首页
登录
字典
词典
成语
近反义词
字帖打印
造句
组词
古诗
谜语
书法
文言文
歇后语
三字经
百家姓
单词
翻译
会员
投稿
首页
同步备课
小学
初中
高中
中职
试卷
小升初
中考
高考
职考
专题
文库资源
您的位置:
首页
>
高考
>
一轮复习
>
2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破01 奔驰定理与四心问题(五大题型)(解析版)
2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破01 奔驰定理与四心问题(五大题型)(解析版)
资源预览
文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。
侵权申诉
举报
1
/34
2
/34
剩余32页未读,
查看更多内容需下载
充值会员,即可免费下载
文档下载
重难点突破01奔驰定理与四心问题目录技巧一.四心的概念介绍:(1)重心:中线的交点,重心将中线长度分成2:1.(2)内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等.(3)外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.(4)垂心:高线的交点,高线与对应边垂直.技巧二.奔驰定理---解决面积比例问题重心定理:三角形三条中线的交点.已知的顶点,,,则△ABC的重心坐标为.注意:(1)在中,若为重心,则.(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1,且分的三个三角形面积相等.重心的向量表示:.34 奔驰定理:,则、、的面积之比等于奔驰定理证明:如图,令,即满足,,,故.技巧三.三角形四心与推论:(1)是的重心:.(2)是的内心:.(3)是的外心:.(4)是的垂心:.技巧四.常见结论(1)内心:三角形的内心在向量所在的直线上.为的内心.(2)外心:为的外心.(3)垂心:为的垂心.(4)重心:为的重心.题型一:奔驰定理例1.(2023·全国·高一专题练习)已知是内部的一点,,,所对的边分别为,,,若,则与的面积之比为( )A.B.C.D.【答案】A34 【解析】由正弦定理,又,,,所以得,因为,所以.设可得则是的重心,,利用,,所以,所以,同理可得,.所以与的面积之比为即为.故选:A.例2.(2023·安徽六安·高一六安一中校考期末)已知是三角形内部一点,且,则的面积与的面积之比为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】如图,设,∵,∴,设与交于点,则平分,∴,是中点,∴.比值为.故选:C.34 例3.(2023·全国·高一专题练习)若点是所在平面内的一点,点是边靠近的三等分点,且满足,则与的面积比为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】是所在平面内一点,连接,,延长至使,∵,∴,连接,则四边形是平行四边形,向量和向量平行且模相等,由于,所以,又,所以,在平行四边形中,,则与的面积比为,故选:C.变式1.(2023·全国·高三专题练习)平面上有及其内一点O,构成如图所示图形,若将,,的面积分别记作,,,则有关系式.因图形和奔驰车的很相似,常把上述结论称为“奔驰定理”.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足,则O为的( )34 A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】B【解析】由得,由得,根据平面向量基本定理可得,,所以,,延长交于,延长交于,则,又,所以,所以为的平分线,同理可得是的平分线,所以为的内心.故选:B变式2.(2023·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理:已知O是△ABC内的一点,△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为、、,则有,设O是锐角△ABC内的一点,∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角,以下命题错误的是( )34 A.若,则O为△ABC的重心B.若,则C.则O为△ABC(不为直角三角形)的垂心,则D.若,,,则【答案】D【解析】对于A:如下图所示, 假设为的中点,连接,则,故共线,即在中线上,同理可得在另外两边的中线上,故O为的重心,即A正确;对于B:由奔驰定理O是内的一点,的面积分别为,则有可知,若,可得,即B正确;对于C:由四边形内角和可知,,则,同理,,因为O为的垂心,则,所以,同理得,,则,令,由,则,34 同理:,,综上,,根据奔驰定理得,即C正确.