2024年高考数学一轮复习讲练测：重难点突破12 导数中的“距离”问题（七大题型）（解析版）

重难点突破12导数中的“距离”问题目录导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方法之一是转化化归，将动点间的距离问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值．题型一：曲线与直线的距离例1．（2023·浙江·高二校联考期中）已知函数，其中，若存在，使得成立，则实数的值为_________.26 【答案】10【解析】设，则可看做图象上任意一点与图象上点的距离的平方，设函数过点的切线平行于直线．则，令，解得，∴切点．点P到直线的距离，此时，∴存在，使，过点P且与直线垂直的直线方程为：.联立，解得．即，时，存在使得为成立，此时.故答案为：10例2．（2023·湖南衡阳·高三衡阳市八中阶段练习）已知实数满足，则的最小值______.【答案】【解析】由题意可得可以表示两点与之间距离的平方故，可以看成是函数，即函数在的切线与函数平行时求出最小值则，解得此时故的最小值为例3．（2023·辽宁锦州·高二校联考期中）若实数满足，则的最小值为_____．26 【答案】8【解析】实数、、、满足：，，设，，则有：，且，设，，则有：，就是曲线与直线之间的最小距离的平方值，对曲线求导：，与平行的切线斜率，解得：或（舍，把代入，得：，即切点为，切点到直线的距离：，的最小值就是8．故答案为：8.变式1．（2023·江西鹰潭·高二统考期末）若实数，，，满足，则的最小值为___．【答案】【解析】由，得，所以表示直线上点到曲线上点距离的平方，由，令，解得或（舍），得，所以所求最小值为，故答案为：.变式2．（2023·江苏苏州·高二苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）实数满足：，则的最小值为________【答案】/4.5【解析】由题设可得，，故，设，，则，即函数的图象的点与直线上的点的连线段的平方，而，令，则，此时对应的函数值为1，26 故函数的图象在处的切线为，的最小值即为平行线，之间的距离，此距离为，故的最小值为，故答案为：变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的最小值是，则的值是_______【答案】/【解析】函数，可得表示两点，的距离的平方，即有函数，图象上的两点距离的最小值的平方为，设直线与函数的图象相切，，设切点为，可得，解得，则，即有切点为，则，解得，则的值为．故答案为：．变式4．（2023·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）已知函数，其中，存在，使得成立，则实数=_______.【答案】/【解析】设，设，则，而点P在曲线，点Q在直线上，当过曲线上的一点的切线与直线平行时，26 点到直线的距离取得最小值由，可得，所以，到直线的距离，则，即恒成立，由题意可知存在，使得，则过点垂直于的直线为由，可得，则，则故答案为：变式5．（2023·湖北孝感·高二校联考阶段练习）设，当，变化时，则的最小值______．【答案】【解析】由可知，此式表示点与点间的距离，而点在曲线上，点在直线上，所以问题转化为求直线与曲线间的最小距离，将直线向下平移恰好与曲线相切时，所平移的距离为所求的距离，设直线向下平移与曲线相切时的直线方程为，设切点为，，则，得，所以，切点为，所以切线方程为，此时直线与间的距离为，故答案为：题型二：曲线与点的距离例4．（2023·全国·高三专题练习）若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为A．B．C．D．【答案】D26 【解析】先设切点B，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值.因为,所以由题意得以A为圆心，为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B点处切线的斜率为，所以，选D.例5．（2023·全国·高三专题练习）若点与曲线上点距离最小值为，则实数为A．B．C．D．【答案】C【解析】设点的坐标为，根据直线与曲线在点处的切线垂直，得到关于的表达式，再利用两点间的距离公式结合的最小值为，求出的值，即可得出实数的值.设点的坐标为，对函数求导得，由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则，得，由两点间的距离公式得，由于的最小值为，即，，解得，因此，.故选：C.例6．（2023·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，则，记，，易知是增函数，且的值域是，∴的唯一解，且时，，时，，即，由题意，而，，∴，解得，．∴．26 故选：C．题型三：曲线与圆的距离例7．（2023·福建龙岩·高三统考期末）已知为函数图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为___．【答案】【解析】由圆的对称性可知，只需满足圆心（0，）到图象上一点的距离最小值设图象上的一点为则即有切线斜率为可得,设,递增又可得处点（e,1）到的距离最小，为则线段长度的最小值为例8．（2023·上海·高二专题练习）对于平面曲线S上任意一点P和曲线T上任意一点Q，称的最小值为曲线S与曲线T的距离.已知曲线和曲线，则曲线S与曲线T的距离为（    ）A．B．C．D．2【答案】A【解析】由题意得：设则26 根据柯西不等式：于是于是令，则故故故选：A例9．（2023·全国·高三专题练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，则，设，，令，则，当时，，函数单调递增，26 当时，，函数单调递减，所以，故，所以时，且，所以时，，函数单调递减，当时，令，则，令，则，所以函数在上单调递增，则，即，所以时，单调递增，即单调递增，所以，故当时，函数单调递增，所以，故的最小值为，则线段的长度的最小值为．故选：B．