专题 数列新定义问题 (学生版）--2025年新高考数学一轮复习

数列新定义问题1(2024&middot;甘肃定西&middot;一模)在n个数码1,2,⋯,nn&isin;N,n&ge;2构成的一个排列j1j2⋯jn中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序(例如j2&gt;j5，则j2与j5构成逆序)，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为Tj1j2⋯jn，例如，T312=2，(1)计算T(51243)；(2)设数列an满足an+1=an&sdot;T51243-T3412,a1=2，求an的通项公式；11(3)设排列j1j2⋯jnn&isin;N,n&ge;2满足ji=n+1-ii=1,2,⋯,n,bn=Tj1j2⋯jn,Sn=++⋯b2b31+，求Sn，bn+12(2024高三下&middot;全国&middot;专题练习)若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为&ldquo;等比源数列&rdquo;．(1)已知数列{an}为4，3，1，2，数列{bn}为1，2，6，24，分别判断{an},{bn}是否为&ldquo;等比源数列&rdquo;，并说明理由；n-1(2)已知数列{cn}的通项公式为cn=2+1，判断{cn}是否为&ldquo;等比源数列&rdquo;，并说明理由；1,3(23-24高二下&middot;吉林四平&middot;阶段练习)在数列an中，若存在常数t，使得an+1=a1a2a3&sdot;&sdot;&sdot;an+t(n&isin;*N)恒成立，则称数列an为&ldquo;Ht数列&rdquo;．(1)判断数列1，2，3，7，43是否为&ldquo;H1数列&rdquo;；1(2)若cn=1+，试判断数列cn是否为&ldquo;Ht数列&rdquo;，请说明理由；nn2(3)若数列an为&ldquo;Ht数列&rdquo;，且a1=2，数列bn为等比数列，满足&sum;ai=an+1+log2bn-t求数列bn的通i=1项公式和t的值．4(23-24高二下&middot;四川南充&middot;阶段练习)给定数列an，称an+1-an为an的差数列(或一阶差数n列)，称数列an+1-an的差数列为an的二阶差数列，若an=3.(1)设an的二阶差数列为bn，求bn的通项公式.bn4(2)在(1)的条件下，设cn=log3+bn，求cn的前n项和为Tn2,*5(2024&middot;安徽池州&middot;模拟预测)定义：若对&forall;k&isin;N,k&ge;2,ak-1+ak+1&le;2ak恒成立，则称数列an为&ldquo;上凸数列&rdquo;．2(1)若an=n-1，判断an是否为&ldquo;上凸数列&rdquo;，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．*(2)若an为&ldquo;上凸数列&rdquo;，则当m&ge;n+2m,n&isin;N时，am+an&le;am-1+an+1．n(ⅰ)若数列Sn为an的前n项和，证明：Sn&ge;a1+an；2nn2*2(ⅱ)对于任意正整数序列x1,x2,x3,⋯,xi,⋯,xn(n为常数且n&ge;2,n&isin;N)，若xi-1&ge;xi-&lambda;-1i=1i=1恒成立，求&lambda;的最小值．cn+k6(2024&middot;江西南昌&middot;一模)对于各项均不为零的数列cn，我们定义：数列为数列cn的&ldquo;kcn-比分数列&rdquo;.已知数列an,bn满足a1=b1=1，且an的&ldquo;1-比分数列&rdquo;与bn的&ldquo;2-比分数列&rdquo;是同一个数列.(1)若bn是公比为2的等比数列，求数列an的前n项和Sn；(2)若bn是公差为2的等差数列，求an.3,7(2024&middot;黑龙江&middot;二模)如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为&ldquo;G型数列&rdquo;．(1)若数列an满足2an=Sn+1，判断an是否为&ldquo;G型数列&rdquo;，并说明理由；*(2)已知正项数列an为&ldquo;G型数列&rdquo;，a1=1，数列bn满足bn=an+2，n&isin;N，bn是等比数列，公比为正整数，且不是&ldquo;G型数列&rdquo;，求数列an的通项公式．&lowast;8(2015高二&middot;全国&middot;竞赛)设数列an满足：①a1=1；②所有项an&isin;N；③1=a1<a2<⋅⋅⋅<an<an+1∗<⋅⋅⋅.设集合am=n|an≤m,m∈n，将集合am中的元素的最大值记为bm.换句话说，bm是数列an中满足不等式an≤m的所有项的项数的最大值.我们称数列bn为数列an的伴随数列.例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.(1)请写出数列1，4，7的伴随数列；n-1(2)设an=3，求数列an的伴随数列bn的前20之和；2(3)若数列an的前n项和sn=n+c(其中c常数)，求数列an的伴随数列bm的前m项和tm.4,9(23-24高二下·上海闵行·阶段练习)若有穷数列a1，a2,⋯,an,(n是正整数)，满足a1=an，a2=an-1,⋯,an=a1即ai=an-i+1(i是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．例如，数列1，3，5，5，3，1就是“对称数列”.(1)已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出{bn}的每一项；2m-1(2)对于确定的正整数m>1，写出所有项数不超过2m的&ldquo;对称数列&rdquo;，使得1,2,2,⋯,2依次是该数列中连续的项；当m=10时，求其中一个&ldquo;对称数列&rdquo;前19项的和S1910(23-24高二下&middot;江西&middot;阶段练习)将数列an按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为an的一个分群数列，an称为这个分群数列的原数列．如a1,a2,⋯,ar，ar+1,ar+2,⋯,at，at+1,at+2,⋯,as⋯，am+1,am+2,⋯,an是an的一个分群数列，其中第k个括号称为第k群．已知an的通项公式为an=2n-1．(1)若an的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第k群的中间一项为bk，求数列bn的通项公式；(2)若an的一个分群数列满足第k群含有k项，Ak为该分群数列的第k群所有项构成的数集，设M=mam&isin;Ak,am+7&isin;Ak+2，求集合M中所有元素的和．5</a2<⋅⋅⋅<an<an+1∗<⋅⋅⋅.设集合am=n|an≤m,m∈n，将集合am中的元素的最大值记为bm.换句话说，bm是数列an中满足不等式an≤m的所有项的项数的最大值.我们称数列bn为数列an的伴随数列.例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3.(1)请写出数列1，4，7的伴随数列；n-1(2)设an=3，求数列an的伴随数列bn的前20之和；2(3)若数列an的前n项和sn=n+c(其中c常数)，求数列an的伴随数列bm的前m项和tm.4,9(23-24高二下·上海闵行·阶段练习)若有穷数列a1，a2,⋯,an,(n是正整数)，满足a1=an，a2=an-1,⋯,an=a1即ai=an-i+1(i是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．例如，数列1，3，5，5，3，1就是“对称数列”.(1)已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出{bn}的每一项；2m-1(2)对于确定的正整数m>