初中数学知识总结专题22 正方形(教师版)
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专题22正方形专题知识回顾1.正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2.正方形的性质:(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质;(2)正方形的四个角都是直角,四条边都相等;(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角;(4)正方形是轴对称图形,有4条对称轴;(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形;(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3.正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种:先证它是矩形,再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形,再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。4.正方形的面积:设正方形边长为a,对角线长为b,S正方形=专题典型题考法及解析【例题1】(2019湖南郴州)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A=90°,BD=4,CF=6,则正方形ADOF的边长是( )A.2B.2C.3D.425,【答案】B【解析】设正方形ADOF的边长为x,由题意得:BE=BD=4,CE=CF=6,∴BC=BE+CE=BD+CF=10,在Rt△ABC中,AC2+AB2=BC2,即(6+x)2+(x+4)2=102,整理得,x2+10x﹣24=0,解得:x=2,或x=﹣12(舍去),∴x=2,即正方形ADOF的边长是2【例题2】(2019•四川省凉山州)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.【答案】见解析。【解析】根据正方形的性质对角线垂直且平分,得到OB=OA,根据AM⊥BE,即可得出∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,从而证出Rt△BOE≌Rt△AOF,得到OE=OF.证明:∵四边形ABCD是正方形.∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.又∵AM⊥BE,∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,∴∠MEA=∠AFO.∴△BOE≌△AOF(AAS).∴OE=OF.25,专题典型训练题一、选择题1.(2019内蒙古包头)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E,F分别在边BC和CD上,AE=AF,∠EAF=60°,则CF的长是( )A.B.C.﹣1D.【答案】C【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠D=∠BAD=90°,AB=BC=CD=AD=1,在Rt△ABE和Rt△ADF中,,∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),∴∠BAE=∠DAF,∵∠EAF=60°,∴∠BAE+∠DAF=30°,∴∠DAF=15°,在AD上取一点G,使∠GFA=∠DAF=15°,如图所示:∴AG=FG,∠DGF=30°,∴DF=FG=AG,DG=DF,设DF=x,则DG=x,AG=FG=2x,∵AG+DG=AD,∴2x+x=1,解得:x=2﹣,25,∴DF=2﹣,∴CF=CD﹣DF=1﹣(2﹣)=﹣1;故选:C.2.(2019湖南张家界)如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019,那么点A2019的坐标是( )A.(,﹣)B.(1,0)C.(﹣,﹣)D.(0,﹣1)【答案】A.【解析】解:∵四边形OABC是正方形,且OA=1,∴A(0,1),∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,∴A1(,),A2(1,0),A3(,﹣),…,发现是8次一循环,所以2019÷8=252…余3,∴点A2019的坐标为(,﹣)故选:A.25,3.(2019•四川省广安市)把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为【答案】A【解析】阴影部分面积=1××=4.(2019•贵州省铜仁市)如图,正方形ABCD中,AB=6,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折得到△FDE,延长EF交BC于G,FH⊥BC,垂足为H,连接BF、DG.以下结论:①BF∥ED;②△DFG≌△DCG;③△FHB∽△EAD;④tan∠GEB=;⑤S△BFG=2.6;其中正确的个数是( )A.2B.3C.4D.5\【答案】C.