广东省潮州市中学2023-2024学年高三上学期第四次统测数学试题
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高三数学高考班第四次统测卷A．复数z的模为10B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限一、单选题2023z−1x+1C．复数z的共轭复数为−+13iD．=−i1．已知集合Ax=|≤∈0,xZ}，则集合A的真子集的个数为（）3x−3A．16B．15C．32D．3110．秋季开学前，某学校要求学生提供由当地社区医疗服务站或家长签字认可的返校前一周（7天）的体温−2.1测试记录，已知小明在一周内每天自测的体温（单位：C）依次为36.0,36.2,36.1,36.4,36.3,36.1,36.3，则该122．已知ab=ln2,=,c=ln，则（）e3组数据的（）A．acb>>B．abc>>C．cba>>D．bac>>A．极差为0.4CB．平均数为36.2CC．中位数为36.1CD．第75百分位数为36.3C3．已知向量ab,满足a=2，b=(1,3)，且ab⋅=4，则向量ab,夹角的余弦值为（）11．已知向量m=(3,1),n=(cos2,sin2)xx，函数fxmn()=⋅，则（）5251010πA．B．C．D．A．fx()的最大值为2B．直线x=−是fx()图象的一条对称轴5551012ππ7π4．若等差数列{an}的前5项和为75，aa42=2，则a9=（）C．点,0是fx()图象的一个对称中心D．fx()在,上单调递减31212A．40B．45C．50D．5512．如图在正方体ABCD−ABCD1111中，MNQ,,分别是棱x115．已知函数fx()=+−2023，则不等式fx(+>12)fx()的解集为（）x2DCADBC,,的中点，点P是线段BD上的动点（不包含端点）则下列说2023x+311111111A．−,+∞B．(2023,+∞)C．(−∞−,3)∪(1,+∞)D．−,1法中一定正确的是（）202336．在ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD=DC=2，则AB=（）A．MN平面APC；A．23B．26C．3D．6B．存在唯一点P，使得CQ1平面APC；2xxx−+≥88,07．已知函数fx()=．若互不相等的实根xxx123,,满足fx(123)=fx()=fx()，则xxx123++的C．点P到平面MNQ的距离为定值；2xx+<4,0D．若H为棱BB1的中点，则四面体PACH11的体积为定值.范围是（）三、填空题A．(2,8)B．(8,4)−C．(6,0)−D．(6,8)−8．在正三棱锥P－ABC中，O为△ABC的中心，已知AB=6，∠APB=2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表13．已知向量amb=(,3),(3,3)=−，且ab，则m=__________.面积为（）14．已知sinx−=5π1，则cos2021π−=2x__________．1236A．49πB．36πC．32πD．28π15．某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中二、多选题随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度（单位：cm)，9．已知复数z满足zz−=+2ii4，则下列说法中正确的是（）将所得数据分为7组：第1页共4页◎第2页共4页学科网（北京）股份有限公司,[70,80),[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140]，并绘制了频率分布直方图（如图），根据该n5∑(xxyyii−−)()2图可推测，在这3000棵树苗中高度小于100cm的树苗棵数是____________棵参考数据：∑(yy−=)55960.参考公式：相关系数r=i=1.线性回i，1399≈37.4nn22i=1∑∑(xxii−⋅)(yy−)16．已知奇函数fx()在(0,1)上单调递减，且fx(+=4)fx()，则函数fx()的解析式可以为fx()=______.（写ii=11=n出一个符合题意的函数即可）∑(xxyy−−)()iibˆ=i=1四、解答题归方程的斜率n2，截距aˆ=ybx−ˆ.∑(xxi−)10ππi=117．已知sinαα+cos=−,α∈−,．522附：(1)求2tanα的值；(2)求2sinααα+−sincos1的值．r[0,0.25][0.30,0.75)[0.75,1]cCsinbBsin18．设ABC内角A、B、C所对边分别为a,b,c,已知−=ca−,b=2.sinAAsin相关性弱一般强26a=(1)求角B的大小;(2)若3,求ABC的面积.19．已知等差数列{an}满足aaa1=+=1,235．21．已知函数fx()=−−2sin(πx)cosx23cos2x.