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2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破08 证明不等式问题 (十三大题型)(原卷版)
2024年高考数学一轮复习讲练测:重难点突破08 证明不等式问题 (十三大题型)(原卷版)
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重难点突破08证明不等式问题目录利用导数证明不等式问题,方法如下:(1)直接构造函数法:证明不等式(或)转化为证明(或),进而构造辅助函数;(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩;二是利用常见放缩结论;(3)构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.(4)对数单身狗,指数找基友(5)凹凸反转,转化为最值问题(6)同构变形题型一:直接法例1.(2023·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测)已知函数.(1)若函数在点处的切线平行于直线,求切点P的坐标及此切线方程;(2)求证:当时,.(其中)例2.(2023·北京·高二北京二十中校考期中)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求证:.例3.已知函数,.15 (1)讨论函数的单调性;(2)当时,证明:,.题型二:构造函数(差构造、变形构造、换元构造、递推构造)例4.(2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数.(1)证明:;(2)讨论的单调性,并证明:当时,.例5.已知曲线与曲线在公共点处的切线相同,(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)求证:当时,.例6.已知函数,.(1)求函数的单调区间;(2)若直线是函数图象的切线,求证:当时,.变式1.已知函数.(1)证明:;15 (2)数列满足:,.(ⅰ)证明:;(ⅱ)证明:,.变式2.讨论函数的单调性,并证明当时,.题型三:分析法例7.已知函数,已知是函数的极值点.(1)求;(2)设函数.证明:.例8.(2023·山东泰安·统考模拟预测)已知函数(1)求在处的切线;(2)若,证明当时,.例9.已知,函数,其中为自然对数的底数.(Ⅰ)证明:函数在上有唯一零点;(Ⅱ)记为函数在上的零点,证明:(ⅰ);15 (ⅱ).变式3.已知函数在上有零点,其中是自然对数的底数.(Ⅰ)求实数的取值范围;(Ⅱ)记是函数的导函数,证明:.题型四:凹凸反转、拆分函数例10.(2023·北京·高三专题练习)已知函数,当,时,证明:任意的,都有恒成立.例11.(2023·河南开封·校考模拟预测)设函数,.(1)若函数在上存在最大值,求实数的取值范围;(2)当时,求证:.例12.已知函数.(Ⅰ)若是的极小值点,求的取值范围;(Ⅱ)若,为的导函数,证明:当时,.15 变式4.已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)求证:.题型五:对数单身狗,指数找朋友例13.已知函数.(Ⅰ)当时,求在,上最大值及最小值;(Ⅱ)当时,求证.例14.已知函数,曲线在点,(1)处的切线方程为.(1)求、的值;(2)当且时.求证:.例15.已知二次函数对任意实数都满足,且(1),令.(1)求的表达式;(2)设,.证明:对任意,,,恒有.15 变式5.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若函数图象过点,求证:.变式6.已知函数.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)若函数图象过点,求证:.题型六:放缩法例16.(2023·全国·高三专题练习)已知,,.(1)当时,求函数的极值;(2)当时,求证:.例17.(2023·湖南常德·常德市一中校考二模)已知函数(,为自然对数的底数).(1)讨论函数的单调性;(2)当时,求证:.例18.已知函数.(其中常数,是自然对数的底数.15 (1)讨论函数的单调性;(2)证明:对任意的,当时,.变式7.已知函数,(1)讨论函数的单调性;(2)求证:当时,.变式8.已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)解关于的不等式题型七:虚设零点例19.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)当时,证明:对任意的,.例20.(2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测)已知函数.(1)若在区间上有极小值,求实数的取值范围;(2)求证:.15 例21.(2023·全国·模拟预测)已知函数在处取得极小值.(1)求实数的值;(2)当时,证明:.变式9.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.当时,证明:.变式10.(2023·山东淄博·统考三模)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)证明:当时,.题型八:同构法例22.已知函数,.(1)讨论的单调区间;(2)当时,证明.15 例23.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)当时,求证:在上恒成立;(3)求证:当时,.例24.已知函数.(1)当时,求函数的单调区间;(2)若函数在处取得极值,对,恒成立,求实数的取值范围;(3)当时,求证:.变式11.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)若函数在处取得极值,不等式对恒成立,求实数的取值范围;(3)当时,证明不等式.题型九:泰勒展式和拉格朗日中值定理例25.(2023·全国·高三专题练习)证明不等式:.15 例26.(2023·全国·高三专题练习)证明:例27.(2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习)已知正数数列满足,且.(函数求导次可用表示)(1)求的通项公式.(2)求证:对任意的,,都有.变式12.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数.(1)若,求实数a的值;(2)已知且,求证:.变式13.已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)若,对,恒成立,求实数的取值范围;(3)当时.若正实数,满足,,,,证明:.变式14.(2023·全国·高三专题练习)给出以下三个材料:①若函数可导,我们通常把导函数15 的导数叫做的二阶导数,记作.类似地,二阶导数的导数叫做三阶导数,记作,三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地,阶导数的导数叫做阶导数,记作.②若,定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数,那么对于任一有,我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如,在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料,完成下面的题目:(1)求出在点处的阶泰勒展开式,并直接写出在点处的阶泰勒展开式;(2)比较(1)中与的大小.(3)已知不小于其在点处的阶泰勒展开式,证明:.题型十:分段分析法、主元法、估算法例28.(2023·贵州安顺·统考模拟预测)已知函数.(1)讨论函数的导函数的单调性;(2)若,求证:对,恒成立.例29.(2023·山东泰安·校考模拟预测)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)证明:当,且时,.15 例30.若定义在上的函数满足,,.(Ⅰ)求函数解析式;(Ⅱ)求函数单调区间;(Ⅲ)若、、满足,则称比更接近.当且时,试比较和哪个更接近,并说明理由.变式15.已知函数,其中,为自然对数的底数.(1)当时,讨论函数的单调性;(2)当时,求证:对任意的,,.题型十一:割线法证明零点差大于某值,切线法证明零点差小于某值例31.已知函数(1)求曲线在原点处的切线方程;(2)若恒成立,求实数的取值范围;(3)若方程有两个正实数根,,求证:.例32.已知函数,曲线在点处的切线方程为.(1)求,的值;(2)证明:;(3)若函数有两个零点,,证明.例33.设函数.15 (1)求曲线在点,处的切线方程;(2)若关于的方程有两个实根,设为,,证明:.题型十二:函数与数列不等式问题例34.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数.(1)若,求实数的值;(2)已知且,求证:.例35.(2023·四川成都·石室中学校考模拟预测)已知函数.(1)若在上单调递增,求的值;(2)证明:(且).例36.(2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测)已知函数.(1)是的导函数,求的最小值;(2)证明:对任意正整数,都有(其中为自然对数的底数)变式16.(2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知函数.(1)求的极值;(2)对任意的,求证:.15 变式17.(2023·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习)已知函数.(1)若恒成立,求的取值范围;(2)当时,证明:.题型十三:三角函数例37.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,.当,时,求证:.例38.(2023·河北·统考模拟预测)已知函数.(1)讨论的极值;(2)当时,证明:.例39.已知函数在,(1)处的切线为.(1)求的单调区间与最小值;(2)求证:.15 15
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高考 - 一轮复习
发布时间:2024-09-09 18:20:01
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