广东省汕头市2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）
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汕头市2022~2023学年度普通高中教学质量监测高一数学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，监考员将答题卡交回.第Ⅰ卷选择题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）2NxZx=∈≤≤{∣110}M={xxx∣−−=60}1.设全集UR=，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{−2}B.{3}C.{−32，}D.{−23，}【答案】A【解析】【分析】观察出图中阴影部分表示的集合为M∩UN，结合交集的定义即可求解.2【详解】由M={xxx∣−−=60}得M=−{2,3}，图中阴影部分表示的集合是M∩UN，故M∩UN=−{2}.故选：A33i+2.设复数z=（i为虚数单位），则z=（）12i+A.2B.3C.5D.13【答案】A第1页/共22页学科网（北京）股份有限公司,【解析】【分析】利用复数的四则运算及模的运算即可得解.3i+−33i(3i12i−−)()17i−17【详解】因为z=====−i，12i+++−12i(12i12i)()5552172所以z=+−()=2．55故选：A．3.甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为（）A.0.9B.0.8C.0.7D.0.6【答案】B【解析】【分析】由题意，表示出该题未被解出的概率，然后列出方程，即可得到结果.【详解】设乙独立解出该题的概率为P，由题意可得10.3−×−=(1P)0.94，∴P=0.8．故选：B.4.如图，点D、E分别AC、BC的中点，设ABa=，AC=b，F是DE的中点，则AF=（）11111111A.ab+B.−+abC.ab+D.−+ab22224242【答案】C【解析】【分析】根据向量的运算，利用基底向量ab,表示AF即可.【详解】因为点D、E分别AC、BC的中点，F是DE的中点，1111所以AF=+=+ADDFACDE=AC+AB.222411即AF=a+b.42第2页/共22页学科网（北京）股份有限公司,故选：C.5.著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（）sin3xcos3xA.fx()=B.fx()=−xx−xx44−44−cos3xsin3xC.fx()=xx−D.fx()=xx−44−44−【答案】C【解析】【分析】首先根据图像判断函数是一个偶函数，再根据图像趋势知道(0+，∞)区间一开始是单调递减的，由此判断选项中哪个符合即可.1【详解】由图可知，该函数是一个偶函数，yx=sin3是奇函数，yx=cos3是偶函数，y=是−xx44−1奇函数，y=−xx是偶函数，根据偶函数×奇函数=奇函数，可知BD错误；yx=cos3在44−1cos3x(0+，∞)区间先是单调递减的，y=−xx在(0+，∞)区间是单调递减的，因此fx()=xx−符合图44−44−形先单调递减.故选:C6.在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x的非负半轴重合，将角α的终边按逆时针旋转π34π后，得到的角终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P−,，则sin2α−=（）6556772424A.B.−C.D.−25252525【答案】A第3页/共22页学科网（北京）股份有限公司,【解析】π4【分析】由题设易知sinα+=，利用诱导公式、倍角余弦公式有65πππ2sin2ααα−=−cos(2+=)2sin(+−)1，即可求值.636π4【详解】由题设sinα+=，65ππππ2π7由sin2α−=−cos[+(2ααα−)]=−cos(2+=)2sin(+−=)1.6263625故选：A7.已知a，b，l是直线，α是平面，若a//α，b⊂α，则“la⊥，lb⊥”是“l⊥α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】举反例判断充分性，再证明必要性得解.【详解】若a∥α，b⊂α，如果ab//，则“l⊥α”不一定成立.如图所示，所以“la⊥，lb⊥”是“l⊥α”非充分条件.如果“l⊥α”，又b⊂α，所以lb⊥，因为a//α，所以la⊥，所以“la⊥，lb⊥”是“l⊥α”的必要条件.所以“la⊥，lb⊥”是“l⊥α”的必要非充分条件.故选：B8.