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是等比数列，bbb132=2,=2，求数列{abnn+}的前n项和Tn．(1)求fx()的最大值；(2)在锐角ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若fA()=0,b=4,c=3求BC边上高AD的长.20．随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧便携､工作效率高､环1保､可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用.在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，22．在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AB=AP=ADEF,,分别是APBC，2锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大.某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人的中点．员，使得整体研发创新能力持续提升，现对2017~2021年的研发人数作了相关统计，如下图：(1)求证：EF//平面PCD；2017~2021年公司的研发人数情况（年份代码1~5分别对应2017~2021年）(2)求二面角C−−EFD的余弦值．(1)根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数y与年份代码x的相关系数r，并由此判断其相关性的强弱；(2)试求出y关于x的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数.（结果取整数）第3页共4页◎第4页共4页,高三数学高考班第四次统测参考答案1．B【分析】先求出不等式的解集确定集合中元素，然后求出真子集的个数即可.x+1(xx+−≤1)(3)0【详解】不等式≤0可化为，解得：−≤<13x，x−3x−≠30x+1所以集合Ax=|≤∈=−≤<∈=−0,xZZ}{|1xxx3,}{1,0,1,2}x−34则其真子集的个数为2−=115.故选：B.2．D【分析】由对数函数与指数函数的单调性求解即可−2.10112【详解】因为ln1<ln2<><lne,,lnln1，ee3−2.112所以abc=∈ln2(0,1,)=>=<1,ln0e3所以bac>>.故选：D3．C【分析】先由平面向量模的坐标表示求得b，再利用平面向量数量积与模求得向量a，b夹角的余弦值.【详解】依题意，设a与b夹角为θ，因为b=+=1910，a=2，ab⋅=4，ab⋅410所以cosθ===.ab⋅2×105故选：C.5．D【分析】分析可知函数fx()为R上的偶函数，且该函数在[0,+∞)上单调递增，将所求不等式变形为fx(+>12)fx()，可得出关于实数x的不等式，即可得解.【详解】由题意可知，函数fx()的定义域为R，答案第1页，共11页学科网（北京）股份有限公司,−xx1111fx(−=)2023+−=+2023−=fx()且−xx22，2023(−+x)32023x+3所以，函数fx()为偶函数，x112xxxx−2当x≥0时，fx′()=2023ln2023+xln+=−22(20232023)ln2023+≥020232023(xx22++33)()且fx′()不恒为零，所以，函数fx()在[0,+∞)上为增函数，22由fx(+>12)fx()可得fx(+>12)fx()，则xx+>12，可得(xx+>14)，1整理可得(3110xx+)(−<)，解得−<<x1.3故选：d.4．b【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据等差数列前n项和与基本量a1和d的关系将题目条件全部转化为基本量的关系，即可求解.【详解】设等差数列{an}的公差为d，54×5ad+=751根据题意可得2，解得a1=5，d=5，adad11+=+32()∴=+=aad845.91故选：b.6．b【分析】由sssabc=abd+acd，结合正弦面积公式和角平分线性质，ab=2ac化简易得2accos∠=cad3，对acd由余弦定理可得ac，进而求得ab.【详解】因为ab=2ac，ad平分∠bac，ad=2，由sssabc=abd+acd，111得abac⋅∠=⋅∠+⋅∠sincabacadsincadabadsinbad，2221即⋅⋅⋅∠⋅∠2acac2sincadcoscad211=⋅⋅acadsin∠cad+⋅2acad⋅⋅∠sincad，化简得2accos∠=cad3．222222在acd中，cd=+−⋅⋅∠acad2acadcoscad，整理得ac=6，答案第2页，共11页,即ac=6，故ab=2ac=26．故选：b7．a【分析】根据函数图象有三个实数根的函数值在(−8,4)之间，第一段函数关于x=4对称，即可求出xx23+=8，再根据图象得到x1的取值范围，即可得到答案.