2024年新高考新题型数学一模好题分类汇编：立体几何（学生版）

立体几何题型01空间几何体的有关计算题型02点线面位置关系、空间角及距离题型03内切球、外接球问题题型04空间向量题型01空间几何体的有关计算1(2024·山西晋城·统考一模)若一个正n棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为{2,3}，则n的最小值为，该棱台各棱的长度之和的最小值为．2(2024·浙江·校联考一模)已知圆台的上下底面半径分别是1，4，且侧面积为10π，则该圆台的母线长为．3(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)球O的半径与圆锥M的底面半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为，球O的体积与圆锥M的体积的比值为．4(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．5(2024·广东深圳·校考一模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆.若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为3的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为.6(2024·辽宁沈阳·统考一模)正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为()A.2B.3C.2D.57(2024·云南曲靖·统考一模)为努力推进“绿美校园”建设，营造更加优美的校园环境，某校准备开展校园绿化活动．已知栽种某绿色植物的花盆可近似看成圆台，圆台两底面直径分别为18厘米，9厘米，母线长约为7.5厘米．现有2000个该种花盆，假定每一个花盆装满营养土，请问共需要营养土约为()(参考数据：π≈3.14)A.1.702立方米B.1.780立方米C.1.730立方米D.1.822立方米8(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm的1 正方体截去八个一样的四面体得到的，则()A.该几何体的顶点数为12B.该几何体的棱数为242C.该几何体的表面积为(4800+8003)cmD.该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项9(2024·山西晋城·统考一模)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，C1E=3EC，平面ABE将该正四棱柱分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为Ω上，下部分对应的几何体为Ω下，则()A.Ω下的体积为2B.Ω上的体积为12C.Ω下的外接球的表面积为9πD.平面ABE截该正四棱柱所得截面的面积为25题型02点线面位置关系、空间角及距离10(2024·河北·校联考一模)已知直线l、m、n与平面α、β，下列命题正确的是()A.若α⎳β，l⊂α，n⊂β，则l⎳nB.若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC.若l⊥n，m⊥n，则l⎳mD.若l⊥α，l⎳β，则α⊥β11(2024·浙江·校联考一模)已知直线a,b和平面α,a⊄α,b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12(2024·广东深圳·校考一模)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是()A.若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βB.若m⎳n，m⎳α，n⎳β，则α⎳βC.若m⊥n，m⎳α，α⊥β，则n⊥βD.若m⎳n，m⊥α，α⊥β，则n⎳β13(2024·吉林白山·统考一模)正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的2 正八面体中，则有()A.直线AE与CF是异面直线B.平面ABF⊥平面ABE426C.该几何体的体积为2D.平面ABE与平面DCF间的距离为3314(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,∠BAD=120°,AC⊥BD，△BCD是等边三角形.(1)证明：平面PAD⊥平面PCD.(2)求二面角B-PC-D的正弦值.15(2024·辽宁沈阳·统考一模)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，且BC=BD=BA，∠CBA=∠CBD=120°，点P在线段AC上，点Q在线段CD上.(1)求证：AD⊥BC；BP(2)若AC⊥平面BPQ，求的值；BQ(3)在(2)的条件下，求平面ABD与平面PBQ所成角的余弦值.3 16(2024·重庆·统考一模)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB=AP，AB⊥AD,AB+AD=6,CD=2,∠CDA=45°．(1)若E为PB的中点，求证：平面PBC⊥平面ADE；6(2)若平面PAB与平面PCD所成的角的余弦值为．6(ⅰ)求线段AB的长；(ⅱ)设G为△PAD内(含边界)的一点，且GB=2GA，求满足条件的所有点G组成的轨迹的长度．