设fx()是定义在(−∞,0)(0,+∞)上的奇函数，对任意的xx12,∈(0,+∞),xx1≠2，满足：xfxxfx2211()−()8>0，且f(2)=4，则不等式fx()−>0的解集为（）xx−x21A.(2,0)−(2,+∞)B.(2,0)−(0,2)第4页/共22页学科网（北京）股份有限公司,C.(−∞−,4)∪(0,4)D.(−∞−,2)(2,+∞)【答案】A【解析】【分析】xfxxfx2211()−()先由>0，判断出y=xfx()在(0,+∞)上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单xx−218调性即可求出fx()−>0的解集.xxfxxfx2211()−()【详解】解：对任意的xx12,∈(0,+∞),xx1≠2，都有>0，xx−21∴=yxfx()在(0,+∞)上是增函数，令Fx()=xfx()，则F()−=−−=xxf()xxfx()=Fx()，∴Fx()为偶函数，∴Fx()在(−∞,0)上是减函数，且Ff(2)=2(2)=8，8xfx()8−−Fx()F(2)∴fx()−==>0，xxx当x>0时，FxF()−>(2)0，即x2，解得：x>2，当x<0时，FxF()−<(2)0，即x<2，解得：−<<20x，8综上所述：fx()−>0的解集为：(2,0)−(2,+∞).x故选：A.【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解第5页/共22页学科网（北京）股份有限公司,题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分）9.在党中央、国务院决策部署下，近一年来我国经济运行呈现企稳回升态势．如图为2022年2月至2023年1月社会消费品零售总额增速月度同比折线图，月度同比指的是与去年同期相比，图中纵坐标为增速百分比．就图中12个月的社会消费品零售总额增速而言，以下说法正确的是（）A.12个月的月度同比增速百分比的中位数为1%B.12个月的月度同比增速百分比的平均值大于0C.图中前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大D.共有8个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值【答案】AC【解析】【分析】根据题意结合相关概念逐项分析判断.【详解】由折线图可得增速百分比（%）由小到大依次为：−−−−−−11.1,6.7,5.9,3.5,1.8,0.5,2.5,2.7,3.1,3.5,5.4,6.7，−+0.52.5对于A：12个月的月度同比增速百分比的中位数为=1%()，故A正确；2对于B：因为17(−11.1)+−(6.7)+−(5.9)+−(3.5)+−(1.8)+−(0.5)+2.52.73.13.55.46.7+++++=−<0，1215所以12个月的月度同比增速百分比的平均值小于0，故B错误；对于C：由折线图可得前6个月的月度同比增速百分比先大幅度波动后渐渐趋于稳定，后6个月的大波动整体较小，所以前6个月的月度同比增速百分比波动比后6个月的大，故C正确；第6页/共22页学科网（北京）股份有限公司,7对于D：因为−≈−0.47，可知大于−0.47的有2.5,2.7,3.1,3.5,5.4,6.7，共有6个，15所以共有6个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值，故D错误；故选：AC.π10.已知函数fxA()=sin(ωϕx+>><)A0,ωϕ0,的部分图像如图所示，下列说法正确的是2（）πA.fx()的图像关于点−,0对称35πB.fx()的图像关于直线x=−对称12πC.将函数yx=2cos2的图像向右平移个单位长度得到函数fx()的图像12πD.若方程fxm()=在−,0上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(−−2,32【答案】BCD【解析】【分析】根据图中的信息求出ωϕ,，再根据正弦函数的性质逐项分析.ππ2π【详解】由图可知：A=2，fx()的周期T=×−=∴==4π,2ω，312Tπππππ当x=时，ωϕxk+=+2π,(kxk∈∴+=+Z,2)ϕ2π，ϕϕ＜,∴=，122223π∴=fx()2sin2x+；3π2ππ对于A，f−=2sin−+=−≠30，错误；333第7页/共22页学科网（北京）股份有限公司,5π5ππ对于B，f−=2sin−+=−2，正确；1263πππππ对于C，将yx=2cos2向右平移：yx=2cos2−=2cos2x−=2cos2x−+1212623πππ=2cos−−+2xx=2sin2+，正确；233对于D，fx()的大致图像如下：π欲使得在−,0内方程fxm()=有2个不相等的实数根，则−23＜m≤−，正确；2故选：BCD.11.