指、对、幂的大小比较 学生版--2025年高考数学一轮复习重难点

指、对、幂的大小比较【考试提醒】指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．【核心题型】题型一　直接法比较大小利用特殊值作“中间量”1在指数、对数中通常可优先选择“-1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的2步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1=log22<log23<log24=2，进而可估计log23是一个1~2之间的小数，从而便于比较．命题点1　利用函数的性质0.61(2024·全国·模拟预测)已知a=3，b=log25，c=log323，则实数a，b，c的大小关系是()A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.a>c>b【变式训练】π31(2024·四川德阳·二模)已知a=4ln3,b=3π,c=4lnπ，则a,b,c的大小关系是()A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<cn2(2023·甘肃平凉·模拟预测)已知幂函数fx=mx的图象过点2,22，设a=fm,b=fn,c=fln2，则a、b、c的大小用小于号连接为．133(2023·黑龙江哈尔滨·三模)若a=log23+log32,b=log2e+ln2,c=，则实数a,b,c由小到大6排列为<<.命题点2　找中间值-0.31(2024·陕西西安·模拟预测)已知a=ln5，b=log35，c=5，则()A.b<c<aB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c【变式训练】-0.31(2024·黑龙江双鸭山·模拟预测)已知a=log53,b=log43,c=0.4，则()A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<a<b1-33312(2024·四川成都·三模)2,2,sin,log2四个数中最大的数是()231-3331A.2B.2C.sinD.log2230.3π3(2024·北京石景山·一模)设a=2，b=sin，c=ln2，则()12A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c1 命题点3　特殊值法1(2024·全国·模拟预测)若logab>1，则下列不等式一定成立的是()1111A.a>bB.ab<a+b-1C.a+>b+D.a-<b-baba【变式训练】1(多选)(2024·福建龙岩·一模)下列命题正确的是()2222A.若a<b<0，则a>ab>bB.若a<b<0，则ac<bcccbC.若0<a<b<c，则>D.若0<a<b，则2a+>2abab22(多选)(2023·全国·模拟预测)下列说法正确的有()122A.若0<a<1，则lna+≤-2B.若lga<lgb，则a<blna2ab*C.若a<b<c,a+b+c=0，则c-ab>0D.若2<2a,b∈N，则a-b≤-13(2024·上海静安·二模)在下列关于实数a、b的四个不等式中，恒成立的是．(请填入全部正确的序号)a+b222①a+b≥2ab；②≥ab；③|a|-|b|≤|a-b|；④a+b≥2b-1．2题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．0.31-0.31(2024·天津·一模)已知a=3，b=log43，c=2，则a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b【变式训练】-0.2π1(2024·陕西西安·模拟预测)已知a=π,b=log3π,c=sin，则()5A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a3.23.22(2024·广东肇庆·模拟预测)已知a=1.01,b=0.52,c=log0.523.2，则()A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c21-1333(2024·四川攀枝花·二模)若a=3,b=log3e,c=e，则()A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a题型三　构造函数比较大小某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．110.11(2024高三·全国·专题练习)若a=1.1,b=lne，c=e，则a,b,c的大小关系为()10A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b【变式训练】2 0.011(2024·辽宁·二模)若a=1.01+sin0.01,b=1+ln1.01,c=e，则()A.b>c>aB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b1ln2ln31eln22ln332(2023·辽宁·模拟预测)已知a=e,b=2,c=3，试比较a,b,c的大小关系()A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<b<a52-ln51ln43(2023·湖南·模拟预测)设a=，b=，c=，则a，b，c的大小顺序为()e2e4A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c【课后强化】基础保分练一、单选题2.011(2024·天津·二模)若a=log11.9，b=log215.8，c=2，则a，b，c的大小关系为()3A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c1e122(2024·北京顺义·二模)已知a=log42，b=2，c=π，则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>bππ2π23(2024·全国·模拟预测)若a=2，b=2，c=logπcos5，则()2A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.b>c>a3224(2024·全国·模拟预测)若a=log83,b=0.1,c=lncos2023，则下列大小关系正确的是()A.b<a<cB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a二、多选题5(2024·贵州遵义·一模)已知正实数a，b满足sina+lna=b+lnb，则()-1-11122abA.2a>bB.a>bC.log1a<log1bD.e>eee6(2024·全国·模拟预测)已知a>0，b>0，且a+b=2，则()221a-b2A.a+b≥2B.<2<4C.log2a+log2b≥0D.a-b>04三、填空题322-317(2023·吉林长春·模拟预测)已知a=log32，b=2，c=lne，则a，b，c的大小关系3为．