【详解】根据函数的解析式可得如下图象若互不相等的实根xxx123,,满足fx(123)=fx()=fx()，根据图象可得x2与x3关于x=4，则xx23+=8，当248x1+=−时，则x1=−6是满足题意的x1的最小值，且x1满足−<<60x1，则xxx123++的范围是(2,8).故选：a.8．a【分析】设侧棱长为x，由x求得∠apb和∠pao的余弦值，利用二倍角公式可求得x，从而求得棱锥的高ao，设球心为m，球半径为r，表示出mo，然后由勾股定理可求得r，得球表面积．23【详解】设侧棱长为x，且易知oa=××=62332答案第3页，共11页学科网（北京）股份有限公司,222oa23xx+−36x−18则cos∠==pao，cos∠=apb=22pax2xx22−23x18因为∠=apb2∠pao，则cos∠=∠apbcos2pao,所以21−=，解得x=21，xx2所以22op=−=paoa3，设球心为m，则mp=ma=r，mo=3−r，2227因为ma222=mo+oa，所rr=−+(3)(23)，解得r=，所以表面积sr=4ππ2=49，2故选：a.9．ad【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可.【详解】因为zz−=+2ii4，所以(1i)−=+z42i，42i+21i2i(++)()z===+13i，1i−(1i1i+−)()12有z=+=1310，故a正确；复数z在复平面内所对应的点为(1,3)，位于第一象限，故b错误；复数z的共轭复数为z=−13i，故c错误；2023z−12023因为=ii=−，故d正确，3故选:ad.10．abd【分析】根据极差、平均数、中位数和百分位数的定义判断即可.【详解】体温从低到高依次为36.0,36.1,36.1,36.2,36.3,36.3,36.4，极差为36.436.0−=0.4c，故a正确；答案第4页，共11页,3636.2+++36.3平均数为=36.2c，故b正确；7中位数为36.2c，故c错误；因为775%×=5.25，所以体温的第75百分位数为从小到大排列的第6个数，是36.3c，故d正确.故选：abd.11．acd【分析】根据向量数量积求出fx()解析式，再根据三角函数正弦函数的性质进行判断即可.π【详解】因为fxmn()=⋅=3cos2x+sin2x=2sin2x+，所以fx()的最大值为2，a正确；3ππππ因为sin−×2+≠±1，sin2×+=0，所以b错误，c正确；12333ππ3ππ7π令+++2kxπ22kπ，k∈z，解得++kxπkπ，k∈z，所以fx()的单调递减区间为2321212π7π++kkπ,π，k∈z，所以d正确.1212故选：acd12．bd【分析】对a，举反例p在平面mnac上即可；对b，根据cq1>0.980.75，所以y与x具有很强的线性相关关系，且为正相关.5∑(xxyyii−−)()732i=1（2）bˆ=5==73.2，210∑(xxi−)i=1所以aˆ=−=ybxˆ320−73.23100.4×=，所以yˆ=+=bxaˆˆ73.2x+100.4.由题意知，2023年对应的年份代码x=7，当x=7时，yˆ=+=bxaˆˆ73.27100.4×+=612.8，故预测2023年该公司的研发人数约为613人.21cos2+x21．（1）由题意可得：fx()=2sin(π−x)cosx−23cosx=2sincosxx−×232π=sin2xx−3cos2−=32sin2x−−3，3ππ5π故当22xkk−=+∈π,Z，即xk=π+∈,kZ时，fx()取到最大值23−.3212ππ3（2）由题意可得：fA()=2sin2A−−=30，即sin2A−=，332πππ2π∵A∈0,，则2,A−∈−，2333πππ∴2A−=，则A=，333222221在ABC中，由a=+−bc2bccosA=+−×××=4324313，可得a=13，211131又∵bcsinA=ADa×，即×××43=AD×13，22222答案第9页，共11页学科网（北京）股份有限公司,639∴AD=，13639故BC边上高AD的长为.1322．（1）证明：取DP的中点G，连接EG，CG，1又E是AP的中点，所以EG∥AD，且EGAD．21因为四边形ABCD是矩形，所以BC=AD且BC//AD，所以EG=BC，且EG//BC．21因为F是BC的中点，所以CF=BC，所以EG=CF且EG//CF，2所以四边形EFCG是平行四边形，故EF//CG．因为EF⊄平面PCD，CG⊂平面PCD，所以EF//平面PCD．（2）因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，所以AB，AD，AP两两垂直，以点A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）．1设AB=AP=AD=2，所以AB=AP=2，AD=BC=4．2因为E，F分别为AP，BC的中点，所以C(2,4,0)，D(0,4,0)，E(0,0,1)，F(2,2,0)所以EF=(2,2,1−)，DF=(2,2,0−)，CF=(0,2,0−)．