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（）A.圆锥的母线长为9B.圆锥的表面积为36πC.圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为60D.圆锥的体积为122π【答案】AB【解析】【分析】对于A，利用圆锥在平面内转回原位置求解以S为圆心，SA为半径的圆的面积，再求解圆锥的侧面积，根据圆锥本身恰好滚动了3周列出方程求解结果；对于B，利用圆锥的表面积公式进行计算；对于C，第8页/共22页学科网（北京）股份有限公司,圆锥的底面圆周长即为圆锥侧面展开图(扇形)的弧长，根据弧长公式求解圆心角；对于D，求解圆锥的高，利用圆锥体积公式求解.2【详解】对于A，设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为πl，圆锥的侧面积为ππrl=3l，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，2则ππl=l9，所以圆锥的母线长为l=9，故A正确；2对于B，圆锥的表面积3π×+π×93=36π，故B正确；对于C，圆锥的底面圆周长为236π×=π，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为αrad，2πα=，即α=120则69π=α，解得，故C错误；31122对于D，圆锥的高hlr=−=−=22936222，所以圆锥的体积为V=πrh=π×3×62=182π,故33D错误.故选：AB.12.已知实数a，b，满足a＞b＞0，lnlnab=1，则（）ab++1ab211abbaA.ab>eB.log2ab<log2c.<d.ab>ab22【答案】BCD【解析】【分析】对于选项A：根据题意结合基本不等式分析判断；对于选项B：利用作差法分析判断；对于选项C：分析可得ab+>+1ab，结合指数函数单调性分析判断；对于选项D：结合幂函数单调性分析判断.22ln2ab(lnab+ln)lnab【详解】对于选项A：因为lnlnab<=，即>1，解得lnab>2或444lnab<−2，120<<ab，故a错误；所以ab>e或2eln2ln2ln2ln(ba−ln)对于选项B：log2log2ab−=−==ln2ln(ba−ln)，lnablnlnlnab因为a＞b＞0，则lnab>ln，即lnba−<ln0，且ln2>0，所以log2log2ab−<0，即log2ab<log2，故b正确；对于选项c：因为a＞b＞0，且lnlnab=>10，可得ln,lnab同号，则有：第9页/共22页学科网（北京）股份有限公司,若ln,lnab同正，可得ab>>>e1，则(a−1)(b−=−++>1)ab(ab)10，可得ab+>+1ab；1若ln,lnab同负，可得10>>>>ab，e则(a−1)(b−=−++>1)ab(ab)10，可得ab+>+1ab；综上所述：ab+>+1ab，xab++1ab111又因为y=在定义域内单调递减，所以<，故C正确；222对于选项D：因为a＞b＞0，则ab−>0，可得yx=ab−在(0,+∞)内单调递增，可得ab−−ab0ab>>，且abba,0>，所以abbaab>ab，故D正确；故选：BCD.第Ⅱ卷非选择题三、填空题（每小题5分，共20分）213.若A={xx+−>xa0}，且1∉A，则a的取值范围为______.【答案】a≥2【解析】【分析】根据元素与集合间的关系即可求解.【详解】由于1∉A，所以11+−≤a0，解得a≥2，故答案为：a≥214.已知向量ab=(4,2,)=−(6,2)，则下列说法正确的是___________.（1）(aba+⊥)（2）ab+=22010（3）向量a在向量b上投影向量的模长是2255（4）与向量a方向相同的单位向量是,55【答案】（1）（4）第10页/共22页学科网（北京）股份有限公司,【解析】【分析】根据向量的数量积的坐标运算，向量的几何意义，向量的投影向量的计算，单位向量的计算方法，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，向量ab=(4,2),=−(6,2)，由ab+=−(2,4)，则(aba+⋅=−×+×=)24240，所以()aba+⊥，故（1）正确；22由ab+=−2(8,6)，可得ab+=−+=2(8)610，故（2）错误；ab⋅4(6)22×−+×由向量a在向量b方向上的投影向量为2b=×−(6,2)=−(3,1)，b40故其模长为10，故（3）错误；a255由a=4+2=2522，所以与向量a方向相同的单位向量是=,，故（4）正确；a55故答案为：（1）（4）.15.半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．