【解答】∵正方形ABCD中,AB=6,E为AB的中点∴AD=DC=BC=AB=6,AE=BE=3,∠A=∠C=∠ABC=90°∵△ADE沿DE翻折得到△FDE∴∠AED=∠FED,AD=FD=6,AE=EF=3,∠A=∠DFE=90°∴BE=EF=3,∠DFG=∠C=90°∴∠EBF=∠EFB∵∠AED+∠FED=∠EBF+∠EFB∴∠DEF=∠EFB∴BF∥ED故结论①正确;∵AD=DF=DC=6,∠DFG=∠C=90°,DG=DG∴Rt△DFG≌Rt△DCG25,∴结论②正确;∵FH⊥BC,∠ABC=90°∴AB∥FH,∠FHB=∠A=90°∵∠EBF=∠BFH=∠AED∴△FHB∽△EAD∴结论③正确;∵Rt△DFG≌Rt△DCG∴FG=CG设FG=CG=x,则BG=6﹣x,EG=3+x在Rt△BEG中,由勾股定理得:32+(6﹣x)2=(3+x)2解得:x=2∴BG=4∴tan∠GEB==故结论④正确;∵△FHB∽△EAD,且∴BH=2FH设FH=a,则HG=4﹣2a在Rt△FHG中,由勾股定理得:a2+(4﹣2a)2=22解得:a=2(舍去)或a=∴S△BFG=×4×=2.4故结论⑤错误。5.(2019黑龙江省绥化)如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB=4,EF=2,设AE=x.当△PEF是等腰三角形时,下列关于P点个数的说法中,一定正确的是( )①当x=0(即E、A两点重合)时,P点有6个②当0<x<4﹣2时,P点最多有9个③当P点有8个时,x=2﹣225,④当△PEF是等边三角形时,P点有4个A.①③B.①④C.②④D.②③【答案】B【解析】①当x=0(即E、A两点重合)时,如下图,分别以A、F为圆心,2为半径画圆,各2个P点,以AF为直径作圆,有2个P点,共6个,所以,①正确。②当0<x<4﹣2时,P点最多有8个,故②错误。25,二、填空题6.(2019湖南邵阳)公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”.如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是.【答案】4.【解析】∵勾a=6,弦c=10,∴股==8,∴小正方形的边长=8﹣6=2,∴小正方形的面积=22=4.故答案是:4.7.(2019湖南张家界)如图:正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD= .【答案】2.【解析】解:连接AF,25,∵E,F分别是正方形ABCD边BC,CD的中点,∴CF=BE,,在△ABE和△BCF中,,∴Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS),∴∠BAE=∠CBF,又∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠CBF+∠BEA=90°,∴∠BPE=∠APF=90°,∵∠ADF=90°,∴∠ADF+∠APF=180°,∴A、P、F、D四点共圆,∴∠AFD=∠APD,∴tan∠APD=tan∠AFD==2,故答案为:2.8.(2019•湖北省随州市)如图,已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点(不与端点重合),将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.给出下列判断:①∠EAG=45°;②若DE=a,则AG∥CF;25,③若E为CD的中点,则△GFC的面积为a2;④若CF=FG,则DE=(-1)a;⑤BG•DE+AF•GE=a2.其中正确的是______.(写出所有正确判断的序号)【答案】①②④⑤【解析】①∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=AD=a,∵将△ADE沿AE对折至△AFE,∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°,AF=AD=AB,EF=DE,∠DAE=∠FAE,在Rt△ABG和Rt△AFG中,∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),∴∠BAG=∠FAG,∴∠GAE=∠GAF+∠EAF=90°=45°,故①正确;②∴BG=GF,∠BGA=∠FGA,设BG=GF=x,∵DE=a,∴EF=a,∴CG=a-x,在Rt△EGC中,EG=x+a,CE=a,由勾股定理可得(x+a)2=x2+(a)2,解得x=a,此时BG=CG=a,∴GC=GF=a,∴∠GFC=∠GCF,且∠BGF=∠GFC+∠GCF=2∠GCF,∴2∠AGB=2∠GCF,∴∠AGB=∠GCF,∴AG∥CF,∴②正确;③若E为CD的中点,则DE=CE=EF=,设BG=GF=y,则CG=a-y,CG2+CE2=EG2,即,解得,y=a,25,∴BG=GF=,CG=a-,∴,∴,故③错误;④当CF=FG,则∠FGC=∠FCG,∵∠FGC+∠FEC=∠FCG+∠FCE=90°,∴∠FEC=∠FCE,∴EF=CF=GF,∴BG=GF=EF=DE,∴EG=2DE,CG=CE=a-DE,∴,即,∴DE=(-1)a,故④正确;⑤设BG=GF=b,DE=EF=c,则CG=a-b,CE=a-c,由勾股定理得,(b+y)2=(a-b)2+(a-c)2,整理得bc=a2-ab-ac,∴=,即S△CEG=BG•DE,∵S△ABG=S△AFG,S△AEF=S△ADE,∴,∵S五边形ABGED+S△CEG=S正方形ABCD,∴BG•DE+AF•EG=a2,故⑤正确.故答案为:①②④⑤.