初中数学知识总结专题15 相交线与平行线（教师版）

专题15相交线与平行线专题知识回顾一、相交线1．邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。邻补角的性质：邻补角互补。2．对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。3．垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。4．垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。5．同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。二、平行线1.平行线概念：在同一平面内，两条不想交的直线叫做平行线。记做a∥b2.两条直线的位置关系：平行和相交。3.平行线公理及其推论：（1）经过已知直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行.4.平行线的判定：判定方法1：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行；14,判定方法2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两直线平行；判定方法3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，两直线平行.5.平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等。性质2：两直线平行，内错角相等。性质3：两直线平行，同旁内角互补。6.平行线的判定：判定1：同位角相等，两直线平行。判定2：内错角相等，两直线平行。判定3：同旁内角相等，两直线平行。7．证明的一般步骤（1）根据题意，画出图形。（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。专题典型题考法及解析【例题1】（2019•河北省）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容则回答正确的是（　　）A．◎代表∠FECB．@代表同位角C．▲代表∠EFCD．※代表AB【答案】C．【解析】证明：延长BE交CD于点F，14,则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【例题2】（2019广西河池）如图，，要使，则的大小是　　A．B．C．D．【答案】．【解析】平行线的判定如果，那么．所以要使，则的大小是．故选：．【例题3】（2019广西省贵港市）如图，直线，直线与，均相交，若，则　　．【答案】．【解析】知识点是平行线的性质如图，，，，．14,专题典型训练题一、选择题1.（2019•贵州省铜仁市）如图，如果∠1＝∠3，∠2＝60°，那么∠4的度数为（　　）A．60°B．100°C．120°D．130°\【答案】C．【解答】∵∠1＝∠3，∴a∥b，∴∠5＝∠2＝60°，∴∠4＝180°﹣60°＝120°，2.（2019广东深圳）如图，已知l1∥AB，AC为角平分线，下列说法错误的是（）A．∠1=∠4B．∠1=∠5C．∠2=∠3D．∠1=∠314,【答案】B【解析】∵AC为角平分线，∴∠1=∠2．∵l1∥AB，∴∠4=∠2，∠3=∠2，∴∠1=∠4，∠1=∠3．故A、C、D正确．∵l1∥AB，∴∠5=∠1+∠2，故B错误．故选B．3.（2019•湖北省鄂州市）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数为（　　）A．45°B．55°C．65°D．75°【答案】B【解析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可．如图，作EF∥AB∥CD，∴∠2＝∠AEF＝35°，∠1＝∠FEC，∵∠AEC＝90°，∴∠1＝90°﹣35°＝55°4.（2019•海南省）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（　　）A．20°B．35°C．40°D．70°【答案】C14,【解析】根据平行线的性质解答即可．∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，∴AC＝AB，∴∠CBA＝∠BCA＝70°，∵l1∥l2，∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°5.（2019广西北部湾）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为。A.60°B.65°C.75°D.85°【答案】C.【解析】如图：∵∠BCA=60°，∠DCE=45°，∴∠2=180°-60°-45°=75°，∵HF∥BC，∴∠1=∠2=75°.6.（2019•四川省凉山州）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（　　）A．135°B．125°C．115°D．105°【答案】D14,【解析】直接利用三角形的外角性质得出∠ACD度数，再利用平行线的性质分析得出答案．∵∠B＝30°，∠A＝75°，∴∠ACD＝30°+75°＝105°，∵BD∥EF，∴∠E＝∠ACD＝105°．7.（2019湖北十堰）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）A．50°B．45°C．40°D．30°【答案】C【解析】根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠3，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1．解：∵直线AB⊥AC，∴∠2+∠3＝90°．∵∠1＝50°，∴∠3＝90°﹣∠1＝40°，∵直线a∥b，∴∠1＝∠3＝40°8.