若20该二十四等边体的体积为，则原正方体的外接球的表面积为______．3【答案】12π【解析】【分析】令原正方体的棱长为2a，原正方体的外接球的半径为R，由该二十四等边体是由棱长为2a的正331120方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得，可得(2)aa−×××=8，解得a=1，再根据正方体的体对323角线就是外接球的直径可以求得R=3，从而可求表面积.【详解】令原正方体的棱长为2a，原正方体的外接球的半径为R，因为该二十四等边体是由棱长2a为的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得，第11页/共22页学科网（北京）股份有限公司,331120所以(2)aa−×××=8.解得a=1，即22a=，323因为正方体的体对角线就是外接球的直径，所以2R=++222222，即R=3，所以则原正方体的外接球的表面积为24πR=12π.故答案为：12ππ16.已知θ∈,π，则sinθθθθ++cossincos的取值范围是______.2【答案】(−1,1)【解析】【分析】根据sinθθ+cos与sincosθθ的关系，换元得二次函数，根据正弦函数的性质可得t∈−(1,1)，结合二次函数的性质即可求解.π【详解】设sinθθ+=cost，则t=2sin(θ+)，4ππ3π5ππ22由于θ∈,π，故θ+∈,，故sin(θ+∈−),，则t∈−(1,1)，2444422222(sinθθ+=cos)t，整理得2sincosθθ=t−1；1122sinθθθθ+cos+sincos=+tt(−=+−1)(t1)1，t∈−(1,1)，2212由于ft()=+−(t11)在t∈−(1,1)单调递增，2故f(−=−11),11f()=，故sinθθθθ++cossincos∈−(1,1).故答案为：(−1,1)四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）117.已知某公司计划生产一批产品总共t万件（0.5<<t1.5），其成本为61+2（万元>0，所以a=3；【小问2详解】1ACAD⋅sin75SACDCD21法1；因为=，即=，SABDBD1ABAD⋅sin4531−2232162+又sin75=sin45(+sin30)=×+×=，22224AC所以=1，即AB=AC．AB在ABC中，由余弦定理得，22AB+−AC322cos∠BAC=，所以23AB−=−AB，所以AB=AC=1，2ABAC⋅13所以S=×××11sin120=.ABC24法2：AC1设∠=ACBθ，在ACD中，由正弦定理得：=，sin75(+θ)sin75AC3同理，在ABC中，=，sin60(−θ)sin120sin75(+−θθ)3sin60()所以AC==，sin75sin120623所以sinθθ=cos，所以tanθ=，又0<<°θ60，223所以θ=30，即AB=AC.在ABC中，由余弦定理得，第14页/共22页学科网（北京）股份有限公司,22AB+−AC322cos∠BAC=得23AB−=−AB，所以AB=AC=1.2ABAC⋅13所以S=×××11sin120=.ABC2419.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；5（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分2别为43和1，据此估计这m人中35~45岁所有人的年龄的方差.3【答案】（1）32.25岁；37.5；（2）（i）；（ii）10.5【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可的这m人的平均年龄；设第80百分位数为a，计算从左到右频率和为0.8或计算从右到左频率和为0.2，即可求出a；(2)（i）由题意可得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，根据古典概型计算方法求解即可；（ii）根据方差的计算原理计算合并后方差即可.第15页/共22页学科网（北京）股份有限公司,【详解】解：（1）设这m人的平均年龄为x，则x=×+×+×+×+×=22.50.0527.50.3532.50.337.50.242.50.132.25（岁）.设第80百分位数为a，方法一：由50.02(40×+−×a)0.04=0.2，解得a=37.5.方法二：由0.050.350.3(+++−×=a35)0.040.8，解得a=37.5.