8(2023·全国·模拟预测)已知a=ln3，b=log113，现有如下说法：①a<2b；②a+b>3ab；③b-a<-ab.则正确的说法有.(横线上填写正确命题的序号)四、解答题3 abab9(22-23高三·全国·对口高考)(1)比较ab与ba(a>0,b>0)的大小；(2)已知a>2，比较log(a-1)a与loga(a+1)大小5-110(2020高三·上海·专题练习)设a>，且a≠1，记x=loga2,y=loga+12,z=loga+22，试比2较x,y,z的大小.综合提升练一、单选题31(2024·天津河东·一模)设a=2,b=log23,c=log33，则a,b,c的大小关系为()A.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.a<b<c0.492(2024·河南·模拟预测)设a=log32,b=log333,c=log222,d=2，则()A.a<b=c<dB.d<c=b<aC.a<d<b=cD.c<a<d<b312202333(2024·陕西安康·模拟预测)若a=12,b=ln2024,c=log278，则()A.b<c<aB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a31-24(2024·四川·模拟预测)已知a=ln,b=,c=e，则a,b,c的大小关系为()23A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a3-33385(2023·天津河北·一模)若a=7,b=log17,c=log18，则a,b,c的大小关系为()78A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a6(2024·全国·模拟预测)已知a>b>1，则下列各式一定成立的是()ab+1a+bbaA.logab>1B.lna-b>0C.2<2D.b⋅a<a⋅b7(2024·宁夏银川·二模)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)为偶函数，且当x1<x2<2时，[f(x24 54)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立，若a=f(1)，b=f(ln10)，c=f3，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<bπ109π68(2024·全国·模拟预测)已知a=e，b=1+sin，c=1.1，则a，b，c的大小关系为()10A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a二、多选题9(2023·广东广州·模拟预测)下列是a>b>c(a，b，c≠0)的必要条件的是()22a-ca-ba+bb+cA.ac>bcB.ac>bcC.2>2D.7>7xe10(2024·全国·模拟预测)已知实数a,b,c，其中a,cc>a>0是函数fx=-mm>e的两xa2c个零点．实数b满足b=log73+2b>1，则下列不等式一定成立的有()cA.a+c<b+1B.c-a>b-1C.>bD.ac<baab11(2024·重庆·一模)已知3=5=15，则下列结论正确的是()1a1bA.lga>lgbB.a+b=abC.2>2D.a+b>4三、填空题12(23-24高三上·北京昌平·阶段练习)①在△ABC中，b=2，c=3，B=30°，则a=；0.10.4②已知a=9，b=3，c=log40.3，则a、b、c的大小关系是171313(22-23高三上·陕西咸阳·阶段练习)已知a=log32,b=4,c=log15，则a，b，c的大小关3系为.*14(2023高三上·全国·专题练习)若n∈N，n>1，则lognn+1与logn+1n+2的大小关系为.(用“<”连接)四、解答题15(22-23高三上·甘肃兰州·阶段练习)比较下列两组数的大小(写出详细理由)．0.30.30.4(1)a=0.4，b=0.3，c=0.3(2)a=log26，b=log312，c=log515-1-1-230.516(2020高三·全国·专题练习)比较大小：①5.25，5.26，5.26；②0.5，3，log30.5；③log0.760.76，0.7，6．5 17(2022高三·全国·专题练习)已知a,b均为正实数，且a≠1．ab11(1)比较+与+的大小；b2a2ab32(2)比较logab+1和logab+1的大小．x18(22-23高三下·全国·开学考试)已知函数fx=e-ax-1a∈R的最小值为0．(1)求实数a的值；0.11(2)设m1=1.1+ln0.1，m2=0.1e，m3=，判断m1，m2，m3的大小．9219(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x)=axln(x-1)-x+x．(1)当a=2时，讨论g(x)=f(x)-x的单调性．4(2)若f(x)有两个零点x1,x2，且x1<x2，证明：lnx1-1x2-1>．a拓展冲刺练一、单选题1(2024·北京东城·一模)已知a,b∈R,ab≠0，且a<b，则()11233A.>B.ab<bC.a<bD.lga<lgbab11-0.62132(2024·天津·一模)已知函数fx=x-x，若a=f2,b=flog19，c=f4，则a,b,e2c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a6 3(2024·安徽阜阳·一模)设a=log23,b=log812,c=lg15，则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a1c4(2023·山西·模拟预测)已知实数a,b,c满足lna=，b=3log72，6=7，则()5A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c1165(2024·河南郑州·模拟预测)已知a=+，b=ln，c=log67-1ln5，则()10115A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b二、多选题6(2023·山东青岛·三模)已知实数a，b，满足a>b>0，lnalnb=1，则()21ab+11a+babbaA.ab>eB.loga2<logb2C.2<2D.ab>abab7(2023·云南大理·模拟预测)若12=3，12=4，则()b1221a-b1A.>1B.ab>C.a+b>D.2>a422三、填空题28(22-23高三·全国·对口高考)将0.3,log20.5,log0.51.5由小到大排列的顺序是：．0.20.39(23-24高三上·新疆喀什·期中)已知a=log20.2,b=0.2,c=0.2，则a,b,c的大小关系是(用“<”表示)πeeπ10(2023高三上·全国·竞赛)已知a=e，b=π，c=(2)，则这三个数的大小关系为．(用“<”连接)四、解答题2x+3x+211(2024·辽宁抚顺·三模)设函数fx=,gx=x-lnx+1．x+1e(1)讨论fx的单调性．(2)证明：gx≥0．(3)当x>e-1时，证明：fx<lnx+2．7