【世纪金榜】2022届高考数学总复习 课时提升作业(四十九) 8.7抛物线 文 新人教A版

课时提升作业(四十九)抛　物　线一、选择题(每小题5分,共25分)1.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△PMF的面积为(　　)A.5B.10C.20D.【解析】选B.根据题意得点P的坐标为(4,±4),所以S△PMF=|yP||PM|=×4×5=10,所以选B.【方法技巧】求解抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题的技巧抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离经常相互转化:(1)若求点到焦点的距离,则可联想点到准线的距离.(2)若求点到准线的距离,则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.【加固训练】(2022·石家庄模拟)若抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为(　　)A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=10x【解析】选C.由题意可知p>0,因为抛物线y2=2px,所以其准线方程为x=-,因为点P(2,y0)到其准线的距离为4,所以|--2|=4,所以p=4,故抛物线方程为y2=8x.故选C.2.(2022·郑州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点,若△PQF是边长为2的正三角形,则p的值是(　　)A.2±B.2+C.±1D.-1【解析】选A.F设y2(y1≠y2).由抛物线定义及|PF|=|QF|,得,所以=,又y1≠y2,所以y1=-y2,所以|PQ|=2|y1|=2,|y1|=1,所以|PF|==2,解得p=2±.-11-\n3.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为(　　)A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】选C.由已知得抛物线的焦点F设点A(0,2),抛物线上点,则=,=.由已知得,·=0,即-8y0+16=0,因而y0=4,M.由|MF|=5得,=5,又p>0,解得p=2或p=8,故选C.4.(2022·济南模拟)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k的值为(　　)【解析】选C.设抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)(k>0)恒过定点P(-2,0),如图过A,B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点,连接OB,则|OB|=|FA|,所以|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,故点B的坐标为(1,2),把B点坐标代入直线方程得k的值为.5.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为(　　)A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2-11-\n【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线AB的方程为:y=x-,与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,所以y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1,故选B.【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得y1+y2=4,=2px1,=2px2,两式相减得:kAB==1,所以p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,同时,要注意使用条件是Δ≥0.(2)在椭圆=1(a>b>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=(3)在双曲线=1(a>0,b>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.(4)在抛物线y2=2px(p>0)中,以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k=.【加固训练】(2022·孝感模拟)直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若AB中点的横坐标为3,则线段AB的长为(　　)A.5B.6C.7D.8【解析】选D.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l0,A(xA,yA),B(xB,yB),C是AB的中点,其坐标为(xC,yC),分别过点A,B作直线l0的垂线,垂足分别为M,N,由抛物线的定义得|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=xA+1+xB+1=xA+xB+2=2xC+2=8.二、填空题(每小题5分,共15分)-11-\n6.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离为3,则抛物线的方程是　　　　.【解析】由题意可设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离即为点P到准线y=的距离,所以+2=3,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=-4y.答案:x2=-4y【误区警示】本题易忽视条件“焦点在y轴上”,误认为抛物线有两种形式,而造成解题错误.7.(2022·安徽高考)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为　　　　.【解析】设直线y=a与y轴交于M点,若抛物线y=x2上存在C点使得∠ACB=90°,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有除A,B外的交点即可,即使|AM|≤|MO|,所以≤a,所以a≥1或a≤0,因为由题意知a>0,所以a≥1.答案:[1,+∞)【一题多解】本题也可以用如下的方法解决:设C(m,m2),由已知可令A(,a),B(-,a),则=(m-,m2-a),=(m+,m2-a),因为⊥,所以m2-a+m4-2am2+a2=0,可得(m2-a)(m2+1-a)=0,解得m2=a>0且m2=a-1≥0,故a∈[1,+∞).答案:[1,+∞)8.已知抛物线x2=2y,过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于P,Q两点,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为　　　　.【解析】由x2=2y得y=x2,所以y′=x.设P(x1,y1),Q(x2,y2),所以抛物线在P,Q两点处的切线的斜率分别为x1,x2,所以过点P的抛物线的切线方程为y-y1=x1(x-x1),又=2y1,所以切线方程为y=x1x-,同理可得过点Q的切线方程为y=x2x-,两切线方程联立解得-11-\n又抛物线焦点F的坐标为（0,）,设直线l的方程为y=mx+,由得x2-2mx-1=0,所以x1x2=-1,所以yA=-.答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2022·西安模拟)已知抛物线x2=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A,B两点,抛物线在A,B两点处的切线交于点M.(1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列.(2)设直线MF交该抛物线于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.