2024年高考数学一轮复习讲练测：重难点突破01 奔驰定理与四心问题（五大题型）（解析版）

重难点突破01奔驰定理与四心问题目录技巧一．四心的概念介绍：（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点．已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为．注意：（1）在中，若为重心，则．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：．34 奔驰定理：，则、、的面积之比等于奔驰定理证明：如图，令，即满足，，，故．技巧三．三角形四心与推论：（1）是的重心：．（2）是的内心：．（3）是的外心：．（4）是的垂心：．技巧四．常见结论（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上．为的内心．（2）外心：为的外心．（3）垂心：为的垂心．（4）重心：为的重心．题型一：奔驰定理例1．（2023·全国·高一专题练习）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（    ）A．B．C．D．【答案】A34 【解析】由正弦定理,又，，，所以得,因为,所以.设可得则是的重心，，利用,,所以,所以,同理可得,.所以与的面积之比为即为.故选：A.例2．（2023·安徽六安·高一六安一中校考期末）已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，设，∵，∴，设与交于点，则平分，∴，是中点，∴．比值为．故选：C．34 例3．（2023·全国·高一专题练习）若点是所在平面内的一点，点是边靠近的三等分点，且满足，则与的面积比为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】是所在平面内一点，连接，，延长至使，∵，∴，连接，则四边形是平行四边形，向量和向量平行且模相等，由于，所以，又，所以，在平行四边形中，，则与的面积比为，故选：C.变式1．（2023·全国·高三专题练习）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ）34 A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B【解析】由得，由得，根据平面向量基本定理可得，，所以，，延长交于，延长交于，则，又，所以，所以为的平分线，同理可得是的平分线，所以为的内心.故选：B变式2．（2023·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（     ）34   A．若，则O为△ABC的重心B．若，则C．则O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则D．若，，，则【答案】D【解析】对于A：如下图所示，  假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确；对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为，则有可知，若，可得，即B正确；对于C：由四边形内角和可知，，则，同理，，因为O为的垂心，则，所以，同理得，，则，令，由，则，34 同理：，，综上，，根据奔驰定理得，即C正确.对于D：由可知，，又，所以由可得，；所以，即D错误；故选：D.  变式3．（多选题）（2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ）A．若，则B．若，，且，则C．若，则为的垂心D．若为的内心，且，则【答案】BCD【解析】对选项A：，则，错误；对选项B：，，34 故，，正确；对选项C：，即，故，同理可得，，故为的垂心，正确；对选项D：，故，设内接圆半径为，，，，即，即，，正确.故选：BCD变式4．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，则.设是锐角内的一点，、、分别是的三个内角，以下命题正确的有（    ）A．若，则B．，，，则C．若为的内心，，则D．若为的重心，则【答案】ACD【解析】对于A选项，因为，由“奔驰定理”可知，A对；对于B选项，由，，可知，又，所以，由可得，，，所以，B错；对于C选项，若为的内心，，则，又（为内切圆半径），34 所以，，故，C对；对于D选项，如下图所示，因为为的重心，延长交于点，则为的中点，所以，，，且，，所以，，由“奔驰定理”可得，D对.故选：ACD.题型二：重心定理例4．（2023·福建泉州·高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为O，重心为G，垂心为H，M为BC中点，且，，则下列各式正确的有______．①   ②③     ④【答案】①③④【解析】对于①，重心为G，有，故，故①正确；对于②，外心为O，过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E，易知D、E分别是AB、AC的中点，有，∴，故②错误；34 对于③，由欧拉线定理得，即，又有，故，即，故③正确；对于④，由得，故，所以，故④正确.故答案为：①③④.例5．（2023·全国·高一专题练习）点是平面上一定点，、、是平面上的三个顶点，、分别是边、的对角，以下命题正确的是_______（把你认为正确的序号全部写上）．①动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；②动点满足，则的内心一定在满足条件的点集合中；③动点满足，则的重心一定在满足条件的点集合中；④动点满足，则的垂心一定在满足条件的点集合中；⑤动点满足，则的外心一定在满足条件的点集合中．【答案】①②③④⑤【解析】对于①，因为动点满足，，则点是的重心，故①正确；对于②，因为动点满足，，34 又在的平分线上，与的平分线所在向量共线，所以的内心在满足条件的点集合中，②正确；对于③，动点满足，，，过点作，垂足为，则，，向量与边的中线共线，因此的重心一定在满足条件的点集合中，③正确；对于④，动点满足，，，，所以的垂心一定在满足条件的点集合中，④正确；对于⑤，动点满足，设，则，由④知，，，点的轨迹为过的的垂线，即的中垂线；所以的外心一定在满足条件的点集合，⑤正确．