对于D:由可知,,又,所以由可得,;所以,即D错误;故选:D. 变式3.(多选题)(2023·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理:已知是内一点,,,的面积分别为,则,是内的一点,∠,∠,∠分别是的三个内角,以下命题正确的有( )A.若,则B.若,,且,则C.若,则为的垂心D.若为的内心,且,则【答案】BCD【解析】对选项A:,则,错误;对选项B:,,34 故,,正确;对选项C:,即,故,同理可得,,故为的垂心,正确;对选项D:,故,设内接圆半径为,,,,即,即,,正确.故选:BCD变式4.(多选题)(2023·全国·高一专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似,故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理:已知是内一点,、、的面积分别为、、,则.设是锐角内的一点,、、分别是的三个内角,以下命题正确的有( )A.若,则B.,,,则C.若为的内心,,则D.若为的重心,则【答案】ACD【解析】对于A选项,因为,由“奔驰定理”可知,A对;对于B选项,由,,可知,又,所以,由可得,,,所以,B错;对于C选项,若为的内心,,则,又(为内切圆半径),34 所以,,故,C对;对于D选项,如下图所示,因为为的重心,延长交于点,则为的中点,所以,,,且,,所以,,由“奔驰定理”可得,D对.故选:ACD.题型二:重心定理例4.(2023·福建泉州·高一校考期中)著名数学家欧拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,此直线被称为三角形的欧拉线,该定理被称为欧拉线定理.已知的外心为O,重心为G,垂心为H,M为BC中点,且,,则下列各式正确的有______.① ②③ ④【答案】①③④【解析】对于①,重心为G,有,故,故①正确;对于②,外心为O,过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线,垂足为D、E,易知D、E分别是AB、AC的中点,有,∴,故②错误;34 对于③,由欧拉线定理得,即,又有,故,即,故③正确;对于④,由得,故,所以,故④正确.故答案为:①③④.例5.(2023·全国·高一专题练习)点是平面上一定点,、、是平面上的三个顶点,、分别是边、的对角,以下命题正确的是_______(把你认为正确的序号全部写上).①动点满足,则的重心一定在满足条件的点集合中;②动点满足,则的内心一定在满足条件的点集合中;③动点满足,则的重心一定在满足条件的点集合中;④动点满足,则的垂心一定在满足条件的点集合中;⑤动点满足,则的外心一定在满足条件的点集合中.【答案】①②③④⑤【解析】对于①,因为动点满足,,则点是的重心,故①正确;对于②,因为动点满足,,34 又在的平分线上,与的平分线所在向量共线,所以的内心在满足条件的点集合中,②正确;对于③,动点满足,,,过点作,垂足为,则,,向量与边的中线共线,因此的重心一定在满足条件的点集合中,③正确;对于④,动点满足,,,,所以的垂心一定在满足条件的点集合中,④正确;对于⑤,动点满足,设,则,由④知,,,点的轨迹为过的的垂线,即的中垂线;所以的外心一定在满足条件的点集合,⑤正确.故正确的命题是①②③④⑤.故答案为:①②③④⑤.例6.(2023·河南·高一河南省实验中学校考期中)若为的重心(重心为三条中线交点),且,则___.34 【答案】【解析】在中,取中点,连接,由重心的性质可得为的三等分点,且,又为的中点,所以,所以,所以.故答案为:变式5.(2023·全国·高一专题练习)(1)已知△ABC的外心为O,且AB=5,,则______.(2)已知△ABC的重心为O,且AB=5,,则______.(3)已知△ABC的重心为O,且AB=5,,,D为BC中点,则____.【答案】【解析】(1)由题意得:如图过O作,垂足为,则是的中点,,又,(2)根据重心的性质,知重心将相应的中线分成两部分34 ,(3)根据重心的性质,知重心将相应的中线分成两部分,故答案为:(1)(2)(3)变式6.(2023·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习)在中,,,,若是的重心,则______.【答案】7【解析】如图所示,以为坐标原点,所在直线为轴,建立平面直角坐标系.设,∵,,∴,∵,解得,∴34 ∵是的重心,延长交于点,则为中点,所以,∴,,∴.故答案为:7 变式7.(2023·江西南昌·高三校联考期中)锐角中,,,为角,,所对的边,点为的重心,若,则的取值范围为______.【答案】,【解析】由题意,,又,则,所以,即,由,,,所以,,由为锐角三角形及上式,则,即,可得,所以在上递减,在上递增,则.故答案为:34 变式8.