专题2-2 幂指对三角函数比大小归类（原卷版）

专题2-2幂指对三角函数比大小归类目录题型01比大小基础：幂指数函数性质1题型02比大小基础：对数函数性质2题型03比大小基础：三角函数性质3题型04临界值型：0与1分界5题型05临界值型：中间值5题型06作差比较法6题型07作商比较法7题型08三角函数与幂指对7题型09构造函数求导：对数幂型8题型10构造函数求导：指幂型9题型11构造函数求导：对数线性型9题型12构造函数求导：指数线性型10题型13构造函数求导：三角函数线性型11题型14泰勒展开型比大小11高考练场12题型01比大小基础：幂指数函数性质【解题攻略】幂函数图像图象 性质定义域值域过定点单调性在上是增函数在上是减函数奇偶性非奇非偶函数【典例1-1】（2023上·内蒙古赤峰·高三校考期中）设，则（    ）A．B．C．D．【典例1-2】．（2023上·河北邢台·高三邢台市第二中学校联考阶段练习）设，则（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2023上·河南南阳·高一统考期中）已知，，，则（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（2023上·福建泉州·高三泉州七中校考）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（2023上·新疆伊犁·高三校联考）已知，则（    ）A．B．C．D．题型02比大小基础：对数函数性质【解题攻略】对数函数性质a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数【典例1-1】（2023上·四川成都·高三校考）已知a，b是实数,则“”是“”的（    ）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【典例1-2】（2023上·江苏南京·高三统考）已知，，，则（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）已知则（  ）.A．B．C．D．【变式1-2】（2023上·河南周口·高三校考阶段练习）已知，则（   ）A．B．C．D．【变式1-3】（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知则，，的大小关系为（    ）A．B．C．D．题型03比大小基础：三角函数性质【解题攻略】三角函数图像性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠＋kπ， k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R单调性[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增；[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上递增最值x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)(k∈Z)(＋kπ，0)(k∈Z)(，0)(k∈Z)对称轴方程x＝＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ 【典例1-1】（2021届黑龙江省哈尔滨六中高三下学期第四次模拟理科数学试卷）若，且，，，则大小关系为A．B．C．D．【典例1-2】（山东省德州市齐河县第一中学2020-2021学年高三上学数学试题）设，，，则的大小关系正确的是（）A．B．C．D．【变式1-1】（河南省郑州市第四高级中学2020-2021学年高三下学期5月月考数学试题）已知，，，则、、的大小关系为（）A．B．C．D．【变式1-2】已知，，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【变式1-3】已知，，，则，，的大小关系为A．B．C．D．题型04临界值型：0与1分界【解题攻略】解答比较函数值大小问题，常见的基础思路之一是判断各个数值所在的区间，这样的区间划分，最基础的是以正负划分，正数则以1为区间端点划分。【典例1-1】．（2024上·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知，，，则（    ）．A．B．C．D．【典例1-2】（2023上·吉林长春·高三长春外国语学校校考）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b，c，d满足，，，则（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（广东省陆丰市林启恩纪念中学2021-2022学年高三上学期第2次（12月）数学试题）已知，，，则，，三者的大小关系是（） A．B．C．D．【变式1-3】（重庆市育才中学2021-2022学年高三上学期数学试题）已知，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．题型05临界值型：中间值【解题攻略】寻找非0、1的中间变量是难点。中间变量的选择首先要估算要比较大小的两个值所在的大致区间。然后可以对区间使用二分法（或者利用区间内特殊值，或者利用指对互化）寻找合适的中间值。1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值【典例1-1】（2023上·浙江·高三校联考）已知，，，则（    ）A．B．C．D．【典例1-2】（2023上·四川成都·高三校考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（2023上·江苏·高三专题练习）已知，，，则x，y，z的大小关系为（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（2023上·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足，，，则（    ）A．B．C．D．题型06作差比较法【解题攻略】差比法：作差，变形，判断正负。其中难点在于恒等变形的方向和变形的技巧，变形的目的是为了判断正负，所以可以因式分解，或者计算化简，或者放缩为具体值，准确计算找对变形方向是关键。【典例1-1】（2023上·江西·高三统考）已知，则（   ） A．B．C．D．【典例1-2】（2023上·全国·高三专题练习）若，，，则（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2023上·四川成都·高三校考）已知，，则（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若，，，则（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（2023下·河南安阳·高二统考期末）已知，，，则（    ）A．B．C．D．题型07作商比较法【解题攻略】商比法：两个正数a，b，如果，运用商比法，要注意两个数是正数还是负数。【典例1-1】（2023·四川成都·校联考模拟预测）若，，，则，，的大小关系为（    ）A．B．C．D．【典例1-2】（2023上·天津南开·高三南开中学校考）的大小关系为（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2023·云南·校联考模拟预测）已知，则（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（2023下·四川泸州·高三泸县五中校考阶段练习）设，，，则（）A．B． C．D．