（2019湖北仙桃）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是（　　）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】D14,【解析】∵CD∥AB，∴∠AOD+∠D＝180°，∴∠AOD＝70°，∴∠DOB＝110°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝55°，∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°9.（2019湖北孝感）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】B【解析】解：∵l1∥l2，∴∠1＝∠CAB＝70°，∵BC⊥l3交l1于点B，∴∠ACB＝90°，∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，10.（2019湖南湘西）如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝40°，则∠3的度数为（　　）A．40°B．90°C．50°D．100°【答案】B【解析】∵a∥b，14,∴∠4＝∠1＝50°，∵∠2＝40°，∴∠3＝90°，故选：B．11.（2019湖南邵阳）如图，已知两直线与被第三条直线所截，下列等式一定成立的是　　A．B．C．D．【答案】D【解析】与是同为角，与是内错角，与是同旁内角，由平行线的性质可知，选项，，成立的条件为时，而与是邻补角，故正确．12.（2019贵州遵义）如图，∠1+∠2=180°，∠3=104°，则∠4的度数是（）A.74°B.76°C.84°D.86°【答案】B【解析】平行线的性质与判定由于∠1+∠2=180°可知两直线平行，所以∠3的对顶角与∠4互补，因为∠3=104°，所以，∠4的度数是76°，所以选B。二、填空题13.（2019湖南郴州）如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠314,的度数为　度．【答案】100【解析】∵a∥b，∴∠3＝∠4，∵∠1＝∠2+∠4＝∠2+∠3，∠1＝130°，∠2＝30°，∴130°＝30°+∠3，解得：∠3＝100°．故答案为：100．14.（2019年广西柳州市）如图，若AB∥CD，则在图中所标注的角中，一定相等的角是___________．【答案】∠1=∠3【解析】平行线的判定AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等得∠1=∠3，因此本题填∠1=∠3．15.（2019吉林长春）如图，直线MN//PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB=33°.过线段上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为度14,【答案】57．【解析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，直接利用平行线的性质得出∠ABD的度数，再结合三角形内角和定理得出答案．∵直线MN∥PQ，∴∠MAB=∠ABD=33°，∵CD⊥AB，∴∠BCD=90°，∴∠CDB=90°-33°=57°．16.（2019江苏镇江）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝．【答案】40°【解析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理，先求出∠ACD的度数是解题的关键．∵△BCD是等边三角形，∴∠B＝∠BCD＝60°．∵∠A＝20°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝100°．∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝40°．∵a∥b，14,∴∠1＝∠ACD＝40°．17.（2019江苏镇江）如图，直线，的顶点在直线上，边与直线相交于点．若是等边三角形，，则　　．【答案】40【解析】是等边三角形，，，，由三角形的外角性质可知，18.(2019•四川省绵阳市)如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E，则∠1+∠2=______．【答案】90°【解析】∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵BE是∠ABD的平分线，∴∠1=∠ABD，∵BE是∠BDC的平分线，∴∠2=∠CDB，∴∠1+∠2=90°，故答案为：90°．14,根据平行线的性质可得∠ABD+∠CDB=180°，再根据角平分线的定义可得∠1=∠ABD，∠2=∠CDB，进而可得结论．19.（2019湖南益阳）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝　　度．【答案】52．【解析】根据平行线的性质解答即可．∵AB∥CD，∴∠OCD＝∠2，∵OA⊥OB，∴∠O＝90°，∵∠1＝∠OCD+∠O＝142°，∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°20．（2019•威海）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝　　．【答案】3【解析】延长BC、AD相交于点F，可证△EBC≌△EFC，可得BC＝CF，则CD为△ABF的中位线，故CD＝可求出．如图，延长BC、AD相交于点F，∵CE⊥BC，∴∠BCE＝∠FCE＝90°，∵∠BEC＝∠DEC，CE＝CE，∴△EBC≌△EFC（ASA），∴BC＝CF，∵AB∥DC，∴AD＝DF，14,∴DC＝．三、解答题21.（经典题）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC=42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．【答案】69°．【解析】由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质可求出∠AFE的度数．∵∠AEC=42°，∴∠AED=180°﹣∠AEC=138°，∵EF平分∠AED，∴∠DEF=∠AED=69°，又∵AB∥CD，∴∠AFE=∠DEF=69°．14