故正确的命题是①②③④⑤．故答案为：①②③④⑤．例6．（2023·河南·高一河南省实验中学校考期中）若为的重心（重心为三条中线交点），且，则___．34 【答案】【解析】在中，取中点，连接，由重心的性质可得为的三等分点，且，又为的中点，所以，所以，所以.故答案为：变式5．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知△ABC的外心为O，且AB=5，，则______．（2）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，则______．（3）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，，D为BC中点，则____．【答案】【解析】（1）由题意得：如图过O作，垂足为，则是的中点，，又，（2）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成两部分34 ，（3）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成两部分，故答案为：（1）（2）（3）变式6．（2023·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习）在中，，，，若是的重心，则______.【答案】7【解析】如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设，∵，，∴，∵，解得，∴34 ∵是的重心，延长交于点，则为中点，所以,∴，,∴.故答案为：7  变式7．（2023·江西南昌·高三校联考期中）锐角中，，，为角，，所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为______．【答案】，【解析】由题意，，又，则，所以，即，由，，，所以,，由为锐角三角形及上式，则，即，可得，所以在上递减，在上递增，则.故答案为：34 变式8．（2023·全国·高三专题练习）过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，，，则n的值为________.【答案】【解析】如图，因为O是重心，所以，即，因为，所以，所以，又，则，所以因为P，O，Q三点共线，所以，所以，解得.故答案为：变式9．（2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）在中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设的面积为，的面积为，且，则的取值范围为_________．【答案】【解析】根据题意，连接，作图如下：，34 在三角形中，因为为其重心，故可得结合已知条件可得：，因为三点共线，故可得，即，由题设可知，，又，得，故，令，可得，，则，又在单调递减，单调递增，当时，，当时，，当时，，故.故答案为：.题型三：内心定理例7．（2023·湖北·模拟预测）在中，，，，且，若为的内心，则_________．【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，所以，又，，所以，所以，由余弦定理可得，又，所以，又，所以，所以为以为斜边的直角三角形，设的内切圆与边相切于点，内切圆的半径为，由直角三角形的内切圆的性质可得，故，34 因为，所以，因为，所以，所以所以.故答案为：.例8．（2023·全国·高三专题练习）已知中，，，，I是的内心，P是内部（不含边界）的动点.若（，），则的取值范围是______.【答案】【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则，因为是三角形的内心，设三角形内切圆半径为，则，解得.所以，.依题意点在三角形的内部（不含边界）.因为，所以，所以，令，34 则，由图可知，当过时，.当，过，即为直线时，.所以的取值范围时.故答案为：例9．（2023·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考阶段练习）设为的内心，，，，则为________．【答案】【解析】因为，所以取BC中点为O，连接AO，则，且的内心在AO上，IO即为的内切圆半径，又，所以AO，因为，即，所以，，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，则，，，则34 ，，，因为，即，所以解得，所以，故答案为：.变式10．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习）已知点是的内心，若，则______.【答案】【解析】因为，即，取中点，连接，则，故，故点共线，又，故，且，所以.故答案为：.变式11．（2023·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的__心.【答案】内【解析】，，，34 ，，分别是，方向上的单位向量，向量平分，即平分，同理平分，为的内心，故答案为：内变式12．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（    ）A．重心B．外心C．内心D．垂心【答案】C【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向与的角平分线一致，由，可得，即，所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C.变式13．（2023·江西·校联考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，，分别为的重心和内心，则（    ）A．B．C．2D．【答案】D【解析】34 由椭圆可得，，如图，设的内切圆与三边分别相切与，，，，分别为的重心和内心．则，，，所以，所以故选：D变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知，是其内心，内角所对的边分别，则（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】延长，分别交于.