(2023·全国·高三专题练习)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P,交BC于点Q,,,则n的值为________.【答案】【解析】如图,因为O是重心,所以,即,因为,所以,所以,又,则,所以因为P,O,Q三点共线,所以,所以,解得.故答案为:变式9.(2023·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中)在中,过重心G的直线交边AB于点P,交边AC于点Q,设的面积为,的面积为,且,则的取值范围为_________.【答案】【解析】根据题意,连接,作图如下:,34 在三角形中,因为为其重心,故可得结合已知条件可得:,因为三点共线,故可得,即,由题设可知,,又,得,故,令,可得,,则,又在单调递减,单调递增,当时,,当时,,当时,,故.故答案为:.题型三:内心定理例7.(2023·湖北·模拟预测)在中,,,,且,若为的内心,则_________.【答案】【解析】因为,所以,因为,所以,所以,又,,所以,所以,由余弦定理可得,又,所以,又,所以,所以为以为斜边的直角三角形,设的内切圆与边相切于点,内切圆的半径为,由直角三角形的内切圆的性质可得,故,34 因为,所以,因为,所以,所以所以.故答案为:.例8.(2023·全国·高三专题练习)已知中,,,,I是的内心,P是内部(不含边界)的动点.若(,),则的取值范围是______.【答案】【解析】建立如图所示平面直角坐标系,则,因为是三角形的内心,设三角形内切圆半径为,则,解得.所以,.依题意点在三角形的内部(不含边界).因为,所以,所以,令,34 则,由图可知,当过时,.当,过,即为直线时,.所以的取值范围时.故答案为:例9.(2023·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考阶段练习)设为的内心,,,,则为________.【答案】【解析】因为,所以取BC中点为O,连接AO,则,且的内心在AO上,IO即为的内切圆半径,又,所以AO,因为,即,所以,,以所在直线为轴,的垂直平分线为轴建立坐标系,则,,,则34 ,,,因为,即,所以解得,所以,故答案为:.变式10.(2023·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习)已知点是的内心,若,则______.【答案】【解析】因为,即,取中点,连接,则,故,故点共线,又,故,且,所以.故答案为:.变式11.(2023·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末)在面上有及内一点满足关系式:即称为经典的“奔驰定理”,若的三边为,,,现有,则为的__心.【答案】内【解析】,,,34 ,,分别是,方向上的单位向量,向量平分,即平分,同理平分,为的内心,故答案为:内变式12.(2023·贵州安顺·统考模拟预测)已知O是平面上的一个定点,A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足,则点P的轨迹一定经过的( )A.重心B.外心C.内心D.垂心【答案】C【解析】因为为方向上的单位向量,为方向上的单位向量,则的方向与的角平分线一致,由,可得,即,所以点P的轨迹为的角平分线所在直线,故点P的轨迹一定经过的内心.故选:C.变式13.(2023·江西·校联考模拟预测)已知椭圆的左右焦点分别为,,为椭圆上异于长轴端点的动点,,分别为的重心和内心,则( )A.B.C.2D.【答案】D【解析】34 由椭圆可得,,如图,设的内切圆与三边分别相切与,,,,分别为的重心和内心.则,,,所以,所以故选:D变式14.(2023·全国·高三专题练习)已知,是其内心,内角所对的边分别,则( )A.B.C.D.【答案】C【解析】延长,分别交于.内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形和三角形中,由正弦定理得:,由于,所以,,同理可得,,34 .所以,则.故选:C变式15.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC中,,O为△ABC的内心,若,则x+y的最大值为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】如图:圆O在边上的切点分别为,连接,延长交于点设,则,则设∵三点共线,则,即即故选:D.34 变式16.(2023·全国·高三专题练习)点在所在平面内,给出下列关系式:(1); (2);(3);(4).则点依次为的( )A.内心、外心、重心、垂心;B.重心、外心、内心、垂心;C.重心、垂心、内心、外心;D.外心、内心、垂心、重心【答案】C【解析】(1)显然得出为的重心;(2),同理,所以为的垂心;(3)OA,OB分别是的角平分线,所以为的内心;(4)(M是AB中点)同理(N是BC中点),所以为的外心.故选:.变式17.