焦距与长轴之比为，A，B分别是椭圆C的上、下顶点，M是椭圆C上异于A，B的一点．13 (1)求椭圆C的方程；(2)若点P在直线x－y＋2＝0上，且＝3，求△PMA的面积；(3)过点M作斜率为1的直线分别交椭圆C于另一点N，交y轴于点D，且点D在线段OA上(不包括端点O，A)，直线NA与直线BM交于点P，求·的值．解　(1)由已知可得可得所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设点M(x1，y1)，P(x0，x0＋2)，易知B(0，－1)，A(0,1)，＝(x0，x0＋3)，＝(x1，y1＋1)，由＝3可得解得即点M，因为点M在椭圆C上，则＋2＝1，可得x＝6，因此，S△PMA＝S△PAB－S△MAB＝|AB|·|x0|＝.(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为y＝x＋t，其中0<t<1，则D(0，t)，联立可得3x2＋4tx＋2t2－2＝0，Δ＝16t2－12(2t2－2)＝24－8t2>0，由根与系数的关系可得x1＋x2＝－，x1x2＝，kNA＝＝，直线NA的方程为y＝x＋1，13 kMB＝＝，直线BM的方程为y＝x－1，可得＝＝＝＝·＝·＝，解得y＝，即点P，因此，·＝t·＝1.题型二　证明问题例2　(2023·邵阳模拟)已知抛物线C的焦点F在x轴上，过F且垂直于x轴的直线交C于A(点A在第一象限)，B两点，且|AB|＝4.(1)求C的标准方程；(2)已知l为C的准线，过F的直线l1交C于M，N(M，N异于A，B)两点，证明：直线AM，BN和l相交于一点．(1)解　由抛物线C的焦点F在x轴上，点A在第一象限，可知抛物线开口向右．设抛物线C的标准方程为y2＝2px(p>0)，则F.由题意知AF⊥x轴，则点A的横坐标为，将x＝代入y2＝2px，可得|y|＝p，由|AB|＝2p＝4，得p＝2，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x.13 (2)证明　由(1)可知A(1,2)，B(1，－2)．设直线l1的方程为x＝my＋1，联立得y2－4my－4＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.直线AM的方程为y＝(x－1)＋2，即y＝(x－1)＋2，令x＝－1，解得y＝，所以直线AM与准线的交点为，直线BN的方程为y＝(x－1)－2，即y＝(x－1)－2，令x＝－1，解得y＝.所以直线BN与准线的交点为，因为＝－＝－＝1，即＝，所以直线AM，BN和l相交于一点．思维升华　圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．跟踪训练2　(2022·宁德模拟)若A，B，C(0,1)，D13 四点中恰有三点在椭圆T：＋＝1(a>b>0)上．(1)求椭圆T的方程；(2)动直线y＝x＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.(1)解　由于A，B两点关于原点对称，必在椭圆上，则＋＝1，且＋<1，∴(0,1)必在椭圆上，即有＝1，则b＝1，a2＝2，∴椭圆T的方程为＋y2＝1.(2)证明　设E(x1，y1)，F(x2，y2)，联立得x2＋tx＋t2－1＝0，则x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－1，y1＋y2＝x1＋t＋x2＋t＝t，∴M，则kOM＝－，联立则可设P，Q，∴|MP|·|MQ|＝··＝，∵|ME|·|MF|＝|EF|2＝(1＋k)(x1－x2)2＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，∴|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.13 课时精练1．(2023·晋中模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点P，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形．(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交C于A，B两点，且＝2，求|AB|.解　(1)∵两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，∴b＝c，∵椭圆过点P，∴＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)∵F(1,0)，设lAB：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，∴∵＝2，∴y1＝－2y2，∴∴22＝，∴m2＝，∴|AB|＝·|y1－y2|＝·|－3y2|＝3·＝.2．(2022·郑州模拟)如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B.13 (1)证明：直线BC∥x轴；(2)设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF.证明：||AF|－|BF||＝8.