①由折叠得AD=AF=AB,再由HL定理证明Rt△ABG≌Rt△AFG便可判定正误;②设BG=GF=x,由勾股定理可得(x+a)2=x2+(a)2,求得BG=a,进而得GC=GF,得∠GFC=∠GCF,再证明∠AGB=∠GCF,便可判断正误;③设BG=GF=y,则CG=a-y,由勾股定理得y的方程求得BG,GF,EF,再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比,求得△CGF的面积,便可判断正误;④证明∠FEC=∠FCE,得EF=CF=GF,进而得EG=2DE,CG=CE=a-DE,由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论,进而判断正误;⑤设BG=GF=b,DE=EF=c,则CG=a-b,CE=a-c,由勾股定理得bc=a2-ab-ac,再得△CEG的面积为BG•DE,再由五边形ABGED的面积加上△CEG的面积等于正方形的面积得结论,进而判断正误.9.(2019福建)如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)25,【答案】π﹣1.【解析】延长DC,CB交⊙O于M,N,根据圆和正方形的面积公式即可得到结论.延长DC,CB交⊙O于M,N,则图中阴影部分的面积=×(S圆O﹣S正方形ABCD)=×(4π﹣4)=π﹣1,10.(2019•四川省凉山州)如图,正方形ABCD中,AB=12,AE=AB,点P在BC上运动(不与B、C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为 .【答案】4【解析】先证明△BPE∽△CQP,得到与CQ有关的比例式,设CQ=y,BP=x,则CP=12﹣x,代入解析式,得到y与x的二次函数式,根据二次函数的性质可求最值.∵∠BEP+∠BPE=90°,∠QPC+∠BPE=90°,∴∠BEP=∠CPQ.又∠B=∠C=90°,∴△BPE∽△CQP.∴.设CQ=y,BP=x,则CP=12﹣x.∴,化简得y=﹣(x2﹣12x),整理得y=﹣(x﹣6)2+4,所以当x=6时,y有最大值为4.11.(2019•广东广州)如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动(不与点A,B重合),∠DAM25,=45°,点F在射线AM上,且AF=BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论:①∠ECF=45°;②△AEG的周长为(1+)a;③BE2+DG2=EG2;④△EAF的面积的最大值a2.其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号)【答案】①④.【解析】①正确.如图1中,在BC上截取BH=BE,连接EH.证明△FAE≌△EHC(SAS),即可解决问题.②③错误.如图2中,延长AD到H,使得DH=BE,则△CBE≌△CDH(SAS),再证明△GCE≌△GCH(SAS),即可解决问题.④正确.设BE=x,则AE=a﹣x,AF=x,构建二次函数,利用二次函数的性质解决最值问题.如图1中,在BC上截取BH=BE,连接EH.∵BE=BH,∠EBH=90°,∴EH=BE,∵AF=BE,∴AF=EH,∵∠DAM=∠EHB=45°,∠BAD=90°,∴∠FAE=∠EHC=135°,∵BA=BC,BE=BH,∴AE=HC,∴△FAE≌△EHC(SAS),∴EF=EC,∠AEF=∠ECH,∵∠ECH+∠CEB=90°,∴∠AEF+∠CEB=90°,∴∠FEC=90°,∴∠ECF=∠EFC=45°,故①正确,25,如图2中,延长AD到H,使得DH=BE,则△CBE≌△CDH(SAS),∴∠ECB=∠DCH,∴∠ECH=∠BCD=90°,∴∠ECG=∠GCH=45°,∵CG=CG,CE=CH,∴△GCE≌△GCH(SAS),∴EG=GH,∵GH=DG+DH,DH=BE,∴EG=BE+DG,故③错误,∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a,故②错误,设BE=x,则AE=a﹣x,AF=x,∴S△AEF=•(a﹣x)×x=﹣x2+ax=﹣(x2﹣ax+a2﹣a2)=﹣(x﹣a)2+a2,∵﹣<0,∴x=a时,△AEF的面积的最大值为a2.故④正确,故答案为①④.12.(2019·广西贺州)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为 .25,【答案】6﹣2.【解析】作FM⊥AD于M,FN⊥AG于N,如图,易得四边形CFMD为矩形,则FM=4,∵正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,∴DE=2,∴AE==2,∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG,∴AG=AE=2,BG=DE=2,∠3=∠4,∠GAE=90°,∠ABG=∠D=90°,而∠ABC=90°,∴点G在CB的延长线上,∵AF平分∠BAE交BC于点F,∴∠1=∠2,∴∠2+∠4=∠1+∠3,即FA平分∠GAD,∴FN=FM=4,∵AB•GF=FN•AG,∴GF==2,∴CF=CG﹣GF=4+2﹣2=6﹣2.故答案为6﹣2.13.(2019•山东青岛)如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF.若AD=4cm,则CF的长为 cm.25,【答案】6﹣.【解析】设BF=x,则FG=x,CF=4﹣x,在Rt△GEF中,利用勾股定理可得EF2=(﹣4)2+x2,在Rt△FCE中,利用勾股定理可得EF2=(4﹣x)2+22,从而得到关于x方程,求解x,最后用4﹣x即可.设BF=x,则FG=x,CF=4﹣x.在Rt△ADE中,利用勾股定理可得AE=.根据折叠的性质可知AG=AB=4,所以GE=﹣4.在Rt△GEF中,利用勾股定理可得EF2=(﹣4)2+x2,在Rt△FCE中,利用勾股定理可得EF2=(4﹣x)2+22,所以(﹣4)2+x2=(4﹣x)2+22,解得x=﹣2.则FC=4﹣x=6﹣.14.(2019江苏镇江)将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置(如图),使得点D落在对角线CF上,EF与AD相交于点H,则HD=.(结果保留根号)【答案】-1.【解析】本题考查了正方形的性质、旋转、等腰三角形的判定与性质、勾股定理.由正方形的对角线与相邻的边夹角为45°,得∠CFE=∠ECF=45°,而在Rt△CEF中,由勾股定理,得CF=,从而DF=-1,易知△DHF是等腰直角三角形,于是DH=DF=-1.因此本题答案为-1.15.(2019辽宁抚顺)如图,在2×6的网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,网格中小正方形的顶点叫格点,点A,B,C在格点上,连接AB,BC,则tan∠ABC= .25,故答案为:【解析】连接AD,根据网格利用勾股定理求出AB,AD,BD的长,利用勾股定理的逆定理判断出三角形ABD为直角三角形,利用锐角三角函数定义求出所求即可.连接AD,由勾股定理得:AD==,AB==2,BD==,∵()2+(2)2=()2,即AD2+AB2=BD2,∴△ABD为∠BAD是直角的直角三角形,∴tan∠ABC===三、解答题16.(2019湖南湘西州)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边CD,AD上,且AF=CE.(1)求证:△ABF≌△CBE;(2)若AB=4,AF=1,求四边形BEDF的面积.【答案】(1)见解析;(2)12.【解答】(1)在△ABF和△CBE中,∴△ABF≌△CBE(SAS);(2)由已知可得正方形ABCD面积为16,25,△ABF面积=△CBE面积=×4×1=2.所以四边形BEDF的面积为16﹣2×2=12.17.(2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB=PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.【答案】见解析。【解析】由正方形性质得到边角关系,从而证明全等;①通过证明全等得到AP=EF,由平行线的传递性得到平行,故四边形AFEP是平行四边形;②列出方程得到AP的长,与PE比较,不能判定四边形AFEP是菱形.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠D=∠BCD=90°,∴∠ECQ=90°=∠D.∵E是CD的中点,∴DE=CE,又∵∠DEP=∠CEQ,∴△PDE≌△QCE;(2)(2)①证明:如图,由(1)得△PDE≌△QCE,∴PE=QE=PQ,又∵EF∥BC,∴PF=FB=PB,∵PB=PQ,∴PF=PE,∴∠1=∠2,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,在Rt△ABP中,F是PB的中点,∴AF=BP=FP,∴∠3=∠4,∵AD∥BC,EF∥BC,∴AD∥EF,∴∠1=∠4,∴∠2=∠3,又∵PF=FP,∴△APF≌△EFP,∴AP=EF,又∵AP∥EF,∴四边形AFEP是平行四边形.②四边形AFEP不是菱形,理由如下:设PD=x,则AP=1-x,由(1)可知△PDE≌△QCE,∴CQ=PD=x,∴BQ=BC+CQ=1+x,∵点E,F分别是PQ,PB的中点,∴EF是△PBQ的中位线,∴EF=BQ=.由①可知AP=EF,即1-x=,解得x=,∴PD=,AP=,在Rt△PDE中,DE=,∴PE==,∴AP≠PE,∴四边形AFEP不是菱形.25,18.(2019湖南株洲)如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG.(1)求证:△DOG≌△COE;(2)若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM=,求正方形OEFG的边长.【答案】(1)见解析;(2)2.【解析】解:(1)∵正方形ABCD与正方形OEFG,对角线AC、BD∴DO=OC∵DB⊥AC,∴∠DOA=∠DOC=90°∵∠GOE=90°,∴∠GOD+∠DOE=∠DOE+∠COE=90°∴∠GOD=∠COE∵GO=OE∴在△DOG和△COE中∴△DOG≌△COE(SAS)(2)如图,过点M作MH⊥DO交DO于点H25,∵AM=,DA=2,∴DM=∵∠MDB=45°∴MH=DH=sin45°•DM=,DO=cos45°•DA=∴HO=DO﹣DH=﹣=∴在Rt△MHO中,由勾股定理得MO===∵DG⊥BD,MH⊥DO,∴MH∥DG∴易证△OHM∽△ODG∴===,得GO=2则正方形OEFG的边长为2.19.(2019•湖北省仙桃市)如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE=CF,过点E作EG∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF.求证:(1)AE⊥BF;(2)四边形BEGF是平行四边形.【答案】见解析。25,【解析】由SAS证明△ABE≌△BCF得出AE=BF,∠BAE=∠CBF,由平行线的性质得出∠CBF=∠CEG,证出AE⊥EG,即可得出结论;延长AB至点P,使BP=BE,连接EP,则AP=CE,∠EBP=90°,证明△APE≌△ECG得出AE=EG,证出EG=BF,即可得出结论.证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,∴∠ABE=∠BCF=90°,在△ABE和△BCF中,,∴△ABE≌△BCF(SAS),∴AE=BF,∠BAE=∠CBF,∵EG∥BF,∴∠CBF=∠CEG,∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠CEG+∠BEA=90°,∴AE⊥EG,∴AE⊥BF;(2)延长AB至点P,使BP=BE,连接EP,如图所示:则AP=CE,∠EBP=90°,∴∠P=45°,∵CG为正方形ABCD外角的平分线,∴∠ECG=45°,∴∠P=∠ECG,由(1)得∠BAE=∠CEG,在△APE和△ECG中,,∴△APE≌△ECG(ASA),∴AE=EG,∵AE=BF,∴EG=BF,∵EG∥BF,∴四边形BEGF是平行四边形.20.(2019•山东泰安)如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF=90°,FG⊥AD,垂足为点C.25,(1)试判断AG与FG是否相等?并给出证明;(2)若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.【答案】见解析。【解析】过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M,可证四边形AGFM是矩形,可得AG=MF,AM=FG,由“AAS”可证△EFM≌△CEB,可得BE=MF,ME=BC=AB,可得BE=MA=MF=AG=FG;延长GH交CD于点N,由平行线分线段成比例可得,且CH=FH,可得GH=HN,NC=FG,即可求DG=DN,由等腰三角形的性质可得DH⊥HG.(1)AG=FG,理由如下:如图,过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC,∠B=90°=∠BAD∵FM⊥AB,∠MAD=90°,FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形∴AG=MF,AM=FG,∵∠CEF=90°,∴∠FEM+∠BEC=90°,∠BEC+∠BCE=90°∴∠FEM=∠BCE,且∠M=∠B=90°,EF=EC∴△EFM≌△CEB(AAS)25,∴BE=MF,ME=BC∴ME=AB=BC∴BE=MA=MF∴AG=FG,(2)DH⊥HG理由如下:如图,延长GH交CD于点N,∵FG⊥AD,CD⊥AD∴FG∥CD∴,且CH=FH,∴GH=HN,NC=FG,∴AG=FG=NC又∵AD=CD,∴GD=DN,且GH=HN,∴DH⊥GH21.(2019湖北襄阳)(1)证明推断:如图(1),在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE.①求证:DQ=AE;②推断:的值为 ;(2)类比探究:如图(2),在矩形ABCD中,=k(k为常数).将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由;(3)拓展应用:在(2)的条件下,连接CP,当k=时,若tan∠CGP=,GF=2,求CP的长.25,【答案】见解析。24.【解析】(1)①证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DA,∠ABE=90°=∠DAQ.∴∠QAO+∠OAD=90°.∵AE⊥DH,∴∠ADO+∠OAD=90°.∴∠QAO=∠ADO.∴△ABE≌△DAQ(ASA),∴AE=DQ.②解:结论:=1.理由:∵DQ⊥AE,FG⊥AE,∴DQ∥FG,∵FQ∥DG,∴四边形DQFG是平行四边形,∴FG=DQ,∵AE=DQ,∴FG=AE,∴=1.故答案为1.(2)解:结论:=k.理由:如图2中,作GM⊥AB于M.∵AE⊥GF,∴∠AOF=∠GMF=∠ABE=90°,∴∠BAE+∠AFO=90°,∠AFO+∠FGM=90°,∴∠BAE=∠FGM,∴△ABE∽△GMF,∴=,∵∠AMG=∠D=∠DAM=90°,25,∴四边形AMGD是矩形,∴GM=AD,∴===k.(3)解:如图2﹣1中,作PM⊥BC交BC的延长线于M.∵FB∥GC,FE∥GP,∴∠CGP=∠BFE,∴tan∠CGP=tan∠BFE==,∴可以假设BE=3k,BF=4k,EF=AF=5k,∵=,FG=2,∴AE=3,∴(3k)2+(9k)2=(3)2,∴K=1或﹣1(舍弃),∴BE=3,AB=9,∵BC:AB=2:3,∴BC=6,∴BE=CE=3,AD=PE=BC=6,∵∠BEF=∠FEP=∠PME=90°,∴∠FEB+∠PEM=90°,∠PEM+∠EPM=90°,∴∠FEB=∠EPM,∴△FBE∽△EMP,∴==,∴==,∴EM=,PM=,∴CM=EM=EC=﹣3=,∴PC==.25
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