（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，对应的样本空间为：Ω={(,),(,),(,),(,ABACA甲A乙),(,),(,),(,),(,ADBCB甲B乙),(,),(,)BDC甲,(,C乙),(,),(,CD甲乙),(,),(,)}甲D乙D，共15个样本点.设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”，则MAABBCC={(,),(,甲乙),(,),(,甲乙),(,),(,甲乙),(,甲乙),(,),(,)}甲DD乙，共有9个样本点.nM()3所以，PM()==.n()5Ω22（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x4，x5，方差分别为s4，s5，252则x4=37，x5=43，s4=，s5=1，22设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z，方差为s.42xx45+则z==39，6122222s=×+−+×+−={4sxz45(45)2sxz()}10，6因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这m人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.120.如图，在四棱锥P−ABCD中，ADBCAD//,⊥DC,BC=CD=AD=2，E为棱AD的中点，2PA⊥平面ABCD.第16页/共22页学科网（北京）股份有限公司,（1）证明：AB//平面PCE（2）求证：平面PAB⊥平面PBD（3）若二面角PCD−−A的大小为45°，求直线AD与平面PBD所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析2（2）证明见解析（3）2【解析】【分析】（1）因为BCAE//且BC=AE，所以BCEA为平行四边形，则ABEC//，利用线面平行的判定定理即可得证；（2）由已知可得PA⊥BD，BD⊥AB，由线面垂直的判定定理可得BD⊥面PAB，进而即可证得结论；（3）由CD⊥平面PAD可得∠=°PDA45，作AM⊥PB于M，可知AM⊥面PDB，所以∠ADM为直线AD与平面PBD所成角，在直角AMD中求解即可．【小问1详解】∵BCAE//且BC=AE，∴四边形BCEA为平行四边形，∴ABEC//，又AB⊄平面PCE，EC⊂平面PCE，所以AB//平面PCE.【小问2详解】∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，连接BE，∵BCDE//且BC=DE，∴四边形BCDE为平行四边形，∵DE⊥CD，BC=CD=2，∴平行四边形BCDE为正方形，∴BD⊥EC，又ABEC//，∴BD⊥AB，又PAAB=A，PAAB,⊂面PAB，∴BD⊥面PAB，∵BD⊂面PBD，∴平面PAB⊥平面PBD.第17页/共22页学科网（北京）股份有限公司,【小问3详解】∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，PA∩=ADA，PAAD,⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD,∴∠PDA为二面角PCD−−A的平面角，从而∠=°PDA45，所以PA=AD=4，作AM⊥PB于M，连接MD，∵平面PAB⊥平面PBD，AM⊂平面PAB，平面PAB∩平面PBD=PB，∴AM⊥面PBD，所以∠ADM为直线AD与平面PBD所成角，PAAB⋅×42243在直角PAB中，AB=CE=22，PA=4，PB=26，∴AM===，PB263因为AM⊥面PBD，DM⊂面PBD，所以AM⊥DM，432246在直角AMD中，AD=4,AM=，DM=−=ADAM，332∴tan∠ADM=，22则直线AD与平面PBD所成角的正切值为.2ππ21.已知函数fx()=+>≤sin(ωϕωx)0,|ϕ|的图象经过点−,0.24（1）若fx()的最小正周期为2π，求fx()的解析式；ππ75ππ（2）若∀∈xR，fx+=−fx，是否存在实数ω，使得fx()在,上单调？若存44189在，求出ω的取值集合；若不存在，请说明理由.π【答案】（1）fx()=sinx+4第18页/共22页学科网（北京）股份有限公司,（2）存在，{1,3}【解析】π【分析】（1）根据最小正周期为2π得到ω，再根据fx()的图象过点−,0，得到ϕ，即可得到4fx()的解析式；πππππ（2）根据fx+=−fx得到x=是fx()的一条对称轴，代入得到ωϕπ+=+k，244442ππkZ2∈，再根据fx()的图象过点−,0得到−+=ωϕπk1，kZ1∈，联立得到4475ππ75ππω=+∈2nn1(N)，根据fx()在,上单调得到ω≤6，最后验证fx()在,上是否单189189调即可得到ω的取值集合.