2024年高考数学一轮复习讲练测：重难点突破08 证明不等式问题 （十三大题型）（原卷版）

重难点突破08证明不等式问题目录利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形题型一：直接法例1．（2023·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）已知函数．(1)若函数在点处的切线平行于直线，求切点P的坐标及此切线方程；(2)求证：当时，．（其中）例2．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：.例3．已知函数，．15 （1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：，．题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）例4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．(1)证明：；(2)讨论的单调性，并证明：当时，．例5．已知曲线与曲线在公共点处的切线相同，（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求证：当时，．例6．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若直线是函数图象的切线，求证：当时，．变式1．已知函数．（1）证明：；15 （2）数列满足：，．（ⅰ）证明：；（ⅱ）证明：，．变式2．讨论函数的单调性，并证明当时，．题型三：分析法例7．已知函数，已知是函数的极值点．（1）求；（2）设函数．证明：．例8．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数(1)求在处的切线;(2)若，证明当时，.例9．已知，函数，其中为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：（ⅰ）；15 （ⅱ）．变式3．已知函数在上有零点，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）记是函数的导函数，证明：．题型四：凹凸反转、拆分函数例10．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，当，时，证明：任意的，都有恒成立.例11．（2023·河南开封·校考模拟预测）设函数，．(1)若函数在上存在最大值，求实数的取值范围；(2)当时，求证：．例12．已知函数．（Ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围；（Ⅱ）若，为的导函数，证明：当时，．15 变式4．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：．题型五：对数单身狗，指数找朋友例13．已知函数．（Ⅰ）当时，求在，上最大值及最小值；（Ⅱ）当时，求证．例14．已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．（1）求、的值；（2）当且时．求证：．例15．已知二次函数对任意实数都满足，且（1），令．（1）求的表达式；（2）设，．证明：对任意，，，恒有．15 变式5．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数图象过点，求证：．变式6．已知函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数图象过点，求证：．题型六：放缩法例16．（2023·全国·高三专题练习）已知，，．(1)当时，求函数的极值；(2)当时，求证：．例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函数（，为自然对数的底数）．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，求证：.例18．已知函数．（其中常数，是自然对数的底数．15 （1）讨论函数的单调性；（2）证明：对任意的，当时，．变式7．已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）求证：当时，．变式8．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）解关于的不等式题型七：虚设零点例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，证明：对任意的，．例20．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数.(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；(2)求证：.15 例21．（2023·全国·模拟预测）已知函数在处取得极小值．(1)求实数的值；(2)当时，证明：．变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．当时，证明：．变式10．（2023·山东淄博·统考三模）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)证明：当时，.题型八：同构法例22．已知函数，．（1）讨论的单调区间；（2）当时，证明．15 例23．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，．例24．已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．变式11．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明不等式．题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理例25．（2023·全国·高三专题练习）证明不等式：．15 例26．（2023·全国·高三专题练习）证明：例27．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列满足，且.（函数求导次可用表示）(1)求的通项公式.(2)求证：对任意的，，都有.变式12．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.(1)若，求实数a的值；(2)已知且，求证：.变式13．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时．若正实数，满足，，，，证明：．变式14．（2023·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数15 的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．根据以上三段材料，完成下面的题目：（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；（2）比较（1）中与的大小．（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．题型十：分段分析法、主元法、估算法例28．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数．（1）讨论函数的导函数的单调性；（2）若，求证：对，恒成立．例29．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当，且时，．15 例30．若定义在上的函数满足，，．（Ⅰ）求函数解析式；（Ⅱ）求函数单调区间；（Ⅲ）若、、满足，则称比更接近．当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由．变式15．已知函数，其中，为自然对数的底数．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意的，，．题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值例31．已知函数（1）求曲线在原点处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）若方程有两个正实数根，，求证：．例32．已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求，的值；（2）证明：；（3）若函数有两个零点，，证明．例33．设函数．15 （1）求曲线在点，处的切线方程；（2）若关于的方程有两个实根，设为，，证明：．题型十二：函数与数列不等式问题例34．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.(1)若，求实数的值；(2)已知且，求证：.例35．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数.(1)若在上单调递增，求的值；(2)证明：（且）.例36．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数.(1)是的导函数，求的最小值；(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）变式16．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数.(1)求的极值；(2)对任意的，求证：.15 变式17．（2023·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数.(1)若恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明：.题型十三：三角函数例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．当，时，求证：．例38．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数.(1)讨论的极值；(2)当时，证明：.例39．已知函数在，（1）处的切线为．（1）求的单调区间与最小值；（2）求证：．15 15