题型08三角函数与幂指对【解题攻略】三角函数与三角函数值比较大小：1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当(0，)时，3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小【典例1-1】（广东省深圳外国语学校高中园2022-2023学年高三上学期学段（三）数学试题）已知，则的大小关系是（    ）A．B．C．D．【典例1-2】（广西南宁市银海三雅学校2022-2023学年高三上学期第一次考试数学学科试题）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（四川省成都市实验外国语学校2022-2023学年高三上学期考试数学试题）已知，，则a，b，c的大小关系是（    ）A．B．C．D．【变式1-2】已知实数，，，则这三个数的大小关系正确的是（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（河南省济源市、平顶山市、许昌市2022届高三文科数学试题变式题11-15）已知，，，则，，的大小关系为（    ）A．B．C．D．题型09构造函数求导：对数幂型【解题攻略】构造对数型函数：由对数性质logaMn＝nlogaM(n∈R，常见得式子可以同构为型 【典例1-1】（福建省厦门海沧实验中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题）已知，，，则，，的大小关系是A．B．C．D．【典例1-2】（广东省揭阳市2021-2022学年高三上学期数学试题）已知，则a，b，c的大小关系是（       ）A．B．C．D．【变式1-1】设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（北京市铁路第二中学2021-2022学年高三考试数学试题）设，，（），则a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（河南省商丘市商丘名校2021-2022学年高三联考数学理科试题）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D．题型10构造函数求导：指幂型【解题攻略】指数幂形式，比较常见的是以e为底的指数函数与幂函数的积或商的形式：【典例1-1】（2023上·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知，，，则有（    ）A．B．C．D．【典例1-2】（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知，则（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2023上·云南昆明·高三校考阶段练习）设，，，设a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D． 【变式1-2】（2023下·江西上饶·高二统考期末）已知实数：，，，且，，，则（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（2023下·河南商丘·高二统考阶段练习）已知，则（    ）A．B．C．D．题型11构造函数求导：对数线性型【解题攻略】对数线性形式，比较常见的是以对数为整体的线性形式：等【典例1-1】．（2022上·辽宁·高三东北育才学校校考阶段练习）设，，，则（    ）A．B．C．D．【典例1-2】．（2022上·福建·高三校联考阶段练习）已知，，，则（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2022下·四川成都·高二校联考期中）已知，且，，，则（    ）A．c＜b＜aB．b＜c＜aC．a＜c＜bD．a＜b＜c【变式1-2】（2022上·江苏徐州·高三期末）设，，，则（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（2022上·湖北·高三湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）已知，，，，则（    ）A．B．C．D．题型12构造函数求导：指数线性型【解题攻略】指数线性形式，比较常见的是以指数为整体的线性形式：等【典例1-1】设，，，则的大小关系为（    ）A．B．C．D． 【典例1-2】已知，则a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D．【变式1-1】已知，，，则，，的大小关系为（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（2022上·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）已知，则的大小关系为（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（2022上·山东淄博·高三校联考阶段练习）已知，，，则下列关系式正确的是（    ）A．B．C．D．题型13构造函数求导：三角函数线性型【典例1-1】（2022上·江苏南通·高三统考阶段练习）已知，，，则（      ）A．B．C．D．【典例1-2】（2023·四川成都·统考一模）设，则的大小关系为（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2022上·广东广州·高三广州市第十七中学校考阶段练习）设，则（    ）A．B．C．D．【变式1-2】（2022上·海南·高三校联考阶段练习）设，则（    ）A．B．C．D．【变式1-3】（2022上·浙江·高三统考期中）设，，，则（    ）A．B．C．D． 题型14泰勒展开型比大小【解题攻略】泰勒展开式x0=0时得麦克劳林展开式，常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：，，，，，.【典例1-1】已知，，，则　　A．B．C．D．【典例1-2】（江苏省无锡市江阴市普通高中2022-2023学年高三上学期期末数学试题）设，，，这三个数的大小关系为（    ）A．B．C．D．【变式1-1】（2022年新高考1卷第7题）设，，，则　　A．B．C．D．【变式1-2】（2021年全国乙卷理科12题）设，，．则（）A.B.C.D.高考练场1.（2023上·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知，则的大小关系是（    ）A．B．C．D．2.（2023上·广东湛江·高三校联考阶段练习）若，则（    ）A．B．C．D．3.（安徽省安庆市一中2017-2018学年高三下学期数学试题）在中，是钝角，设，，，则、、的大小关系是______. 4.（福建省三明第一中学2021-2022学年高三上学期学数学试题）设，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．5.．（2023下·河北保定·高三定州一中校考阶段练习）已知，，，则（    ）A．B．C．D．6.（2023上·陕西渭南·高三统考）已知，，，则下列判断正确的是（    ）A．B．C．D．7.已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为（    ）A．B．C．D．8.（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（    ）A．B．C．D．9．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A．B．C．D．10.（2022上·河南安阳·高三统考阶段练习）设，则（    ）A．B．C．D．11.．（2022上·山东聊城·高三统考）已知，，，下列说法正确的是（    ）．A．B．C．D．12.（2022上·全国·高三校联考阶段练习）若，，，则（    ）A．B．C．D．13.（2023上·四川遂宁·高三统考期中）已知，，，则（    ）A．B．C．D．