【小问1详解】2π因为fx()的最小正周期为2π，所以=2π.||ω因为ω>0，所以ω=1.ππ因为fx()的图象经过点−,0，所以−+=ϕπk，k∈Z，44πππ即ϕπ=k+，k∈Z.因为||ϕ≤，所以ϕ=.424π故fx()=sinx+.4【小问2详解】πππ因为∀∈xR，fx+=−fx，所以直线x=为fx()图象的对称轴，444π又fx()的图象经过点−,0.4πππ所以−+=ωϕπk1①，ωϕπ+=+k2②，kk12,∈Z.442ππ②-①得ωπ=−+(kk21)，所以ω=−+21(kk21)22第19页/共22页学科网（北京）股份有限公司,因为kk12,∈Z，ω>0，所以ω=+∈2nn1(N)，即ω为正奇数.75ππ57πππT2ππ因为fx()在,上单调，所以−=≤，即T=≥，解得ω≤6.18991862ω35π当ω=5时，−+=ϕπk，k∈Z.4πππ因为||ϕ≤，所以ϕ=，此时fx()=sin5x+.244πππ79109令tx=+∈5,，gt()=sint.4363679ππ55ππ109gt()在,上单调递增，在,上单调递减，36223675ππ故fx()在,上不单调，不符合题意；1893π当ω=3时，−+=ϕπk，k∈Z.4πππ因为||ϕ≤，所以ϕ=−，此时fx()=sin3x−.244πππ1117令tx=−∈3,，gt()=sint.4121211ππ17gt()在,上单调递减，121275ππ故fx()在,上单调，符合题意；189π当ω=1时，−+=ϕπk，k∈Z.4πππ因为||ϕ≤，所以ϕ=，此时fx()=sinx+.244πππ2329令tx=+∈,，gt()=sint.4363623ππ29gt()在,上单调递减，3636第20页/共22页学科网（北京）股份有限公司,75ππ故fx()在,上单调，符合题意，18975ππ综上，存在实数ω，使得fx()在,上单调，且ω的取值集合为{1,3}1892222.已知函数fx()=++xaxbab(,∈R)，gx()=−−2x4x16，且fx()≤gx()对x∈R恒成立．（1）求a、b的值；（2）若对x>2，不等式fx()≥+−−(m2)xm15恒成立，求实数m的取值范围．11（3）记hx()=−−fx()4，那么当k≥时，是否存在区间[,]mn（mn<），使得函数hx()在区间22[,]mn上的值域恰好为[,]kmkn？若存在，请求出区间[,]mn；若不存在，请说明理由．【答案】（1）ab=−=2,−8（2）m≤2（3）答案见解析【解析】fg(4)≤(4)【分析】（1）求gx()的零点，结合fx()≤gx()恒成立，即即可求参数值，进而验证即fg(2)−≤−(2)可；2xx−+47（2）问题转化为m≤对x>2恒成立，右侧构造函数并利用基本不等式求最小值，即可得结果；x−11hm()=km（3）利用二次函数性质得到[,](,]kmkn⊆−∞、[,]mn⊆−∞(,1]，结合区间单调性有，进而2hn()=kn讨论k范围判断区间[,]mn的存在性.【小问1详解】2由gx()2=x−46x−1=0得：x=4或x=−2．164++≤ab0164++=ab0a=−2于是x=4或x=−2时，得，即，，42−+≤ab042−+=ab0b=−822此时，f()xg≤()xxx⇔−−≤−−282xx28对x∈R恒成立，满足条件．故ab=−=2,−8．【小问2详解】第21页/共22页学科网（北京）股份有限公司,2xx−+47fx()≥+−−(m2)xm15对x>2恒成立，则m≤对x>2恒成立．x−122xx−+47(x−−−+1)2(x1)44记ϕ()xx===−+(1)−2．xx−−11x−14由x>2，则x−>11，故ϕ()xx≥2(−⋅1)−=22，x−1仅当x−=12，即x=3时，ϕ()xmin=2，所以m≤2．【小问3详解】12111由题意hx()=−−+≤(x1)，则[,](,]kmkn⊆−∞，2222111所以kn≤，又k≥，则n≤≤1，故[,]mn⊆−∞(,1]，222k12hm()=−m+=mkm2所以hx()在[,]mn上是单调增函数，则，hn()=−1n2+=nkn2m=0mk=−22m=0mk=−221所以或或或，又mn<且k≥，n=0n=0nk=−22nk=−2221当≤<k1时，[,][0,22]mn=−k；2当k>1时，[,][22,0]mn=−k；当k=1时，[,]mn不存在．第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司</k1时，[,][0,22]mn=−k；2当k></t1.5），其成本为61+2（万元></log2，故b正确；对于选项c：因为a＞b＞0，且lnlnab=></ln0，且ln2></ab，故a错误；所以ab></log2c.<d.ab>
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