设平面CEF的一个法向量为mxyz=(111,,)，答案第10页，共11页,mEF⋅=0,2xyz1+−=2110,由即mCF⋅=0,−=2y10.令x1=1，则z1=2，y1=0，所以m=(1,0,2)．设平面DEF的一个法向量为nxyz=(222,,)，nEF⋅=0,2xyz2+−=2220,由即nDF⋅=0,2xy22−=20.令x2=1，则y2=1，z2=4，所以n=(1,1,4)．mn⋅9310所以cosmn,===．mn⋅5×1810由图知二面角C−−EFD为锐角，310所以二面角C−−EFD的余弦值为．10答案第11页，共11页学科网（北京）股份有限公司</x1.3故选：d.4．b【分析】设等差数列{an}的公差为d，根据等差数列前n项和与基本量a1和d的关系将题目条件全部转化为基本量的关系，即可求解.【详解】设等差数列{an}的公差为d，54×5ad+=751根据题意可得2，解得a1=5，d=5，adad11+=+32()∴=+=aad845.91故选：b.6．b【分析】由sssabc=abd+acd，结合正弦面积公式和角平分线性质，ab=2ac化简易得2accos∠=cad3，对acd由余弦定理可得ac，进而求得ab.【详解】因为ab=2ac，ad平分∠bac，ad=2，由sssabc=abd+acd，111得abac⋅∠=⋅∠+⋅∠sincabacadsincadabadsinbad，2221即⋅⋅⋅∠⋅∠2acac2sincadcoscad211=⋅⋅acadsin∠cad+⋅2acad⋅⋅∠sincad，化简得2accos∠=cad3．222222在acd中，cd=+−⋅⋅∠acad2acadcoscad，整理得ac=6，答案第2页，共11页,即ac=6，故ab=2ac=26．故选：b7．a【分析】根据函数图象有三个实数根的函数值在(−8,4)之间，第一段函数关于x=4对称，即可求出xx23+=8，再根据图象得到x1的取值范围，即可得到答案.【详解】根据函数的解析式可得如下图象若互不相等的实根xxx123,,满足fx(123)=fx()=fx()，根据图象可得x2与x3关于x=4，则xx23+=8，当248x1+=−时，则x1=−6是满足题意的x1的最小值，且x1满足−<<60x1，则xxx123++的范围是(2,8).故选：a.8．a【分析】设侧棱长为x，由x求得∠apb和∠pao的余弦值，利用二倍角公式可求得x，从而求得棱锥的高ao，设球心为m，球半径为r，表示出mo，然后由勾股定理可求得r，得球表面积．23【详解】设侧棱长为x，且易知oa=××=62332答案第3页，共11页学科网（北京）股份有限公司,222oa23xx+−36x−18则cos∠==pao，cos∠=apb=22pax2xx22−23x18因为∠=apb2∠pao，则cos∠=∠apbcos2pao,所以21−=，解得x=21，xx2所以22op=−=paoa3，设球心为m，则mp=ma=r，mo=3−r，2227因为ma222=mo+oa，所rr=−+(3)(23)，解得r=，所以表面积sr=4ππ2=49，2故选：a.9．ad【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可.【详解】因为zz−=+2ii4，所以(1i)−=+z42i，42i+21i2i(++)()z===+13i，1i−(1i1i+−)()12有z=+=1310，故a正确；复数z在复平面内所对应的点为(1,3)，位于第一象限，故b错误；复数z的共轭复数为z=−13i，故c错误；2023z−12023因为=ii=−，故d正确，3故选:ad.10．abd【分析】根据极差、平均数、中位数和百分位数的定义判断即可.【详解】体温从低到高依次为36.0,36.1,36.1,36.2,36.3,36.3,36.4，极差为36.436.0−=0.4c，故a正确；答案第4页，共11页,3636.2+++36.3平均数为=36.2c，故b正确；7中位数为36.2c，故c错误；因为775%×=5.25，所以体温的第75百分位数为从小到大排列的第6个数，是36.3c，故d正确.故选：abd.11．acd【分析】根据向量数量积求出fx()解析式，再根据三角函数正弦函数的性质进行判断即可.π【详解】因为fxmn()=⋅=3cos2x+sin2x=2sin2x+，所以fx()的最大值为2，a正确；3ππππ因为sin−×2+≠±1，sin2×+=0，所以b错误，c正确；12333ππ3ππ7π令+++2kxπ22kπ，k∈z，解得++kxπkπ，k∈z，所以fx()的单调递减区间为2321212π7π++kkπ,π，k∈z，所以d正确.1212故选：acd12．bd【分析】对a，举反例p在平面mnac上即可；对b，根据cq1></lne,,lnln1，ee3−2.112所以abc=∈ln2(0,1,)=></ln2<>
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