【解析】(1)由已知,得F(0,1),显然直线AB的斜率存在且不为0,则可设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-4kx-4=0,显然Δ=16k2+16>0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由x2=4y,得y=x2,所以y′=x,所以直线AM的斜率为kAM=x1,所以直线AM的方程为y-y1=x1(x-x1),又=4y1,所以直线AM的方程为x1x=2(y+y1)①.同理,直线BM的方程为x2x=2(y+y2)②.②-①并据x1≠x2得点M的横坐标x=,即A,M,B三点的横坐标成等差数列.(2)由①②易得y=-1,所以点M的坐标为(2k,-1)(k≠0).所以kMF=则直线MF的方程为y=-x+1,设C(x3,y3),D(x4,y4),-11-\n由消去y,得x2+x-4=0,显然Δ=+16>0,所以x3+x4=-,x3x4=-4.当且仅当k=±1时,四边形ACBD面积取到最小值32.10.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点P(2,1).(1)求抛物线的标准方程.(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点,求直线l的方程.(3)过点Q(1,1)作直线交抛物线于A,B两点,使得Q恰好平分线段AB,求直线AB的方程.【解题提示】(1)设抛物线的标准方程为x2=2py,把点P(2,1)代入可得p值,从而求得抛物线的标准方程.(2)当斜率不存在时,直线方程为x=2符合题意;当斜率存在时,先设直线方程并联立抛物线方程,得出Δ=0,即可求出结果.(3)由题意可知,AB的斜率存在,设AB的方程为y-1=k(x-1),代入抛物线的标准方程化简,由x1+x2=2,求得k的值,从而得到AB的方程.【解析】(1)设抛物线的标准方程为x2=2py,把点P(2,1)代入可得4=2p,所以p=2,故所求的抛物线的标准方程为x2=4y.(2)(i)当斜率不存在时,直线方程为x=2,符合题意;-11-\n(ii)当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),即y=kx-2k+1,联立方程可得整理可得x2-4kx+8k-4=0.因为直线与抛物线只有一个公共点,所以Δ=16k2-32k+16=0,所以k=1.综上可得,直线l的方程为x-y-1=0或x=2.(3)由题意可知,AB的斜率存在,设AB的方程为y-1=k′(x-1),代入抛物线的标准方程x2=4y可得x2-4k′x+4k′-4=0,所以x1+x2=4k′=2,所以k′=,所以AB的方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.(20分钟　40分)1.(5分)(2022·天津高考)已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=(　　)A.1B.C.2D.3【解析】选C.双曲线的离心率2.(5分)(2022·武汉模拟)如图,已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线-11-\n=1(a>0,b>0)的右焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该双曲线的离心率为(　　)A.B.2C.+1D.-1【解题提示】先根据抛物线方程及两条曲线交点的连线过点F得到交点坐标,代入双曲线,把=c代入整理得c4-6a2c2+a4=0,等式两边同除以a4,得到关于离心率e的方程,进而可求得e.【解析】选C.由题意,因为两条曲线交点的连线过点F,所以两条曲线的一个交点为代入双曲线方程得又=c,所以=1,化简得c4-6a2c2+a4=0,所以e4-6e2+1=0,所以e2=3+2=(1+)2,所以e=+1,故选C.3.(5分)已知点F为抛物线C:x2=4y的焦点,过点M（2,-）作直线l交抛物线C于A,B两点,设直线FA,FM,FB的斜率分别为k1,k2,k3,若k1,k2,k3成公差不为零的等差数列,则直线l的方程是　　　　.【解析】抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1).设直线l的方程为y+=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-4kx+8k+2=0,故Δ=16k2-4(8k+2)>0,所以k<-11-\n或k>.又k1,k2,k3成公差不为零的等差数列,则k1+k3=2k2.而k1+k3=+=所以=-,8k2+10k+3=0,解得k=-或k=-.所以直线l的方程为y+=-(x-2)或y+=-(x-2),即x+2y-1=0或3x+4y-4=0.答案:x+2y-1=0或3x+4y-4=04.(12分)(2022·杭州模拟)已知曲线C上的动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1.(1)求曲线C的方程.(2)动点E在直线l上,过点E分别作曲线C的切线EA,EB,切点为A,B.直线AB是否恒过定点,若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.【解析】(1)因为动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离比到直线l:y=-2的距离小1,所以动点P(x,y)满足到点F(0,1)的距离与直线l′:y=-1的距离相等.所以曲线C是以F(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线,所以曲线C的方程是:x2=4y.(2)设E(a,-2),切点为,由x2=4y得y=,所以y′=,所以解得:x0=a±,所以化简直线AB方程得:y-2=x,所以直线AB恒过定点(0,2).【加固训练】已知抛物线C:x2-11-\n=2py(p>0),O为坐标原点,F为抛物线的焦点,直线y=x与抛物线C相交于不同的两点O,N,且|ON|=4.(1)求抛物线C的方程.(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A,B,交x轴于点M,且=a,=b,对任意的直线l,a+b是否为定值?若是,求出a+b的值;否则,说明理由.【解析】(1)联立方程得x2-2px=0,故O(0,0),N(2p,2p),所以|ON|=由2p=4,得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零,设其方程为y=kx+1,则直线l与x轴交点为设点A(x1,y1),点B(x2,y2),由得x2-4kx-4=0,所以Δ=(4k)2-(-16)=16(k2+1)>0,所以x1+x2=4k,x1·x2=-4.由=a,得=a(-x1,1-y1),所以同理可得所以a+b=所以对任意的直线l,a+b为定值-1.5.(13分)(能力挑战题)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-.-11-\n(1)求p的值.(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).【解析】(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-,所以A点坐标为（-1,）.故切线MA的方程为y=-(x+1)+.因为点M(1-,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是y0=-(2-)+=-,　①y0=-=-.　②由①②得p=2.(2)设N(x,y),A（x1,）,B（x2,）,x1≠x2,由N为线段AB中点知x=,　③　y=.　④切线MA,MB的方程为y=(x-x1)+,　⑤y=(x-x2)+.　⑥由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=,y0=.因为点M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,所以x1x2=-.　⑦由③④⑦得x2=y,x≠0.当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.因此AB中点N的轨迹方程为x2=y.-11-