2024年4月高三二模试卷汇编：立体几何解析 学生版

“二模”试卷汇编：立体几何一、题型目录题型一：几何体的表面积和体积题型二：外接球和内切球题型三：点、线、面位置关系题型四：线面、面面平行证明题型五：线面、面面垂直证明题型六：空间向量在立体几何中的应用二、题型分布题型一：几何体的表面积和体积1(2024春·浙江嘉兴·二模)如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为()15315A.B.C.3D.4222(2024春·黑龙江·二模)祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R的圆柱与半径为R的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R，高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R的半球，且球心到平面α2的距离为R，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是()2523723523723A.πRB.πRC.πRD.πR2424121213(2024春·新疆喀什·二模)(多选)如图圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=CD=22，下面说法正确的是()1 A.线段AC=23B.该圆台的表面积为11πC.该圆台的体积为73πD.沿着该圆台的表面，从点C到AD中点的最短距离为54(2024·广东佛山·二模)(多选)对于棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)，下列说法正确的是()A.底面半径为1m，高为2m的圆锥形罩子(无底面)能够罩住水平放置的该正方体2B.以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为2C.该正方体内能同时整体放入两个底面半径为0.5m，高为0.7m的圆锥3π3D.该正方体内能整体放入一个体积为m的圆锥175(2024春·四川广安·二模)一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为.6(2024春·浙江丽水·二模)已知正四面体A-BCD的棱长为1，若棱长为a的正方体能整体放入正四面体A-BCD中，则实数a的最大值为.π7(2024春·广东韶关·二模)在三棱锥P-ABC中，侧面所在平面与平面ABC的夹角均为，若4AB=2,CA+CB=4，且△ABC是直角三角形，则三棱锥P-ABC的体积为．8(2024春·广东广州·二模)如图，一块面积为定值的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，当容器的容积最大时，其侧面与底面所成的二面角的余弦值为.题型二：外接球和内切球39(2024春·广西·二模)已知轴截面为正方形的圆柱MM的体积与球O的体积之比为，则圆柱2MM的表面积与O球的表面积之比为()35A.1B.C.2D.2210(2024春·浙江宁波·二模)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,A1B1=2,AA1=3，若球O与上底面A1B1C1D1以及棱AB,BC,CD,DA均相切，则球O的表面积为()A.9πB.16πC.25πD.36π2 11(2024春·广东·二模)已知球O与圆台O1O2的上、下底面和侧面均相切，且球O与圆台O1O2的体1积之比为，则球O与圆台O1O2的表面积之比为()21111A.B.C.D.643212(2024春·山西临汾·二模)如图所示，在三棱锥P-ABC中，PB⊥AB,PB=AB,△PAB围绕棱°3PA旋转60后恰好与△PAC重合，且三棱锥P-ABC的体积为，则三棱锥P-ABC外接球的半径R为2()A.1B.2C.3D.213(2024春·河北石家庄·二模)已知正方体的棱长为22，连接正方体各个面的中心得到一个八面23体，以正方体的中心O为球心作一个半径为的球，则该球O的球面与八面体各面的交线的总长为3()4686A.26πB.πC.πD.46π3314(2024春·天津滨海新·二模)如图所示，这是古希腊数学家阿基米德最引以为自豪的发现：圆柱容球定理.圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，在当时并不知道球的面积和体积公式的情况下，阿基米德用穷竭法解决面积问题，用杠杆法解决体积问题.我们来重温这个伟大发现，求圆柱的表面积与球的表面积之比和圆柱体积与球体积之比()36553337A.，B.，C.，D.，2544222615(2024春·湖北·二模)已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直．