17(2024·云南曲靖·统考一模)在图1的直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°,AB=BC=2,DC=3，点E是DC边上靠近于点D的三等分点，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1=6，如图2．(1)求证：平面BC1E⊥平面ABED；(2)在棱DC1上是否存在点P，使得二面角P-EB-C1的大小为45°？若存在，求出线段DP的长度，若不存在说明理由．4 18(2024·云南曲靖·统考一模)如图所示，正方体ABCD-ABCD的棱长为1，E,F分别是棱AA,CC的中点，过直线EF的平面分别与棱BB,DD交于点M,N，以下四个命题中正确的是()1A.四边形EMFN一定为菱形B.四棱锥A-MENF体积为3C.平面EMFN⊥平面DBBDD.四边形EMFN的周长最小值为419(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ππPB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=,AD=2,PA=BC=1，42点E为棱PD上一点，满足PE=λPD0≤λ≤1，下列结论正确的是()A.平面PAC⊥平面PCD；B.在棱PD上不存在点E，使得CE⎳平面PAB125C.当λ=时，异面直线CE与AB所成角的余弦值为；25D.点P到直线CD的距离3；20(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，点E，F分别是棱PB，BC的中点．(1)求直线AF与平面PBC所成角的正弦值；(2)在截面AEF内是否存在点G，使DG⊥平面AEF，并说明理由．5 21(2024·山西晋城·统考一模)如图，P是边长为2的正六边形ABCDEF所在平面外一点，BF的中点O为P在平面ABCDEF内的射影，PM=2MF．(1)证明：ME⎳平面PBD．(2)若PA=2，二面角A-PB-D的大小为θ，求cos2θ．22(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是AD1的中点，点Q是直线CD1上的动点，则下列说法正确的是()A.△PBD是直角三角形πB.异面直线PD与CD1所成的角为3C.当AB的长度为定值时，三棱锥D-PBQ的体积为定值D.平面PBD⊥平面ACD16 23(2024·浙江·校联考一模)在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1是菱形，△ABC是等边三角形，点M是线段AB的中点，∠ABB1=60°．(1)证明：B1C⊥平面ABC1；(2)若平面ABB1A1⊥平面ABC，求直线B1C与平面A1MC1所成角的正弦值．24(2024·广东深圳·校考一模)如图，在圆锥SO中，AB是圆O的直径，且△SAB是边长为4的等边三角形，C,D为圆弧AB的两个三等分点，E是SB的中点.(1)证明：DE⎳平面SAC；(2)求平面SAC与平面SBD所成锐二面角的余弦值.7 25(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)在如图所示的五面体ABCDEF中，ABEF共面，△ADF是2π正三角形，四边形ABCD为菱形，∠ABC=,EF⎳平面ABCD,AB=2EF=2，点M为BC中点．3(1)证明：EM∥平面BDF；(2)已知EM=2，求平面BDF与平面BEC所成二面角的正弦值．26(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△DEF4位置，OD=10．(1)证明：DH⊥平面ABCD；(2)求平面BAD与平面ACD的夹角的余弦值．8 27(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)设b、c表示两条直线，α、β表示两个平面，则下列命题正确的是()A.若b⎳α，c⊂α，则b⎳cB.若b⊂α，b⎳c，则c⊂αC.若c⎳α，α⊥β，则c⊥βD.若c⎳α，c⊥β，则α⊥β28(2024·吉林延边·统考一模)已知三棱柱ABC-A1B1C1，侧面AA1C1C是边长为2的菱形，∠CAA1π=，侧面四边形ABB1A1是矩形，且平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，点D是棱A1B1的中点．3(1)在棱AC上是否存在一点E，使得AD∥平面B1C1E，并说明理由；(2)当三棱锥B-A1DC1的体积为3时，求平面A1C1D与平面CC1D夹角的余弦值．29(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)如图1，在平面四边形PABC中，PA⊥AB,CD⎳AB，CD=2AB=2PD=2AD=4.点E是线段PC上靠近P端的三等分点，将△PDC沿CD折成四棱锥P-ABCD，且AP=22，连接PA,PB,BD，如图2.(1)在图2中，证明：PA⎳平面BDE；(2)求图2中，直线AP与平面PBC所成角的正弦值.9 30(2024·重庆·统考一模)如图，在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，M是线段A1E上的一点，则下列说法正确的是()A.当M点与A1点重合时，直线AC1⊂平面ACMB.当点M移动时，点D到平面ACM的距离为定值5C.当M点与E点重合时，平面ACM与平面CC1D1D夹角的正弦值为3733D.当M点为线段A1E中点时，平面ACM截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面面积为3231(2024·福建厦门·统考一模)如图，在四棱锥E-ABCD中，AD⎳BC，2AD=BC=2，AB=2，AB⊥AD，EA⊥平面ABCD，过点B作平面α⊥BD．