变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知点为函数图像上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，又圆的圆心为，令，，．26 令，，令，，时，，在上单调递增，，即所以在上单调递增，即在上单调递增，而．，解得；，解得，在递减，在递增，，，则线段的长度的最小值为，故选：A．变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（    ）A．B．1C．D．【答案】A【解析】由圆的对称性可得只需考虑圆心到函数图象上一点的距离的最小值．设图象上一点，令图象上一点的切线为由的导数为，即切线的斜率为，当时，圆心到函数图象上一点的距离最小，此时，即有，26 由，可得，递增，又，所以，，所以点到点的距离最小，且为，则线段的长度的最小值为，故选：A．题型四：曲线与抛物线的距离例10．（2023·全国·高三专题练习）设，当a，b变化时，的最小值为_______.【答案】.【解析】，函数表示点和的距离加上的纵坐标，画出和的图像，如图所示：故，当共线时等号成立.设，则，，当时，，故，函数单调递增；当时，，故，函数单调递减.，故.综上所述：的最小值是.故答案为：.例11．（2023·全国·高三专题练习）设,其中，则的最小值为A．B．C．D．26 【答案】C【解析】分析：由表示两点与点的距离，而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，画出图象，当三点共线时，可求得最小值.由题意，，由表示两点与点的距离，而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为，则表示与的距离和与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1，由图象可知三点共线时，且为曲线的垂线，此时取得最小值，即为切点，设，由，可得，设，则递增，且，可得切点，即有，则的最小值为，故选C.例12．（2023·全国·高三专题练习）设.，则的最小值为A．B．1C．D．2【答案】C【解析】由题可得：设，所以为上任意一点到上任一点及抛物线焦点的距离之和，所以距离表达式为,令，，显然在递减，递增所以，故最小值为题型五：曲线与曲线的距离26 例13．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为___________.【答案】【解析】由于曲线是由向右平移1个单位得到的，是由现右平移1个单位得到的，所以的最小值可以看成曲线上的点与上的点间的最小值，因为与互为反函数，其图象关于直线对称，所以所求的最小值为曲线上的点到直线的最小距离的2倍，设与直线平行的直线与曲线相切于点，因为，由，得，所以切点，所以点到直线的最小距离为，所以的最小值为，故答案为：例14．（2023·四川成都·高二棠湖中学校考阶段练习）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为__________．【答案】【解析】函数与函数互为反函数，图象关于对称.函数上的点到直线的距离为.设函数，则因为当时，，当时，所以当时，所以所以最小值为.故答案为：例15．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期中）设点在曲线上，点曲线上，则的最小值为________．【答案】26 【解析】因为曲线与曲线互为反函数，所以其图象关于对称，所以可先求点到直线的距离的最小值，设曲线上斜率为1的切线方程为，由，可得，令，解得，所以切线的坐标为，所以切线到直线的距离为，所以的最小值为.故答案为：.变式8．（2023·全国·高三专题练习）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为_____.【答案】【解析】令、分别向上平移一个单位可得、，而与关于对称，∴当两条曲线在P、Q处的切线均与平行时，P、Q关于对称，|PQ|有最小，对应曲线平移到、后，P、Q关于对称即可，∴令，则，∴有，则，即，∴到的距离，∴.故答案为：.变式9．（2023·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为__________.【答案】【解析】由,得：,.所以,与互为反函数．它们的图像关于对称．P在曲线上,点Q在曲线上，设，26 要使|PQ|的距离最小,则P应在上，又P，Q的距离为P或Q中一个点到的最短距离的两倍．以Q点为例，Q点到直线的最短距离所以当,即时,d取得最小值，则|PQ|的最小值等于.变式10．（2023·黑龙江大兴安岭地·高三校考阶段练习）设点在曲线上，点在曲线上，若，则的取值范围是___________.【答案】【解析】由函数和互为反函数，其图像关于直线对称，可先求得点点到直线的距离为，设曲线上斜率为1的切线方程为，因为，令，可得，即，即切线的坐标为又由切点到直线距离为，因为，所以，即，即，因为，可得，所以，即，即，令，则，令，可得，所以在区间上为单调递增函数，26 因为，所以不等式等价于，则，即，所以，解得，故实数的取值范围是.故答案为：.变式11．（2023·福建南平·统考模拟预测）分别是函数和图象上的点，若与x轴平行，则的最小值是（    ）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为与x轴平行，设方程为，由，可得，即，由，可得，即，所以，设，则，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，故，故选：B变式12．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（   ）A．B．C．D．【答案】B26 【解析】令，则，这两个函数互为反函数，图象关于对称.所以与的图象可以看成是由，这两个函数图象向右平移一个单位得到的.所以的最小值即为曲线与上两点的最小值.曲线上的点到直线的距离为设，则.由可得，由可得所以在上单调递减，在上单调递增.所以当时，函数，所以由图象关于对称得：的最小值为.