(2023·全国·高三专题练习)已知的内角、、的对边分别为、、,为内一点,若分别满足下列四个条件:①;②;③;④;则点分别为的( )A.外心、内心、垂心、重心B.内心、外心、垂心、重心34 C.垂心、内心、重心、外心D.内心、垂心、外心、重心【答案】D【解析】先考虑直角,可令,,,可得,,,设,①,即为,即有,,解得,即有到,轴的距离为1,在的平分线上,且到的距离也为1,则为的内心;③,即为,可得,,解得,,由,故为的外心;④,可得,即为,,解得,,由的中点为,,,即分中线比为,故为的重心;考虑等腰,底角为,34 设,,,,②,即为,可得,,解得,,即,由,,即有,故为的垂心.故选:D题型四:外心定理例10.(2023·山西吕梁·高三统考阶段练习)设O为的外心,且满足,,下列结论中正确的序号为______.①;②;③.【答案】①③【解析】由题意可知:.①,则,两边同时平方得到:,解得:,故①正确.②,则,,两边再平方得到:.所以|,所以②不正确.③,,两边平方得到:,,,同理可得:,,,.故,,且,,,即.故③正确.故答案为:①③例11.(2023·河北·模拟预测)已知为的外心,,,则___________.34 【答案】/-3.5【解析】如图:分别为的中点,则故答案为:.例12.(2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习)已知是的外心,若,且,则实数的最大值为______.【答案】/【解析】设三角形的外接圆的半径为,,根据向量数量积的几何定义可得:,即,,又,根据正弦定理可得,,,,当且仅当时,即为等边三角形时取等号,34 ,,实数的最大值为.故答案为:变式18.(2023·全国·高三专题练习)设O为的外心,若,,则___________.【答案】【解析】如图,设D、E分别为的中点,则,所以,故答案为:-2 .变式19.(2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知点O是△ABC的外心,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,,且,则的值为________.【答案】.【解析】如图,分别取,的中点,,连接,,则;,因为,设的外接圆半径为,由正弦定理可得,34 所以两边同时点乘可得,即,所以,所以,所以,所以,即,所以.故答案为:.变式20.(2023·全国·高三专题练习)在中,,.点满足.过点的直线分别与边交于点且,.已知点为的外心,,则为______.【答案】【解析】三点共线,可设,,,即,,,即,,;,,为的外心,,,整理可得:, ,解得:(舍)或;34 ,.故答案为:.变式21.(2023·全国·高三专题练习)已知△ABC中,,点O是△ABC的外心,则________.【答案】/【解析】在中,,,点是的外心,又,所以是等腰直角三角形,所以是三角形的斜边中点,所以.故答案为:.变式22.(2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知点是的内心、外心、重心、垂心之一,且满足,则点一定是的( )A.内心B.外心C.重心D.垂心【答案】B【解析】设中点为,所以,所以,即,所以,又由为中点可得点在的垂直平分线上,所以点是的外心,故选:B题型五:垂心定理例13.(2023·全国·高三专题练习)设为的外心,若,则是的( )A.重心(三条中线交点)B.内心(三条角平分线交点)34 C.垂心(三条高线交点)D.外心(三边中垂线交点)【答案】C【解析】在中,为外心,可得,∵,∴,设的中点为,则,,∴,可得在边的高线上.同理可证,在边的高线上,故是三角形两高线的交点,可得是三角形的垂心,故选:C例14.(2023·全国·高三专题练习)已知为的垂心(三角形的三条高线的交点),若,则______.【答案】/【解析】因为,所以,同理,由H为△ABC的垂心,得,即,可知,即,34 同理有,即,可知,即,所以,,又,所以.故答案为:.例15.(2023·北京·高三强基计划)已知H是的垂心,,则的最大内角的正弦值是_________.【答案】【解析】法1:根据三角形五心的向量表达,有,设分别为,根据三角恒等式,可得,因此的最大内角的正切值为,因此最大内角的正弦值为.法2:因为H是的垂心,故,设,则,故,同理,,,而,故,同理,,,因为,故最大,故.故答案为:变式23.(2023·全国·高三专题练习)设H是的垂心,且,则_____.34 【答案】【解析】∵H是的垂心,∴,,∴,同理可得,,故,∵,∴,∴,同理可求得,∴,,∴,即.故答案为:.变式24.(2023·全国·高三专题练习)在中,点O、点H分别为的外心和垂心,,则________.【答案】8【解析】,,因为H为垂心,所以,,设,外接圆的半径为,由余弦定理得,,,同理,,,所以,34 ,,,,,所以8,故答案为:8变式25.(2023·全国·高三专题练习)在中,,,为的垂心,且满足,则___________.【答案】【解析】如图所示,为的中点,不妨设,则.因为,则,则,,由此可得.故答案为:.34 34
