2024届高考数学一轮复习（新教材人教A版强基版）第二章函数2.9指、对、幂的大小比较课件

§2.9指、对、幂的大小比较[培优课]第二章　函　数 指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置． 命题点1利用函数的性质例1设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a题型一直接法比较大小√ 所以<，即a<b，又因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以<，所以b<c，故c>b>a. 命题点2找中间值例2(2023·上饶模拟)已知a＝log53，b＝，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a√ 命题点3特殊值法例3已知a>b>1,0<c<，则下列结论正确的是A.ac<bcB.abc<bacC.alogbc<blogacD.logac<logbc√ 则ac＝，bc＝，∴ac>bc，故A错误；abc＝4×＝，bac＝2×＝，∴abc>bac，故B错误；∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误. 利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较.思维升华 跟踪训练1(1)已知a＝0.60.6，b＝lg0.6，c＝1.60.6，则A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b√因为y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增，所以1.60.6>0.60.6>0，又b＝lg0.6<lg1＝0，所以c>a>b. A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b√ 因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，0<0.3<1，所以a＝log20.3<log21＝0，所以a<c<b. 例4(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b题型二利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小√ a＝＝＝，b＝＝，所以a<b，所以a<b<c. (2)(2023·枣阳模拟)已知a＝log34，b＝log45，c＝log56，则a，b，c的大小关系是A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b√ ∴(lg4)2－lg3lg5>0，lg3lg4>0，∴a－b>0，即a>b，同理可证b>c，故a>b>c. 求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.思维升华 跟踪训练2(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)，则a，b，c的大小关系是A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a√c＝930＝360，a＝2100⇒lga＝lg2100＝100lg2≈30.1，b＝365⇒lgb＝lg365＝65lg3≈31.0115，c＝930⇒lgc＝lg360＝60lg3≈28.626，所以lgb>lga>lgc，即b>a>c. (2)(2022·汝州模拟)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，则A.b<a<cB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c√ 因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以log26<log28<log210，所以a<b<c. 例5(1)已知a＝e，b＝3log3e，c＝，则a，b，c的大小关系为A.c<a<bB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c题型三构造函数比较大小√ ∴函数f(x)在[e，＋∞)上单调递增，∵e<3<5，∴f(e)<f(3)<f(5)，∴a<b<c. (2)(2023·南宁模拟)已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为A.b>c>aB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c√ 令f(x)＝(14－x)lnx，所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)<0. 所以f(x)＝(14－x)lnx在(6，＋∞)上单调递减.所以f(6)>f(7)>f(8)，即8ln6>7ln7>6ln8，故68>77>86.故a>b>c. 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小. √ 由x，y，z为正实数，设log2x＝log3y＝log5z＝k>1，可得x＝2k>2，y＝3k>3，z＝5k>5.令f(x)＝xk－1，∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(2)<f(3)<f(5)， √ ∴当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0， ∴c<b，又c＝2ln1.1>2ln1＝0，∴a<c<b. 课时精练 A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b√故c<a<b.12345678910 123456789102.(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c√ 3.设a＝log0.30.2，b＝log32，c＝log3020，则A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.a<c<b√12345678910a＝log0.30.2>log0.30.3＝1，b＝log32<log33＝1，c＝log3020<log3030＝1，所以a>b，a>c，所以c>b，所以b<c<a. 123456789104.(2023·潍坊模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则A.x>y>zB.y>x>zC.z>x>yD.x>z>y√因为3x＝4y＝10，所以x＝log310>log39＝2；1＝log44<y＝log410<log416＝2，则1<y<2，所以x>y>1，而z＝logxy<logxx＝1，所以x>y>z. 123456789105.若e>b>a>，m＝ab，n＝ba，p＝logab，则m，n，p这三个数的大小关系为A.m>n>pB.n>p>mC.n>m>pD.m>p>n√ 所以n>m>p.12345678910 123456789106.(2023·茂名模拟)已知a＝sin2，b＝ln2，c＝，则a，b，c的大小关系是A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a√ 12345678910 12345678910∴a>c，∴b<c<a. 12345678910A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a√ 令f(x)＝sinx－x，则f′(x)＝cosx－1≤0，所以f(x)为减函数，所以当x>0时，f(x)<f(0)＝0，即sinx<x，所以b<c<a.12345678910 8.已知a＝22.1，b＝2.12，c＝ln2.14，则a，b，c的大小关系为A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a12345678910√ 构造函数f(x)＝x2，g(x)＝2x，如图所示，当x∈(2,4)时，x2>2x，所以f(2.1)>g(2.1)，所以2.12>22.1>22＝4，即b>a，又因为ln2.14＝4ln2.1，且函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以ln2.1<lne＝1，即ln2.14＝4ln2.1<4lne＝4，故b>a>c.12345678910 123456789109.已知a＝5ln4π，b＝4ln5π，c＝5lnπ4，则a，b，c的大小关系是A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<b<c√ 可得函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减，∴5ln4π>4ln5π，∴a>b，12345678910 12345678910∴4lnπ>πln4，∴π4>4π，∴5lnπ4>5ln4π，∴c>a，∴b<a<c. 1234567891010.(2022·赣州模拟)已知ea＝9.111.1，eb＝10.110.1，ec＝11.19.1，则A.a>c>bB.c>a>bC.b>a>cD.a>b>c√ 由题意a＝11.1ln9.1，b＝10.1ln10.1，c＝9.1ln11.1，令f(x)＝(10.1＋x)ln(10.1－x)，所以f′(x)在[－1,1]上单调递减，所以f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，所以f(x)在[－1,1]上单调递增，所以f(1)>f(0)>f(－1)，即a>b>c.12345678910