第二章　§2.9　指、对、幂的大小比较[培优课]

§2.9指、对、幂的大小比较[培优课]第二章函　数成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置． 命题点1利用函数的性质例1设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a题型一直接法比较大小√ 所以<，即a<b，又因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以<，所以b<c，故c>b>a. 命题点2找中间值例2(2023·上饶模拟)已知a＝log53，b＝，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a√ 命题点3特殊值法例3已知a>b>1,0<c<，则下列结论正确的是A.ac<bcB.abc<bacC.alogbc<blogacD.logac<logbc√ 则ac＝，bc＝，∴ac>bc，故A错误；abc＝4×＝，bac＝2×＝，∴abc>bac，故B错误；∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误. 利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较.思维升华 跟踪训练1(1)已知a＝0.60.6，b＝lg0.6，c＝1.60.6，则A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b√因为y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增，所以1.60.6>0.60.6>0，又b＝lg0.6<lg1＝0，所以c>a>b. A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.a>c>b√ 且函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以log3>log34，即a>b.又因为b＝log34>log33＝1，c＝3－0.1<30＝1，即b>c，所以a>b>c. 例4(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.c<a<b题型二利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小√ a＝＝＝，b＝＝，所以a<b，所以a<b<c. (2)(2020·全国Ⅲ)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b√ ∴log53<log85.∵55<84，134<85，∴5log85<4，4<5log138，∴log85<log138，∴log53<log85<log138，即a<b<c. 求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.思维升华 跟踪训练2(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)，则a，b，c的大小关系是A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a√c＝930＝360，a＝2100⇒lga＝lg2100＝100lg2≈30.1，b＝365⇒lgb＝lg365＝65lg3≈31.0115，c＝930⇒lgc＝lg360＝60lg3≈28.626，所以lgb>lga>lgc，即b>a>c. (2)(2022·汝州模拟)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，则A.b<a<cB.c<b<aC.a<c<bD.a<b<c√ 因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以log26<log28<log210，所以a<b<c. 题型三构造函数比较大小A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a√ ∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0， ∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴a<c，b<c，∴b<a<c. (2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln0.9，则A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b√ 设u(x)＝xex(0<x≤0.1)，w(x)＝－ln(1－x)(0<x≤0.1).则当0<x≤0.1时，u(x)>0，v(x)>0，w(x)>0.①设f(x)＝ln[u(x)]－ln[v(x)]＝lnx＋x－[lnx－ln(1－x)]＝x＋ln(1－x)(0<x≤0.1)， 所以f(x)在(0,0.1]上单调递减，所以f(0.1)<f(0)＝0＋ln(1－0)＝0，即ln[u(0.1)]－ln[v(0.1)]<0，所以ln[u(0.1)]<ln[v(0.1)].又函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，所以a<b. ②设g(x)＝u(x)－w(x)＝xex＋ln(1－x)(0<x≤0.1)，设h(x)＝(1－x2)ex－1(0<x≤0.1)，则h′(x)＝(1－2x－x2)ex>0在(0,0.1]上恒成立，所以h(x)在(0,0.1]上单调递增，所以h(x)>h(0)＝(1－02)×e0－1＝0，即g′(x)>0在(0,0.1]上恒成立，所以g(x)在(0,0.1]上单调递增， 所以g(0.1)>g(0)＝0×e0＋ln(1－0)＝0，即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)>0，所以0.1e0.1>－ln0.9，即a>c.综上，c<a<b，故选C. 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小. 跟踪训练3(1)(2022·济南模拟)已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为A.b>c>aB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c√ 令f(x)＝(14－x)lnx，所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)<0. 所以f(x)＝(14－x)lnx在(6，＋∞)上单调递减.所以f(6)>f(7)>f(8)，即8ln6>7ln7>6ln8，故68>77>86.故a>b>c. √ ∴当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0， ∴c<b，又c＝2ln1.1>2ln1＝0，∴a<c<b. 课时精练 A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b√故c<a<b.12345678910 123456789102.(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c√ 3.设a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，则a，b，c的大小关系为A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c√12345678910所以a>c，所以b<c<a. 123456789104.(2023·潍坊模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则A.x>y>zB.y>x>zC.z>x>yD.x>z>y√因为3x＝4y＝10，所以x＝log310>log39＝2；1＝log44<y＝log410<log416＝2，则1<y<2，所以x>y>1，而z＝logxy<logxx＝1，所以x>y>z. 12345678910√ 由x，y，z为正实数，设log2x＝log3y＝log5z＝k>1，可得x＝2k>2，y＝3k>3，z＝5k>5.令f(x)＝xk－1，∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(2)<f(3)<f(5)，12345678910 123456789106.(2023·茂名模拟)已知a＝sin2，b＝ln2，c＝，则a，b，c的大小关系是A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a√ 12345678910 12345678910∴a>c，∴b<c<a. 12345678910A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a√ 令f(x)＝sinx－x，则f′(x)＝cosx－1≤0，所以f(x)为减函数，所以当x>0时，f(x)<f(0)＝0，即sinx<x，所以b<c<a.12345678910 8.已知a＝5ln4π，b＝4ln5π，c＝5lnπ4，则a，b，c的大小关系是A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<b<c12345678910√ 可得函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减，∴5ln4π>4ln5π，∴a>b，∴4lnπ>πln4，12345678910 12345678910∴π4>4π，∴5lnπ4>5ln4π，∴c>a，∴b<a<c. 123456789109.(2022·赣州模拟)已知ea＝9.111.1，eb＝10.110.1，ec＝11.19.1，则A.a>c>bB.c>a>bC.b>a>cD.a>b>c√ 由题意a＝11.1ln9.1，b＝10.1ln10.1，c＝9.1ln11.1，令f(x)＝(10.1＋x)ln(10.1－x)，所以f′(x)在[－1,1]上单调递减，所以f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，所以f(x)在[－1,1]上单调递增，所以f(1)>f(0)>f(－1)，即a>b>c.12345678910 12345678910A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b√ 令f(x)＝x－sinx，则f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0，即有x>sinx(x>0)成立，12345678910 所以令g(x)＝tanx－x，所以函数g(x)在定义域内单调递增，12345678910 12345678910所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0，即有tanx>x(x>0)成立，综上，c>b>a. 更多精彩内容请登录www.xinjiaoyu.com第二章函　数