故选：B题型六：横向距离例16．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期中）已知函数，的图象分别与直线交于两点，则的最小值为（    ）A．2B．C．D．【答案】B【解析】因为函数的图像与直线分别交于两点，所以，，其中，且，所以，令，则，令得：；26 所以易得：时，；时，；即函数在上单调递减，在上单调递增，因此，即的最小值为.故答案为：B.例17．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）直线分别与直线，曲线交于A，B两点，则的最小值为A．B．1C．D．4【答案】A【解析】设，则，∴，∴，令，则，∴函数在上单调递减，在上单调递增，∴时，函数的最小值为，故选A．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．例18．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：在点处的切线与曲线：相切，若动直线分别与曲线、相交于、两点，则的最小值为A．B．C．D．【答案】D【解析】设恒成立，故单调递增，又故故，令，选D26 变式13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一中学校校考三模）已知函数，函数，直线分别与两函数交于、两点，则的最小值为（    ）A．B．1C．D．2【答案】A【解析】设，，则，，消去得．所以，其中.令，，则，当时，，当时，．故在上为减函数，在上为增函数，所以，所以的最小值为．故选：A．变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的图像分别与直线交于，两点，则的最小值为（    ）A．1B．C．D．【答案】C【解析】由题意，，，其中，且，所以，令，，26 则时，解得，所以时，；时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，故选：C．变式15．（2023·江苏·高二专题练习）函数，的图象与直线分别交于，两点，则的最小值为（    ）A．B．C．D．2【答案】C【解析】由可得，由可得，所以设，，则，记，则恒成立，所以即在上单调递增，且，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以的最小值为，故选：C.变式16．（2023·全国·高三专题练习）设直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（    ）26 A．B．C．D．【答案】D【解析】直线与函数，的图象分别交于，两点，，，，其中，且，，设函数，，，令，解得，当，即时，函数在，单调递增，当，即时，函数在单调递减，故时，函数有最小值，最小值为，故线段的长度的最小值为．故选：D．题型七：纵向距离例19．（2023·全国·高三专题练习）直线分别与曲线和曲线交于，两点，则的最小值为A．B．2C．D．【答案】D【解析】根据题意可设，，即可表示出，构造函数并求得，令求得极值点并判断函数的单调性，即可求得的最小值.直线分别与曲线和曲线交于，两点，设，，且，，，．，，，26 令解得，（舍），当时，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增．所以，综上可知的最小值为．故选：D.例20．（2023·高二课时练习）动直线（）与函数，的图象分别交于点A，B，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则，当时，，当，，所以在上递减，在上递增，所以当时取得最小值，所以的最小值为，故选：A例21．（2023·高一课时练习）已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若动直线与函数和的图象分别交于，两点，则的最大值为A．2B．C．1D．【答案】B【解析】f（x）＝sin（2x），g（x）＝sin[2（x）]＝sin（2x），26 所以|MN|＝|f（x）﹣g（x）|＝|sin（2x）﹣sin（2x）|，|cos2x|，则cos2x＝±1时，|MN|的最大值为：．故选B．变式17．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（    ）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，当时，，当，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值，所以的最小值为，故选：D.变式18．（多选题）（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若直线与两曲线、分别交于、两点，且曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，则下列结论正确的有（    ）A．存在，使B．当时，取得最小值C．没有最小值D．【答案】ABD【解析】对于A选项，由直线与两曲线、分别交于、两点可知．曲线上点坐标，可求导数，则切线斜率，曲线上点坐标，可求得导数，则切线斜率．26 令，则，令，则，所以，函数在上为增函数，因为，，由零点存在定理，使，即，使，即，故A正确；对于BC选项，，令，其中，则，由A选项可知，函数在上为增函数，且，，所以，存在使得，即，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故当时，取最小值，即当时，取得最小值，故B正确，C错；对于D选项，由可得，则，令，则函数在上为减函数，因为，，，且，又因为函数在上为增函数，所以，，所以，，D对.故选：ABD.变式19．（2023·全国·高三专题练习）直线分别与直线，曲线交于、两点，则的最小值为__________．【答案】【解析】由已知得，，则设，，则，26 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以所以，当时，取最小值为，故答案为：.26 26