版权提示
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)
其他相关资源
奔驰定理与四心问题(五大题型)(解析版)
2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破01 ω的取值范围与最值问题(六大题型)(解析版)
2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破01 ω的取值范围与最值问题(六大题型)(原卷版)
2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破01 玩转指对幂比较大小(解析版)
2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破03 原函数与导函数混合还原问题 (十三大题型)(解析版)
2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破05 极值点偏移问题与拐点偏移问题(七大题型)(解析版)
2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破06 双变量问题(六大题型)(解析版)
2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破08 证明不等式问题 (十三大题型)(解析版)
2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破11 导数中的同构问题(六大题型)(解析版)
2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破12 导数中的“距离”问题(七大题型)(解析版)
文档下载
收藏
所属:
高考 - 一轮复习
发布时间:2024-09-10 03:00:01
页数:34
价格:¥2
大小:2.44 MB
文章作者:180****8757
分享到:
|
报错
推荐好文
MORE
统编版一年级语文上册教学计划及进度表
时间:2021-08-30
3页
doc
统编版五年级语文上册教学计划及进度表
时间:2021-08-30
6页
doc
统编版四年级语文上册计划及进度表
时间:2021-08-30
4页
doc
统编版三年级语文上册教学计划及进度表
时间:2021-08-30
4页
doc
统编版六年级语文上册教学计划及进度表
时间:2021-08-30
5页
doc
2021统编版小学语文二年级上册教学计划
时间:2021-08-30
5页
doc
三年级上册道德与法治教学计划及教案
时间:2021-08-18
39页
doc
部编版六年级道德与法治教学计划
时间:2021-08-18
6页
docx
部编五年级道德与法治上册教学计划
时间:2021-08-18
6页
docx
高一上学期语文教师工作计划
时间:2021-08-14
5页
docx
小学一年级语文教师工作计划
时间:2021-08-14
2页
docx
八年级数学教师个人工作计划
时间:2021-08-14
2页
docx
推荐特供
MORE
统编版一年级语文上册教学计划及进度表
时间:2021-08-30
3页
doc
统编版一年级语文上册教学计划及进度表
统编版五年级语文上册教学计划及进度表
时间:2021-08-30
6页
doc
统编版五年级语文上册教学计划及进度表
统编版四年级语文上册计划及进度表
时间:2021-08-30
4页
doc
统编版四年级语文上册计划及进度表
统编版三年级语文上册教学计划及进度表
时间:2021-08-30
4页
doc
统编版三年级语文上册教学计划及进度表
统编版六年级语文上册教学计划及进度表
时间:2021-08-30
5页
doc
统编版六年级语文上册教学计划及进度表
2021统编版小学语文二年级上册教学计划
时间:2021-08-30
5页
doc
2021统编版小学语文二年级上册教学计划
三年级上册道德与法治教学计划及教案
时间:2021-08-18
39页
doc
三年级上册道德与法治教学计划及教案
部编版六年级道德与法治教学计划
时间:2021-08-18
6页
docx
部编版六年级道德与法治教学计划
部编五年级道德与法治上册教学计划
时间:2021-08-18
6页
docx
部编五年级道德与法治上册教学计划
高一上学期语文教师工作计划
时间:2021-08-14
5页
docx
高一上学期语文教师工作计划
小学一年级语文教师工作计划
时间:2021-08-14
2页
docx
小学一年级语文教师工作计划
八年级数学教师个人工作计划
时间:2021-08-14
2页
docx
八年级数学教师个人工作计划