2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8.7　抛物线

§8.7　抛物线考试要求　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用．知识梳理1．抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点准线方程x＝－x＝y＝－y＝对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1常用结论1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　×　)(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0)．(　×　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　)17 (4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.(　√　)教材改编题1．抛物线x2＝y的准线方程为(　　)A．y＝－B．x＝－C．y＝D．x＝答案　A解析　由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为，准线方程为y＝－.2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)A．9B．8C．7D．6答案　B解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为(　　)A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x答案　B解析　由题意可得|MF|＝xM＋，则3＋＝4，即p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.题型一　抛物线的定义及应用例1　(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于(　　)A．2B．2C．3D．3答案　B解析　方法一　由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1.17 设A，则由抛物线的定义可知|AF|＝＋1.因为|BF|＝3－1＝2，所以由|AF|＝|BF|，可得＋1＝2，解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2)．不妨取A(1,2)，则|AB|＝＝＝2.方法二　由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以|AB|＝＝＝2.(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．答案　42或22解析　当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42.当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22.17 　　　　①　　　　　　　　②思维升华　“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．跟踪训练1　(1)已知抛物线y＝mx2(m>0)上的点(x0,2)到该抛物线焦点F的距离为，则m等于(　　)A．4B．3C.D.答案　D解析　由题意知，抛物线y＝mx2(m>0)的准线方程为y＝－，根据抛物线的定义，可得点(x0,2)到焦点F的距离等于到准线y＝－的距离，可得2＋＝，解得m＝.(2)若P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．答案　－4解析　圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(－3,3)，半径r＝2，抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，因为P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，所以要使d1＋d2最小，即P到抛物线的焦点与到圆C的圆心的距离最小，如图，连接PF，FC，则d1＋d2的最小值为|FC|减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，即－2－2＝－4，17 所以d1＋d2的最小值为－4.题型二　抛物线的标准方程例2　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．解　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，则2p＝，2p1＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.思维升华　求抛物线的标准方程的方法(1)定义法．(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论．跟踪训练2　(1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为(　　)A．y2＝xB．y2＝9xC．y2＝x17 D．y2＝3x答案　D解析　如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，∵BD∥FG，∴＝，∴p＝，因此抛物线的方程为y2＝3x.(2)(2022·烟台模拟)已知点F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8，O为坐标原点，若△OFP的面积为2，则该抛物线的准线方程为(　　)A．x＝－B．x＝－1C．x＝－2D．x＝－4答案　B解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，将点P的横坐标代入抛物线得y2＝16p，可得y＝±4，不妨令P(8,4)，则S△OFP＝××4＝p＝2，解得p＝2，则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.题型三　抛物线的几何性质例3　(1)在抛物线y2＝8x上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＋|CF|等于(　　)A．6B．8C．9D．12答案　D解析　由题意得，F为△ABC的重心，17 故＝×(＋)＝(＋)，设点A，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，∵抛物线y2＝8x，F为其焦点，∴F(2,0)，∴＝(2－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)，＝(x3－x1，y3－y1)，∵＝(＋)，∴2－x1＝(x2－x1＋x3－x1)，∴x1＋x2＋x3＝6，∴||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋6＝12.(2)(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线C的准线交于点D.若|AF|＝8，则以下结论正确的是(　　)A．p＝4B.＝C．|BD|＝2|BF|D．|BF|＝4答案　ABC解析　如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E，M，连接EF.设抛物线C的准线交x轴于点P，则|PF|＝p.因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确；17 因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，所以F为AD的中点，则＝，故B正确；因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；因为|BD|＝2|BF|，所以|BF|＝|DF|＝|AF|＝，故D错误．思维升华　应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．跟踪训练3　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为______．答案　x＝－解析　方法一　(解直角三角形法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3(p＝0舍去)，所以C的准线方程为x＝－.方法二　(应用射影定理法)由题易得|OF|＝，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－.(2)已知F是抛物线y2＝16x的焦点，M是抛物线上一点，FM的延长线交y轴于点N，若3＝2，则|FN|＝________.