内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形和三角形中，由正弦定理得：，由于，所以，，同理可得，，34 .所以，则.故选：C变式15．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图：圆O在边上的切点分别为，连接，延长交于点设，则，则设∵三点共线，则，即即故选：D．34 变式16．（2023·全国·高三专题练习）点在所在平面内，给出下列关系式：（1）；      （2）；（3）；（4）．则点依次为的（     ）A．内心、外心、重心、垂心；B．重心、外心、内心、垂心；C．重心、垂心、内心、外心；D．外心、内心、垂心、重心【答案】C【解析】（1）显然得出为的重心；（2），同理，所以为的垂心；（3）OA,OB分别是的角平分线，所以为的内心；（4）（M是AB中点）同理（N是BC中点），所以为的外心.故选：.变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，为内一点，若分别满足下列四个条件：①；②；③；④；则点分别为的（   ）A．外心、内心、垂心、重心B．内心、外心、垂心、重心34 C．垂心、内心、重心、外心D．内心、垂心、外心、重心【答案】D【解析】先考虑直角，可令，，，可得，，，设，①，即为，即有，，解得，即有到，轴的距离为1，在的平分线上，且到的距离也为1，则为的内心；③，即为，可得，，解得，，由，故为的外心；④，可得，即为，，解得，，由的中点为，，，即分中线比为，故为的重心；考虑等腰，底角为，34 设，，，，②，即为，可得，，解得，，即，由，，即有，故为的垂心．故选：D题型四：外心定理例10．（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）设O为的外心，且满足，，下列结论中正确的序号为______．①；②；③．【答案】①③【解析】由题意可知：．①，则，两边同时平方得到：，解得：，故①正确．②，则，，两边再平方得到：．所以|，所以②不正确．③，，两边平方得到：，，，同理可得：，，，．故，，且，，，即．故③正确．故答案为：①③例11．（2023·河北·模拟预测）已知为的外心，，，则___________．34 【答案】/-3.5【解析】如图：分别为的中点，则故答案为：.例12．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知是的外心，若，且，则实数的最大值为______．【答案】/【解析】设三角形的外接圆的半径为，，根据向量数量积的几何定义可得：，即，，又，根据正弦定理可得，，，，当且仅当时，即为等边三角形时取等号，34 ，，实数的最大值为．故答案为：变式18．（2023·全国·高三专题练习）设O为的外心，若，，则___________.【答案】【解析】如图，设D､E分别为的中点，则，所以,故答案为：-2    .变式19．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且，则的值为________．【答案】.【解析】如图，分别取，的中点，，连接，，则；，因为，设的外接圆半径为，由正弦定理可得，34 所以两边同时点乘可得,即,所以，所以,所以，所以，即，所以.故答案为：.变式20．（2023·全国·高三专题练习）在中，，．点满足．过点的直线分别与边交于点且，．已知点为的外心，，则为______．【答案】【解析】三点共线，可设，，，即，，，即，，；，，为的外心，，，整理可得：，    ，解得：（舍）或；34 ，.故答案为：.变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知△ABC中，，点O是△ABC的外心，则________.【答案】/【解析】在中，，，点是的外心，又，所以是等腰直角三角形，所以是三角形的斜边中点，所以．故答案为：．变式22．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（    ）A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】B【解析】设中点为，所以，所以，即，所以，又由为中点可得点在的垂直平分线上，所以点是的外心，故选：B题型五：垂心定理例13．（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则是的（    ）A．重心（三条中线交点）B．内心（三条角平分线交点）34 C．垂心（三条高线交点）D．外心（三边中垂线交点）【答案】C【解析】在中，为外心，可得，∵，∴，设的中点为，则，，∴，可得在边的高线上．同理可证，在边的高线上，故是三角形两高线的交点，可得是三角形的垂心，故选：C例14．（2023·全国·高三专题练习）已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则______.【答案】/【解析】因为，所以，同理，由H为△ABC的垂心，得，即，可知，即，34 同理有，即，可知，即，所以，，又，所以．故答案为：.例15．（2023·北京·高三强基计划）已知H是的垂心，，则的最大内角的正弦值是_________．【答案】【解析】法1：根据三角形五心的向量表达，有，设分别为，根据三角恒等式，可得，因此的最大内角的正切值为，因此最大内角的正弦值为．法2：因为H是的垂心，故，设，则，故，同理，，，而，故，同理，，，因为，故最大，故.故答案为：变式23．（2023·全国·高三专题练习）设H是的垂心，且，则_____．34 【答案】【解析】∵H是的垂心，∴，，∴，同理可得，，故，∵，∴，∴，同理可求得，∴，，∴，即.故答案为：．变式24．（2023·全国·高三专题练习）在中，点O、点H分别为的外心和垂心，，则________.【答案】8【解析】，，因为H为垂心，所以，，设，外接圆的半径为，由余弦定理得，，，同理，，，所以，34 ，，，，，所以8，故答案为：8变式25．（2023·全国·高三专题练习）在中，，，为的垂心，且满足，则___________.【答案】【解析】如图所示，为的中点，不妨设，则.因为，则，则，，由此可得.故答案为：.34 34