广东省潮州市2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题（解析版）

潮州市2023-2024学年度第二学期期末高一级教学质量检测卷数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间90分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回.一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.）1.已知i是虚数单位，则复数2−2i的虚部为（）A.2B.2iC.−2D.−2i【答案】C【解析】【分析】根据复数的概念直接求解.【详解】根据复数的概念，复数2−2i的虚部为−2.故选：C2.棱长为4的正方体的内切球的体积为（）3216A.4πB.πC.16πD.π33【答案】B【解析】【分析】根据正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等可得结果.【详解】因为棱长为4的正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等，所以直径24RR=⇒=2，4π332π内切球的体积为R=，33故选：B.第1页/共13页 3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3、b=5、c=7，则∠C等于（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】D【解析】222abc+−【分析】利用余弦定理cosC=，即可求解.2ab222222abc+−357+−1【详解】根据余弦定理，cosC===−，2ab235××2.由于C∈(0,π)，所以C=120故选：D4.已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为240、160、160.现采用分层抽样的方法从中抽取n名同学去某敬老院参加慈善活动，其中高一年级被抽取的人数为9，则n等于（）A.21B.24C.27D.30【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样的特点列等式可求得n的值.n9【详解】由题意可得=，解得n=21.2401602+×240故选：A.5.已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312533224344151254424142435414335132123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（）A.0.4B.0.45C.0.55D.0.6【答案】C【解析】【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果.【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：533224344254424435335233232353442共11组，第2页/共13页 11因此，所求概率为P==0.55.20故选：C.6.正四棱台ABCD−ABCD1111中，上底面A1B1C1D1的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（）A.23B.3C.2D.22【答案】B【解析】CN⊥平面ABCD，AM⊥平面ABCD，侧棱22【分析】连接AC，作11CC11=CN+CN.【详解】连接AC，作AM1⊥平面ABCD，CN1⊥平面ABCD，CN1=1，因为ABCD−ABCD1111为正四棱台，则MN,在AC上，因为上底面ABCD的边长为2，下底面ABCD的边长为4，1111MN=AC=22,AC=42,CN=2，1122侧棱CC=CN+CN=+=123.11故选：B17.如图，在ABC中，AC=4AD，P是线段BD上一点，若AP=mAB+AC，则实数m的值为6（）121A.B.C.2D.335【答案】A第3页/共13页 【解析】1【分析】根据向量线性运算得AP=mAB+AC，再利用三点共线的结论即可得到m值.6【详解】根据题意，得AC=4AD，12又AP=mAB++AC=mABAD，6321因为B，P，D三点共线，所以m+=1，即m=.33故选：A.8.已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若AB=23，CD=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】【分析】设G为AD的中点，连接GF，GE，即可得到EF与CD所成的角即为EF与GE所成的角，再由锐角三角函数计算可得.【详解】设G为AD的中点，连接GF，GE，又E、F分别是AC、BD的中点，所以GF、GE分别为△ABD、ACD的中线，11所以GFAB//且GF=AB=3，GECD//且GE=CD=2，22所以EF与CD所成的角即为EF与GE所成的角，又EF⊥AB，所以EF⊥GF，所以△GEF为直角三角形，且∠=GFE90°，GF3所以sin∠==GEF，所以∠=GEF60°，GE2即EF与CD所成的角为60°.故选：C【点睛】方法点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：第4页/共13页 （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；π（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异2面直线所成的角．二、多选题（本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.维生素C又叫抗坏血酸，是种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量（单位：mg），得到数据如下.则下列说法正确的是（）猕猴桃102104106107113116119121132134柚子109113114116117121121122131132A.每100克柚子维生素C含量的众数为121B.每100克柚子维生素C含量的75%分位数为122C.每100克猕猴桃维生素C含量的极差高于每100克柚子维生素C含量的极差D.