(1)证明：平面α⎳平面EAC；(2)已知点F为棱EC的中点，若EA=2，求直线AD与平面FBD所成角的正弦值．10 32(2024·吉林延边·统考一模)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE=BF=1,DE∥BF,DE⊥平面ABCD，动点P在线段EF上，则下列说法正确的是()A.AC⊥DPB.存在点P，使得DP∥平面ACF9πC.三棱锥A-CDE的外接球被平面ACF所截取的截面面积是2310D.当动点P与点F重合时，直线DP与平面ACF所成角的余弦值为1033(2024·福建厦门·统考一模)如图所示，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，△ABF和△DCE均是等边三角形，且AB=23，EF=x(x>0)，则()A.EF⎳平面ABCDB.二面角A-EF-B随着x的减小而减小27C.当BC=2时，五面体ABCDEF的体积V(x)最大值为233D.当BC=时，存在x使得半径为的球能内含于五面体ABCDEF22题型03内切球、外接球问题34(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知四面体ABCD的各个面均为全等的等腰三角形，且CA=CB=2AB=4.设E为空间内任一点，且A,B,C,D,E五点在同一个球面上，则()A.AB⊥CDB.四面体ABCD的体积为214C.当AE=23时，点E的轨迹长度为4π14D.当三棱锥E-ABC的体积为时，点E的轨迹长度为32π635(2024·吉林白山·统考一模)在四面体A-BCD中，BC=22，BD=23，且满足BC⊥BD，AC86⊥BC，AD⊥BD．若该三棱锥的体积为，则该锥体的外接球的体积为．325π36(2024·吉林延边·统考一模)已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为5的扇形.5若该圆锥的顶点及底面圆周都在球O的表面上，则球O的体积为.11 37(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，以3πA1为球心、3为半径的球面与底面ABC的交线长为，则三棱柱ABC-A1B1C1的表面在球内部分的6总面积为．38(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知球O的直径PQ=4，A，B，C是球O球面上的三点，△ABC是等边三角形，且∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，则三棱锥P-ABC的体积为().339333273A.B.C.D.442439(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)如图所示，有一个棱长为4的正四面体P-ABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是()πA.直线AE与PB所成的角为2B.△ABE的周长最小值为4+346C.如果在这个容器中放入1个小球(全部进入)，则小球半径的最大值为326-2D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球(全部进入)，则小球半径的最大值为540(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)如图，在正三棱锥P-ABC中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，∠ADP=α．(1)用α分别表示线段BC和PD长度；π(2)当α∈0,时，求三棱锥的侧面积S的最小值．212 41(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)地球仪是地理教学中的常用教具.如图1所示，地球仪的赤道面(与转轴垂直)与黄道面(与水平面平行)存在一个夹角，即黄赤交角，大小约为23.5°.为锻炼动手能力，某同学制作了一个半径为4cm的地球仪(不含支架)，并将其放入竖直放置的正三棱柱ABC-A1B1C1中(姿态保持不变)，使地球仪与该三棱柱的三个侧面相切，如图2所示.此时平面AB1C恰与地球仪的赤道面平行，则三棱柱ABC-A1B1C1的外接球体积为.(参考数据：tan23.5°≈0.43)题型04空间向量42(2024·福建厦门·统考一模)已知平面α的一个法向量为n=(1,0,1)，且点A(1,2,3)在α内，则点B(1,1,1)到α的距离为．43(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，动点M满足AM=xAB+yAD+zAA1，(x,y,z∈R且x≥0,y≥0,z≥0)，下列说法正确的是()1A.当x=,z=0,y∈0,1时，B1M+MD的最小值为134110B.当x=y=1,z=时，异面直线BM与CD1所成角的余弦值为252542πC.当x+y+z=1，且AM=时，则M的轨迹长度为336D.当x+y=1,z=0时，AM与平面AB1D1所成角的正弦值的最大值为344(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA121=1，∠DAB=90°，cos<AA1，AB>=，cos<AA1，AD>=，点M为BD中点.22(1)证明：B1M⎳平面A1C1D；(2)求二面角B-AA1-D的正弦值.13