且母线长为6．则圆锥PO的内切球表面积与圆锥侧面积之和为()A.12(10-36)πB.24(20-76)πC.60(8-36)πD.3(40-76)π16(2024春·浙江嘉兴·二模)在四面体ABCD中，BC=2,∠ABC=∠BCD=90°，且AB与CD所成的角为60°.若四面体ABCD的体积为43，则它的外接球半径的最小值为.3 17(2024春·陕西汉中·二模)已知三棱锥A-BCD,AB=AC=AD=2,BC=BD=CD=3，则三棱锥A-BCD的外接球表面积为．18(2024春·陕西汉中·二模)已知三棱锥A-BCD,AB=AD=2BC=2CD=2,BC⊥CD，点A到平面BCD的距离是3，则三棱锥A-BCD的外接球表面积为．19(2024春·青海西宁·二模)已知A,B,C是表面积为36π的球O的球面上的三个点，且AC=AB=1,∠BAC=120°，则三棱锥O-ABC的体积为．题型三：点、线、面位置关系20(2024春·广西·二模)已知l,m是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，且l⊂α;m⊂β，下列命题为真命题的是()A.若l∥m，则α∥βB.若α∥β，则l∥βC.若l⊥m，则l⊥βD.若α⊥β，则l∥m21(2024春·浙江宁波·二模)已知平面α,β,γ,α∩β=l，则“l⊥γ”是“α⊥γ且β⊥γ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件22(2024春·四川广安·二模)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，EF是△BCD的中位线，AC与EF交于点G，已知△PEF是△CEF绕EF旋转过程中的一个图形﹐且P∉平面ABCD.给出下列结论：①BD⎳平面PEF；②平面PAC⊥平面ABCD；③“直线PF⊥直线AC”始终不成立.其中所有正确结论的序号为()A.①②③B.①②C.①③D.②③23(2024春·上海长宁·二模)已知直线a,b和平面α，则下列判断中正确的是()A.若a⎳α,b⎳α，则a⎳bB.若a⎳b,b⎳α，则a⎳αC.若a⎳α,b⊥α，则a⊥bD.若a⊥b,b⎳α，则a⊥α24(2024春·安徽·二模)已知m是直线，α，β是两个不同的平面，下列正确的命题是()A.若m∥β，α∥β，则m∥αB.若m⊥β，α⊥β，则m∥αC.若m∥β，α⊥β，则m⊥αD.若m∥β，m⊥α，则α⊥β25(2024春·四川南充·二模)设m,n,l是三条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是()A.若l⊥m,l⊥n,m⊂β,n⊂β，则l⊥βB.若m∥α,m∥n，则n∥αC.若m∥n,n⊥β,m⊂α，则α⊥βD.若m∥β,n∥β,m⊂α,n⊂α，则α∥β26(2024春·山西临汾·二模)设α,β是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是()4 A.若α⊥β,m∥α,l∥β，则m⊥lB.若m⊂α,l⊂β,l∥m，则α∥βC.若m⊥α,l⊥β,l∥m，则α⊥βD.若α∩β=m,l∥α,l∥β，则m⎳l27(2024春·陕西汉中·二模)已知m,n为两条直线，α,β为两个平面，m⊂α,n⊂β,m⊥n，则m⊥β是α⊥β的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件28(2024春·四川德阳·二模)已知m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，给出下列结论，其中正确结论的个数是()①若m⊥α,n⊥β，且m⊥n，则α⊥β②若m⊂α,n⊂α且m⎳β,n⎳β，则α⎳β③若m⊥α,n⎳β，且m⊥n，则α⊥β④若m⊥α,n⎳β，且m⎳n，则α⎳βA.1B.2C.3D.429(2024春·湖北·二模)α、β、γ是平面，a，b，c是直线，以下说法中正确的是()A.α⊥γ，γ⊥β⇒α⎳βB.a⊥b，c⊥b⇒a⎳cC.α⊥γ，β⊥γ，α∩β=a⇒a⊥γD.b⎳α，b⎳β⇒α⎳β30(2024·广东广州·二模)(多选)已知m,n是不同的直线，α,β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是()A.若m⎳α,n⊂α，则m⎳nB.若m⊥α,n⊥β,m⎳n，则α⎳βC.若α⎳β,m⊂α，则m⎳βD.若α⎳β,m⊂α,n⊂β，则m⎳n题型四：线面、面面平行证明31(2024春·浙江宁波·二模)在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60°，以AB为轴将菱形ABCD翻折到菱形ABC1D1，使得平面ABC1D1⊥平面ABCD，点E为边BC1的中点，连接CE,DD1.