2024年高考数学一轮复习讲练测：重难点突破09 函数零点问题的综合应用 （八大题型）（原卷版）

重难点突破09函数零点问题的综合应用目录1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.2、函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结12 合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将整理变形成的形式，通过两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.4、利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.题型一：零点问题之一个零点例1．（2023·江苏南京·南京市第十三中学校考模拟预测）已知函数,.（1）求函数的单调递减区间；（2）设，.①求证：函数存在零点；②设，若函数的一个零点为.问：是否存在，使得当时，函数有且仅有一个零点，且总有恒成立？如果存在，试确定的个数；如果不存在，请说明理由.例2．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知函数，，在上有且仅有一个零点.(1)求的取值范围；(2)证明：若，则在上有且仅有一个零点，且.12 例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，有且只有一个零点；(3)若在区间各恰有一个零点，求的取值范围.变式1．（2023·广东茂名·高三统考阶段练习）已知，函数，.(1)证明：函数，都恰有一个零点；(2)设函数的零点为，的零点为，证明.题型二：零点问题之二个零点例4．（2023·海南海口·统考模拟预测）已知函数.(1)求的最小值；(2)设.（ⅰ）证明：存在两个零点，；（ⅱ）证明：的两个零点，满足.例5．（2023·甘肃天水·高三天水市第一中学校考阶段练习）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，证明：函数有且仅有两个零点，两个零点互为倒数．12 例6．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考期中）已知函数．（1）若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，，证明：函数有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数．变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.（1）若.证明函数有且仅有两个零点；（2）若函数存在两个零点，证明：.变式3．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数在其定义域内有两个不同的零点．（1）求的取值范围；（2）记两个零点为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围．变式4．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数，，．(1)若，求证：（ⅰ）在的单调减区间上也单调递减；（ⅱ）在上恰有两个零点；(2)若，记的两个零点为，求证：．题型三：零点问题之三个零点12 例7．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数有三个零点.(1)求的取值范围；(2)设函数的三个零点由小到大依次是.证明：.例8．（2023·广东深圳·校考二模）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)①当时，试证明函数恰有三个零点；②记①中的三个零点分别为，，，且，试证明.例9．（2023·广西柳州·统考三模）已知．（1）若函数有三个不同的零点，求实数a的取值范围；（2）在（1）的前提下，设三个零点分别为且，当时，求实数a的取值范围．变式5．（2023·贵州遵义·遵义市南白中学校考模拟预测）已知函数（，）.（1）若，且在内有且只有一个零点，求的值；（2）若，且有三个不同零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.12 变式6．（2023·浙江·校联考二模）设，已知函数有个不同零点.(1)当时，求函数的最小值：(2)求实数的取值范围；(3)设函数的三个零点分别为、、，且，证明：存在唯一的实数，使得、、成等差数列.变式7．（2023·山东临沂·高三统考期中）已知函数和有相同的最大值.(1)求，并说明函数在（1，e）上有且仅有一个零点；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.题型四：零点问题之max，min问题例10．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数．(1)当时，求函数在上的极值；(2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．例11．（2023·四川南充·统考三模）已知函数，．(1)当时，求函数在上的极值；(2)用表示，中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．12 例12．（2023·四川南充·统考三模）已知函数，其中为自然对数的底数.(1)当时，求函数的极值；(2)用表示，中的最大值，记函数，当时，讨论函数在上的零点个数.变式8．（2023·广东·高三专题练习）已知函数，，.(1)若函数存在极值点，且，其中，求证：；(2)用表示m，n中的最小值，记函数，，若函数有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围.变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)若直线与曲线相切，求a的值；(2)用表示m，n中的最小值，讨论函数的零点个数．变式10．（2023·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数.(1)若过点可作的两条切线，求的值.(2)用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数.12 题型五：零点问题之同构法例13．已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围例14．已知．（1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围．（2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围．例15．已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围．题型六：零点问题之零点差问题例16．已知关于的函数，与，在区间上恒有．（1）若，，，求的表达式；（2）若，，，，求的取值范围；（3）若，，，，，，求证：．12 例17．已知函数．（1）如，求的单调区间；（2）若在，单调增加，在，单调减少，证明：．例18．已知函数，．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当，时，函数有两个极值点，，证明：．题型七：零点问题之三角函数例19．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知函数．(1)若对时，，求正实数a的最大值；(2)证明：；(3)若函数的最小值为m，试判断方程实数根的个数，并说明理由．例20．（2023·全国·高三专题练习）设函数.(1)证明：当时，；(2)记，若有且仅有2个零点，求的值.12 例21．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知，且0为的一个极值点．(1)求实数的值；(2)证明：①函数在区间上存在唯一零点；②，其中且．变式11．（2023·山东济南·济南市历城第二中学校考二模）已知，（n为正整数，）．(1)当时，设函数，，证明：有且仅有1个零点；(2)当时，证明：．题型八：零点问题之取点技巧例22．已知函数为自然对数的底数，且．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．例23．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．12 例24．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．变式12．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．12 12