每100克猕猴桃维生素C含量的平均数高于每100克柚子维生素C含量的平均数【答案】ABC【解析】【分析】由众数、百分位数的概念可直接判断AB，由极差、平均数的计算公式可分别判断CD.【详解】对于A选项，每100克柚子维生素C含量的众数为121，A对：对于B选项，1075%×=7.5，则每100克柚子维生素C含量的75%分位数为第8个数，为122，B对；对于C选项，每100克猕猴桃维生素C含量的极差为134102−=32，每100克柚子维生素C含量的极差为132109−=23，C对；对于D选项，每100克猕猴桃维生素C含量的平均数为102104106107113116119121132134+++++++++=115.4，10每100克柚子维生素C含量的平均数为109113114116117121121122131132+++++++++=119.6，D错．10故选：ABC．第5页/共13页 10.已知i是虚数单位，复数24zm=−+−4i3imm在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值可以是（）A.0B.1C.3D.5【答案】BC【解析】【分析】首先根据复数的乘方化简复数z，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可.242【详解】因为ii1=()=，2422所以zm=−+−4i3imm=(m−−43mm)+i，则复数z在复平面内对应的点为(m−−43,mm)，2mm−−<430依题意可得，解得04<<m，所以符合题意的有B、C.m>0故选：BC11.下列命题正确的是（）A.若向量a、b满足ab⋅=0，则a=0或b=0B.若向量a、b满足ab⋅<0，则向量a、b的夹角为钝角C.若a=(3,4)，b=(0,1)，则向量a在向量b方向上的投影向量为(0,4)D.设e、e是同一平面内两个不共线的向量，若aee=2+，b=e−e，则a、b可作为该平面的一121212个基底【答案】CD【解析】【分析】A选项，可举出反例；B选项，利用向量数量积公式即可判断；C选项，根据投影向量公式进行求解；D选项，先求出以a，b不共线，从而得到D正确.【详解】A选项，当非零向量ab,满足ab⊥时，ab⋅=0，故A错误；B选项，当向量a，b满足ab⋅<0，向量a，b的夹角为钝角或反向，故B错误；C选项，由a=(3,4)，b=(0,1)，a⋅bb向量a在向量b方向上的投影向量为⋅==40,1()(0,4)，C正确；bbD选项，e，e是同一平面内两个不共线的向量，12第6页/共13页 2=λ设ab=λ，则2ee12+=λ(ee12−)，故，无解，1=−λ所以a，b不共线，故a，b可作为该平面的一个基底，D正确.故选：CD三、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）112.设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，PA()=，41PC()=，则PAB()=______.311【答案】12【解析】【分析】先利用对立事件的概率公式求得PB()的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得PAB()的值.12【详解】由B与C是对立事件，可得PB()=−11,PC()=−=33由A与B是互斥事件，可得1211PABPAPB()=()()+=+=.431211故答案为：1213.某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示.这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数为______.【答案】82【解析】【分析】由频率分布直方图求出时间在4~10小时内的频率，再求人数.【详解】依题意，100名学生中参加实践活动的时间在4~10小时内的人数为：100×−1(0.040.05+)×=282，第7页/共13页 即这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数为82.故答案为：82.3π14.某圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为______.4323【答案】##244【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，根据扇形的面积公式及弧长公式计算可得.3π【详解】设圆锥的底面半径为r，母线为l，因为圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为的扇形，413π23π32π32所以×l=3π，解得l=22（负值已舍去），所以2πr=l=，解得r=.2442432故答案为：4四、解答题：（本大题共5小题，满分44分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知向量a=(3,2)，bx=(,1−).（1）若ab⊥，求实数x的值；（2）若c=−(10,2)，bc∥，求向量a与b的夹角θ.2【答案】（1）3π（2）4【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示列出方程，解方程即可；（2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得x=5，结合数量积的定义计算即可求解.【小问1详解】已知a=3,2,=()bx(,1−)，2因为ab⊥，所以3210x+×−=()，解得x=；3【小问2详解】因为c=−(10,2)，第8页/共13页 又bc∥，所以2x−−×−(1)(10)=0，解得x=5，所以b=5,1(−).ab⋅3521×−×2所以cosθ===，||||ab⋅325+1222+−22()π因为0≤≤θπ，所以θ=.416.流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%~55%时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%~b%时记为区间[ab,).