(1)求证：CE∥平面ADD1；(2)求直线CE与平面BDD1所成角的正弦值.32(2024春·新疆喀什·二模)如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD⎳BC,BC=4,BE=AB=AD=DC=2，且平面ABCD⊥平面BCE,BE⊥CE,M为CE的中点．(1)求证：DM⎳平面ABE；(2)求平面ABE与平面DCE夹角的余弦值．5 33(2024春·陕西汉中·二模)已知：如图，三角形ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2CD=2，F为BE的中点．(1)证明：DF⎳平面ABC；(2)求点B到平面ADF的距离．34(2024春·山东·二模)已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥AC，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC,PC于点E,F．(1)求证：EF⎳平面PAB；(2)若M为BC的中点，PA=AB=3,AC=4，求直线PM与平面ABC所成角的正切值．35(2024春·浙江台州·二模)如图，已知四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=3A1B1，AB∥CD，AD⊥AB，AB=6，CD=9，AD=6，且AA1=BB1=4，Q为线段CC1中点，(1)求证：BQ∥平面ADD1A1；323(2)若四棱锥Q-ABB1A1的体积为，求平面ABB1A1与平面CDD1C1夹角的余弦值.3题型五：线面、面面垂直证明36(2024春·山东·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD,AD∥BC,2AB=2BC=AD=2，PA=PD=2．6 (1)证明：AD⊥PC；(2)若PC=2，设M为PC的中点，求PB与平面AMD所成角的正弦值．°37(2024春·山西·二模)如图，四棱锥P-ABCD中，二面角P-CD-A的大小为90，∠DCP=π°∠DPC<，∠DAB=∠ABC=2∠ADB=2∠DCB=90，E是PA的中点.4(1)求证：平面EBD⊥平面PCD；°(2)若直线PD与底面ABCD所成的角为60，求二面角B-ED-C的余弦值.38(2024春·青海西宁·二模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°,AB=AC=22,A1A=A1B=4,∠A1AB=∠A1AC．(1)求证：平面A1BC⊥平面ABC；(2)求四棱锥A1-C1B1BC的体积．39(2024春·广东韶关·二模)如图，圆柱OO1内有一个直三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面三角形内接于圆柱底面，已知圆柱OO1的轴截面是边长为6的正方形，AB=AC=30，点P在线段OO1上运动．7 (1)证明：BC⊥PA1；(2)当PA1=PB时，求BC与平面A1PB所成角的正弦值．40(2024春·广东佛山·二模)如图，在直三棱柱形木料ABC-A1B1C1中，D为上底面ABC上一点．(1)经过点D在上底面ABC上画一条直线l与B1D垂直，应该如何画线，请说明理由；π(2)若BC=BB1=1，AB=2，∠A1B1C1=，E为A1B1的中点，求点B到平面AC1E的距离．2题型六：空间向量在立体几何中的应用41(2024春·广西·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=2PA=2PB=2,E是CD的中点.(1)证明：平面PBC⊥平面PAE.(2)求二面角D-AP-E的余弦值.42(2024春·河南郑州·二模)如图，在多面体DABCE中，△ABC是等边三角形，AB=AD=2，DB=DC=EB=EC=2.(1)求证：BC⊥AE；(2)若二面角A-BC-E为30°，求直线DE与平面ACD所成角的正弦值.43(2024春·浙江嘉兴·二模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD,PA∥QD，BC=2AB=2PA=2,∠ABC=60°.8 (1)证明：平面PCD⊥平面PAC；(2)若PQ=22，求平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值.44(2024春·广东梅州·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，△PAD为等边三角形，AD⎳BC，AD⊥AB，AD=AB=2BC=2．(1)求证：AD⊥PC；(2)点N在棱PC上运动，求△ADN面积的最小值；PQ(3)点M为PB的中点，在棱PC上找一点Q，使得AM⎳平面BDQ，求的值．QC9