【师说 高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学 8.7 抛物线练习

【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学8.7抛物线练习一、选择题1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)A.　　　　B．1　　　　C.　　　　D.解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.答案：C2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝(　　)A．10B．8C．6D．4解析：由⇒k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0∵x1＋x2＝＝6⇒k＝±1.|AB|2＝(1＋k2)(x1－x2)2＝64∴|AB|＝8.答案：B3．将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则(　　)A．n＝0B．n＝1C．n＝2D．n≥3解析：设直线y＝(x－)，与抛物线y2＝2px联立可得x＝p，故可得两交点坐标为(p，p－2p)和(p，p＋2p)，(p，p－2p)与(，0)之间的距离为2(2－)p，(p，p＋2p)与(，0)之间的距离为2(2＋)p，故等边三角形有两个，选C.答案：C4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为(　　)A．2B．2C．4D．4解析：由，解得，由题意得知，得，又知＋a＝4，故a＝2，b＝1，c＝＝，∴焦距2c＝2.故选B.答案：B5\n5．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要|FM|＞4即可．根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋2＞4，解得y0＞2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．答案：C6．已知点P为抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(，4)，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　)A.B．4C.D．5解析：焦点F，当P、A、F三点共线时|PA|＋|PM|才有最小值，此时|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－，即|PA|＋|PM|的最小值为|FA|－＝－＝5－＝.故选C.答案：C二、填空题7．坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过其焦点的直线交于A、B两点，则·＝__________.解析：依题意，抛物线y2＝2x的焦点坐标为F(，0)，不妨考虑特殊情况，即直线AB与x轴垂直，此时解得A(，1)，B(，－1)，所以·＝－1＝－.答案：－8．设A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线y＝2x2上的两点，直线L是AB的垂直平分线．当直线L的斜率为时，则直线L在y轴上截距的取值范围是__________．解析：设L在y轴上的截距为b，则直线L的方程为y＝x＋b，过点A、B的直线可设为y＝－2x＋m，则A、B的坐标是方程组的解，即x1、x2是方程2x2＋2x－m＝0的两根，从而有x1＋x2＝－1，Δ＝4＋8m＞0⇒m＞－　①.又AB的中点N(－，m＋1)在直线L上，即m＋1＝－＋b⇒m＝b－，将m＝b－代入①得b＞.故直线L在y轴上截距的取值范围是.答案：9．设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为__________．5\n解析：依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上时才有可能，可设圆心坐标是(a,0)(0＜a＜3)，则由条件知圆的方程是(x－a)2＋y2＝(3－a)2.由消去y得x2＋2(1－a)x＋6a－9＝0，结合图形分析可知，当Δ＝[2(1－a)]2－4(6a－9)＝0且0＜a＜3，即a＝4－时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3－a＝－1.答案：－1三、解答题10．设抛物线顶点在原点，开口向上，A为抛物线上一点，F为抛物线焦点，M为准线l与y轴的交点，已知|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的方程．解析：作AB⊥y轴于B，AC⊥l于C.据抛物线定义，|AC|＝|AF|.∵|AF|＝3，∴|AC|＝3，从而|BM|＝|AC|＝3.∵|AM|＝，∴在Rt△ABM中，|AB|2＝|AM|2－|BM|2＝17－9＝8.在Rt△ABF中，|BF|2＝|AF|2－|AB|2＝9－8＝1，∴|BF|＝1.从而|FM|＝|BF|＋|BM|＝4或|FM|＝|BM|－|BF|＝2，即抛物线的焦准距p＝4或p＝2，又抛物线开口向上，故抛物线方程为x2＝8y或x2＝4y.11．(2022·浙江卷)已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．解析：(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，得＝1，∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1(直线AB的斜率显然存在)，由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.从而|x1－x2|＝4.显然x1，x2均不为0，由5\n解得点M的横坐标xM＝＝＝.同理点N的横坐标xN＝.∴|MN|＝|xM－xN|＝＝8＝.令4k－3＝t，t≠0，则k＝.∴|MN|＝2≥.综上所述，当t＝－，即k＝－时，|MN|的最小值是.12．(2022·广东卷)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)，(c>0)到直线l：x－y－2＝0的距离为.设P为直线l上的点，过点P做抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|·|BF|的最小值．解析：(1)依题意d＝＝，解得c＝1(负根舍去)．∴抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2＝4y，即y＝x2得y′＝x，[来源:学科网ZXXK]∴抛物线C在点A处的切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x＋y1－x.∵y1＝x，∴y＝x－y1.∵点P(x0，y0)在切线l1上，∴y0＝x0－y1.①同理，y0＝x0－y2.②综合①②得，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标都满足方程y0＝x0－y.∵经过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的直线是唯一的，5\n∴直线AB的方程为y0＝x0－y，即x0x－2y－2y0＝0.(3)由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋1，|BF|＝y2＋1，∴|AF|·|BF|＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1＋y2＋y1y2＋1，联立消去x得y2＋(2y0－x)y＋y＝0，∴y1＋y2＝x－2y0，y1y2＝y.∵x0－y0－2＝0，∴|AF|·|BF|＝y－2y0＋x＋1＝y－2y0＋(y0＋2)2＋1＝2y＋2y0＋5＝22＋，∴y0＝－时，|AF|·|BF|取得最小值为.5