证明　(1)由抛物线的性质可得焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，设A，B，所以直线AO的方程为y＝x，由题意可得点C，设直线AB的方程为x＝my＋2，联立整理可得y2－8my－16＝0，所以y1y2＝－16，可得y2＝－，所以yC＝y2，所以BC∥x轴．(2)因为准线方程为x＝－2，由题意可得E(－2,0)，＝，＝，因为BE⊥BF，所以·＝0，即y＋＝0，解得y＝－32＋16，x2＝2－4，由(1)可得x1x2＝＝＝4，所以x1＝2＋4，|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，所以可证||AF|－|BF||＝|x1－x2|＝8.3．(2023·南通调研)在平面直角坐标系Oxy中，已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，过右焦点F的动直线l与椭圆C交于M，N两点，△ABM的面积最大值为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线AM与定直线x＝t(t>2)交于点T，记直线TF，AM，BN的斜率分别是k0，k1，k2，13 若k1，k0，k2成等差数列，求实数t的值．解　(1)由题意可知A(－a,0)，B(a,0)，设M(x1，y1)，显然－b≤y1≤b，△ABM的面积为·2a·≤ab，因为△ABM的面积最大值为2，所以ab＝2，又因为椭圆的离心率为，所以＝，于是⇒所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由(1)可知F(1,0)，A(－2,0)，B(2,0)，由题意可知直线l的斜率不为零，所以设直线l的方程为x＝my＋1，与椭圆方程联立，得⇒(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，设N(x2，y2)，所以y1＋y2＝，y1y2＝，直线AM的方程为＝，把x＝t代入方程中，得y＝，所以T，于是k0＝＝，k1＝，k2＝，因为k1，k0，k2成等差数列，所以2k0＝k1＋k2⇒2·＝＋，化简得＝，把x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入，化简得6my1y2＝(t＋5)(y1＋y2)＋(2t－8)y2，把y1＋y2＝，y1y2＝代入，得13 ＝(2t－8)y2，因为m∈R，所以即t＝4.4．(2022·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．(1)解　由题意得c＝2.①因为双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，所以＝.②又c2＝a2＋b2，③所以联立①②③得a＝1，b＝，所以双曲线C的方程为x2－＝1.(2)证明　由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，设直线PQ的方程为y＝kx＋t(k≠0)，将直线PQ的方程代入C的方程，整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝－>0，所以3－k2<0，所以x1－x2＝＝.设点M的坐标为(xM，yM)，则两式相减，得y1－y2＝2xM－(x1＋x2)，13 又y1－y2＝(kx1＋t)－(kx2＋t)＝k(x1－x2)，所以2xM＝k(x1－x2)＋(x1＋x2)，解得xM＝；两式相加，得2yM－(y1＋y2)＝(x1－x2)，又y1＋y2＝(kx1＋t)＋(kx2＋t)＝k(x1＋x2)＋2t，所以2yM＝k(x1＋x2)＋(x1－x2)＋2t，解得yM＝＝xM.因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．若选择①②：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令点A在直线y＝x上，则由解得xA＝，yA＝，同理可得xB＝，yB＝－，所以xA＋xB＝，yA＋yB＝.点M的坐标满足得xM＝＝，yM＝＝，故M为AB的中点，即|MA|＝|MB|.若选择①③：当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，此时M不在直线y＝x上，矛盾；当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为y＝m(x－2)(m≠0)，13 A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令点A在直线y＝x上，则由解得xA＝，yA＝，同理可得xB＝，yB＝－.因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，所以xM＝＝，yM＝＝，又点M在直线y＝x上，所以＝·，解得k＝m，因此PQ∥AB.若选择②③：因为PQ∥AB，所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，不妨令点A在直线y＝x上，则由解得xA＝，yA＝，同理可得xB＝，yB＝－.设AB的中点为C(xC，yC)，则xC＝＝，yC＝＝.因为|MA|＝|MB|，所以M在AB的垂直平分线上，即点M在直线y－yC＝－(x－xC)，13 即y－＝－上，与y＝x联立，得xM＝＝xC，yM＝＝yC，即点M恰为AB的中点，故点M在AB上．13