组号12345678分组[15,25)[25,35)[3,45)[45,55)[55,6)[65,75)[75,85)[85,95)频数23153030751205（1）求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率；（2）从区间[15,35)的数据中任取两个数据，求两个数据都位于[25,35)内的概率.1【答案】（1）103（2）10【解析】【分析】（1）利用样本在[45,55)上的频数除以300可得所求频率；（2）设区间[15,35)中的两个数据为a1、a2，区间[25,35)中的三个数据为b1、b2、b3，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；【小问1详解】由已知，当空气相对湿度在45%~55%时，病毒死亡较快，301而样本在[45,55)上的频数为30，所以所求频率为=；30010【小问2详解】设事件A为“从区间[15,35)的数据中任取两个数据，两个数据都位于[25,35)内”，第9页/共13页 设区间[15,35)中的两个数据为a1、a2，区间[25,35)中的三个数据为b1、b2、b3，因此，从区间[15,35)的数据中任取两个数据，包含(aa12,)、(ab11,)、(ab12,)、(ab13,)、(ab21,)、(ab22,)、(ab23,)、(bb12,)、(bb13,)、(bb23,)，共10个样本点，3而事件A包含(bb12,)，(bb13,)，(bb23,)，共3个样本点，所以PA()=.1017.如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠=ADE90°，AF//DE，DE=DA=24AF=.（1）求证：平面ACE⊥平面BDE；（2）求四面体BAEF的体积.【答案】（1）证明见解析16（2）3【解析】【分析】（1）先根据面面垂直性质定理证明线面垂直，再根据线面垂直判定定理结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据三棱锥的体积公式即可求得答案.【小问1详解】由题意，∠=ADE90°可得，DE⊥AD，DE⊂平面ADEF，平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，则DE⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，又DE∩=BDDBD,⊂平面BDEDE,⊂平面BDE，则AC⊥平面BDE.AC⊂平面ACE,所以平面ACE⊥平面BDE.第10页/共13页 【小问2详解】因为AB⊂平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AB⊥∴⊥ADAB平面ADEF，又DE=DA=24AF=，11故AD⊥AFDE,//AFS,=AFAD⋅=⋅⋅=244，△AEF221116所以V=S⋅=××=AB44.BAEF−AEF33318.某地家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都111需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为.81020（1）分别求甲、乙、丙在这一小时内需要照顾的概率；（2）求这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率.111【答案】（1），，24519（2）40【解析】【分析】（1）设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是P1，P2，P3，根据已知条件以及事件的相互独立性列出方程组求解即可；（2）这一小时内恰有一位小孩需要照顾，即是甲、乙、丙三位小孩中的一位需要照顾，其余两位不需要照顾，结合互斥事件以及对立事件的概率公式进行求解即可.【小问1详解】设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是P1，P2，P3，11PP⋅=P=1281211则由题意得PP13⋅=，解得P2=.10411PP⋅=P=233205111即甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，.245【小问2详解】设事件A：这一小时内恰有一位小孩需要照顾，第11页/共13页 则P(A)=P1(111111−PPP2)(−+−31)()P2(−+−PPP31)()(−2)P313411413119=××+××+××=，2452452454019即这一小时内恰有一位小孩需要照顾的概率为是.4019.如图，在ABC中，AB=3，AC=2，∠=°ACB60，点D在边BC的延长线上.（1）求ABC的面积；2（2）若CD=22，AE=AD，求CE的长.333+【答案】（1）426（2）CE=3【解析】【分析】（1）在ABC中利用正弦定理求出角B，再利用两角和的正弦公式求出sin∠BAC，然后利用三角形的面积公式可求得结果，122122（2）方法1：由题意可得CE=+⇒=CACDCE(CA++⋅4CD22CACD)，代值计算即可，339方法2：在△ADC中利用余弦定理求出AD，则可求得DE，再在△ADC利用正弦定理求出sinD，从而可求出cosD，然后在CDE中利用余弦定理可求得CE.【小问1详解】ABAC322ABC中，=⇒=⇒=sinB，sin∠°ACBsinBsin60sinB2因为AB>AC，B∈(0,π)，所以∠°ABC=45，所以∠BAC=180°−45°°−60°=75，因为sin∠BAC=sin45(°+60°=)sin45cos60°°+cos45sin60°°212362+=×+×=，22224116233++所以S=ABAC⋅⋅∠=×××sinBAC32=；△ABC2244第12页/共13页 【小问2详解】2方法1：因为AE=AD,32212所以CE=+=+=+CAAECAADCA()CDCA−=+CACD,33332122所以CE=(CA++⋅4CD22CACD)9126=(2482+×+××242cos120°=)，9926则CE=.3222方法2：在△ADC中，由余弦定理得AD=+−⋅CACD2CACDcos∠ACD=282+−⋅⋅222⋅⋅2cos120°=⇒14AD=14，因为E为线段AD上靠近D的三等分点，14所以DE=，3ACAD214因为=⇒=，sinDsin∠°ACDsinDsin1203所以sinD=，27因为D为锐角，235所以cosDD=−1sin=−=1，2827在CDE中，由余弦定理得，2221414526CE=DC+DE−2DCDC⋅cosD=+−×8222××=，9392726所以CE=.3第13页/共13页