答案　16解析　易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4，如图，17 抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C，AF∥MB∥NC，则＝，由3＝2，得＝，又|CN|＝4，|OF|＝4，所以＝，|BM|＝，|MF|＝|BM|＝，＝，所以|FN|＝16.课时精练1．(2022·桂林模拟)抛物线C：y2＝－x的准线方程为(　　)A．x＝B．x＝－C．y＝D．y＝－答案　A解析　y2＝－x的准线方程为x＝.2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为(　　)A．6B．4C．3D．2答案　D解析　由题可知，抛物线准线为y＝－，可得1＋＝2，解得p＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p＝2.17 3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为(　　)A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝－4xD．y2＝－8x答案　D解析　由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.4．(2022·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于(　　)A．3B．4C.D.答案　B解析　过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.5．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)A．p＝4B．抛物线方程为y2＝16xC．直线l的方程为y＝2x－4D．|AB|＝10答案　ACD解析　由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线的方程为y2＝8x，焦点F(2,0)，故B错误；则y＝8x1，y＝8x2，17 若M(m,2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，∴y－y＝8x1－8x2，即＝＝＝2，∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确．6．(多选)(2022·金陵模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，点A，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是(　　)A．C的准线方程为x＝B．b＝C.·＝2D.＋＝答案　BD解析　点A(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则解得则抛物线C：y2＝x，A，B(，)，抛物线C的准线方程为x＝－，故A错误，B正确；·＝×＋1×＝1＋，故C错误；抛物线C的焦点F，则|AF|＝＝，|BF|＝＝，则＋＝＋＝，故D正确．7.如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．则水位下降1米后，水面宽________米．17 答案　2解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．8．(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________.答案　5　4解析　因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)，因为|FM|＝6，所以xM＋＝6，解得xM＝5，故yM＝±2，所以S△FMN＝×(5－1)×2＝4.9．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．解　(1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，焦点为F.当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，∴1＋＝2，解得p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上，∴y0＝＝1，M坐标为(－2,1)．又直线l过点F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.17 由得x2－4kx－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，＝(x1＋2，y1－1)，＝(x2＋2，y2－1)．∵MA⊥MB，∴·＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.当k＝0时，l过点M，不符合题意，∴k＝2，∴直线l的方程为y＝2x＋1.10．已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x,1)到其焦点的距离为2.(1)求抛物线C的方程和点P的坐标；(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长．解　(1)由1＋＝2，可得p＝2，故抛物线的方程为x2＝4y，当y＝1时，x2＝4，又因为x>0，所以x＝2，所以点P的坐标为(2,1)．(2)由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－4kx－4k－2＝0，所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2，因为∠APB的角平分线与y轴垂直，所以kPA＋kPB＝0，所以kPA＋kPB＝＋＝0，17 即＋＝0，即x1＋x2＋4＝0，所以k＝－1，x1＋x2＝－4，x1x2＝2，所以|AB|＝|x1－x2|＝＝4.11．(多选)(2023·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则下列结论正确的是(　　)A．y1y2＝－1B．|AB|＝C．PB平分∠ABQD．延长AO交直线x＝－于点C，则C，B，Q三点共线答案　BCD解析　设抛物线的焦点为F，如图所示，则F.因为P，且l1∥x轴，故A(1,1)，故直线AF：y＝＝x－.由可得y2－y－＝0，17 故y1y2＝－，故A错误；又y1＝1，故y2＝－，故B，故|AB|＝1＋＋＝，故B正确；因为|AP|＝－1＝＝|AB|，故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正确；直线AO：y＝x，由可得C，故yC＝y2，所以C，B，Q三点共线，故D正确．12．(2022·阜宁模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，MH⊥l于H，若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为________．答案　y2＝4x解析　因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以|MF|＝|MH|＝4，又∠HFM＝60°，所以△MHF为正三角形，所以|HF|＝4，记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30°，所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF＝4sin30°＝2，所以该抛物线方程为y2＝4x.17 13．(2023·泰州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点A(1,0)，B(9,6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则|AQ|等于(　　)A．4B．2C.D.答案　A解析　设P(x，y)，则yC＝y，∵lOB：y＝x，∴C，∴E(0，y)，F，∵FC∥y轴，∴△OPE∽△FPC，∴＝，∴＝，即y2＝4x，∴P的轨迹方程为y2＝4x在第一象限的部分且0≤x≤9，故A(1,0)为该抛物线的焦点．设Q(x0，y0)，则y＝4x0，＝(x0－1，y0)，＝(－1,0)，∴cos∠OAQ＝＝＝＝－，解得x0＝3，∴|AQ|＝x0＋＝3＋1＝4.14．(2022·无锡模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线C上的两个动点，且AF⊥AB，∠ABF＝30°，设线段AB的中点M在准线l上的射影为点N，则的值是________．17 答案　解析　如图所示，作BE⊥l，AD⊥l，设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，在梯形ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b，因为AF⊥AB，∠ABF＝30°，所以b＝2a，则|MN|＝，又|AB|＝＝a，故＝＝.17