第八章　§8.7　抛物线

§8.7抛物线第八章直线和圆、圆锥曲线成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.考试要求 内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练 落实主干知识第一部分 1.抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的_____.相等焦点准线 标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R2.抛物线的标准方程和简单几何性质 焦点______________________________准线方程_________________________________对称轴__________顶点______离心率e＝___x轴y轴(0,0)1 1.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.()(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0).()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.()××√× √ 2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于A.9B.8C.7D.6√抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8. 3.抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为A.y2＝8xB.y2＝4xC.y2＝2xD.y2＝x√ 探究核心题型第二部分 例1(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于题型一抛物线的定义及应用√ 方法一由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1.因为|BF|＝3－1＝2，解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2).不妨取A(1,2)， 方法二由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴， (2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________.42或22 当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.① 当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去.综上，p＝42或p＝22.② “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.思维升华 √ (2)若P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________. 圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(－3,3)，半径r＝2，抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，因为P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，所以要使d1＋d2最小，即P到抛物线的焦点与到圆C的圆心的距离最小，如图，连接PF，FC，则d1＋d2的最小值为|FC|减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离， 题型二抛物线的标准方程例2分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)准线方程为2y＋4＝0；准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0). (2)过点(3，－4)；∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0).把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)， (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 求抛物线的标准方程的方法(1)定义法.(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.思维升华 √跟踪训练2(1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为 如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，因此抛物线的方程为y2＝3x. √ 则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. 题型三抛物线的几何性质例3(1)在抛物线y2＝8x上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＋|CF|等于A.6B.8C.9D.12√ 由题意得，F为△ABC的重心，设点A，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，∵抛物线y2＝8x，F为其焦点，∴F(2,0)， ∴x1＋x2＋x3＝6， √√√ 因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确； 因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；因为|BD|＝2|BF|， 思维升华应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性. 跟踪训练3(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为_________. 所以tan∠OPF＝tan∠PQF， |PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|， 16 易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4，如图，抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C， 又|CN|＝4，|OF|＝4，所以|FN|＝16. 课时精练第三部分 1234567891011121314√基础保分练 2.(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为A.6B.4C.3D.2√1234567891011121314 3.(2023·福州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为A.y2＝2xB.y2＝4xC.y2＝－4xD.y2＝－8x√1234567891011121314由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x. 4.(2022·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于1234567891011121314√ 1234567891011121314过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4. 5.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是A.p＝4B.抛物线方程为y2＝16xC.直线l的方程为y＝2x－4D.|AB|＝101234567891011121314√√√ 1234567891011121314由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线的方程为y2＝8x，焦点F(2,0)，故B错误；若M(m,2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确； 1234567891011121314又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确. 1234567891011121314√√ 1234567891011121314 1234567891011121314 12345678910111213147.如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.则水位下降1米后，水面宽______米. 8.(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是_____，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝_______.12345678910111213145 1234567891011121314因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)，解得xM＝5， 9.过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；1234567891011121314当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y. (2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程.1234567891011121314 1234567891011121314∵点M(－2，y0)在抛物线C上，又直线l过点F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.得x2－4kx－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， 1234567891011121314∵MA⊥MB，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.当k＝0时，l过点M，不符合题意，∴k＝2，∴直线l的方程为y＝2x＋1. 10.已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x,1)到其焦点的距离为2.(1)求抛物线C的方程和点P的坐标；1234567891011121314故抛物线的方程为x2＝4y，当y＝1时，x2＝4，又因为x>0，所以x＝2，所以点P的坐标为(2,1). 1234567891011121314 1234567891011121314由题意可得直线l的斜率存在，所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2，因为∠APB的角平分线与y轴垂直，所以kPA＋kPB＝0， 1234567891011121314即x1＋x2＋4＝0，所以k＝－1，x1＋x2＝－4，x1x2＝2， 11.(多选)(2023·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则下列结论正确的是A.y1y2＝－1B.|AB|＝C.PB平分∠ABQD.延长AO交直线x＝于点C，则C，B，Q三点共线综合提升练√√√1234567891011121314 设抛物线的焦点为F，如图所示，1234567891011121314 故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正确；1234567891011121314 1234567891011121314所以C，B，Q三点共线，故D正确. 123456789101112131412.(2022·阜宁模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，MH⊥l于H，若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为_________.y2＝4x 因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以|MF|＝|MH|＝4，又∠HFM＝60°，所以△MHF为正三角形，所以|HF|＝4，记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30°，所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF＝4sin30°＝2，所以该抛物线方程为y2＝4x.1234567891011121314 拓展冲刺练13.(2023·泰州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点A(1,0)，B(9,6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则|AQ|等于√1234567891011121314 设P(x，y)，则yC＝y，∵FC∥y轴，∴△OPE∽△FPC，1234567891011121314 ∴P的轨迹方程为y2＝4x在第一象限的部分且0≤x≤9，故A(1,0)为该抛物线的焦点.1234567891011121314 1234567891011121314 1234567891011121314 1234567891011121314如图所示，作BE⊥l，AD⊥l，设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，在梯形ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b，因为AF⊥AB，∠ABF＝30°， 更多精彩内容请登录www.xinjiaoyu.com第八章直线和圆、圆锥曲线