2024年高考数学一模好题分类汇编：直线与圆、圆锥曲线（学生版）

直线与圆、圆锥曲线题型01直线与圆题型02椭圆题型03双曲线题型04抛物线题型01直线与圆221(2024·浙江·校联考一模)圆C:x+y-2x+4y=0的圆心C坐标和半径r分别为()A.C1,-2,r=5B.C1,-2,r=5C.C-1,2,r=5D.C-1,2,r=5222(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)“a≤-5或a≥5”是“圆C1:x+y=1与圆C2:(x22+a)+(y-2a)=36存在公切线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件22223(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知圆C1:(x-3)+y=1,C2:x+(y-a)=16，则下列结论正确的有()A.若圆C1和圆C2外离，则a>4B.若圆C1和圆C2外切，则a=±4C.当a=0时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线D.当a=-2时，圆C1和圆C2相交4(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x=1sx=3t2(t为参数)，直线l2的参数方程为(s为参数).y=4t-1y=3s2(1)求这两条直线的普通方程(结果用直线的一般式方程表示)；222(2)若这两条直线与圆C:(x-3)+(y-4)=m都相离，求m的取值范围.225(2024·重庆·统考一模)过点P作圆C:x+y-4x-43y+15=0的两条切线，切点分别为A,B，若△PAB为直角三角形，O为坐标原点，则OP的取值范围为()A.2-2,2+2B.4-2,4+2C.2-2,2+2D.4-2,4+2226(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知圆C：x+y-4x-14y+45=0及点Q(-2,3)，则下列说法正确的是()A.直线kx-y-2k+1=0与圆C始终有两个交点B.若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为22,621C.若点P(m,m+1)在圆C上，则直线PQ的斜率为41 D.圆C与x轴相切227(2024·河北·校联考一模)已知圆C:x+2x+y-1=0，直线mx+ny-1=0与圆C交于A，B两点.若△ABC为直角三角形，则()22A.mn=0B.m-n=0C.m+n=0D.m-3n=0228(2024·广东深圳·校考一模)已知圆C：x+y-2kx-2y-2k=0，则下列命题是真命题的是()A.若圆C关于直线y=kx对称，则k=±1B.存在直线与所有的圆都相切C.当k=1时，Px,y为圆C上任意一点，则y+3x的最大值为5+3D.当k=1时，直线l:2x+y+2=0,M为直线l上的动点，过点M作圆C的切线MA,MB，切点为A，B，则CM⋅AB最小值为4229(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知直线y=kx+2k∈R交圆O:x+y=9于Px1,y1,Qx2,y2两点，则3x1+4y1+16+3x2+4y2+16的最小值为()A.9B.16C.27D.302210(2024·吉林延边·统考一模)已知Ax1,y1,Bx2,y2是圆O:x+y=4上的两点，则下列结论中正确的是()A.若点O到直线AB的距离为2，则AB=22πB.若AB=23，则∠AOB=3πC.若∠AOB=，则x1+y1-1+x2+y2-1的最大值为62D.x1x2+y1y2的最小值为-4题型02椭圆2y2x111(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)如果椭圆+=1(k>-8)的离心率为e=，k+892则k=()544A.4B.4或-C.-D.4或-4552y2x12(2024·福建厦门·统考一模)设椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直ab线与C交于A，B两点，若F1F2=2，且△ABF2的周长为8，则()1A.a=2B.C的离心率为C.|AB|可以为πD.∠BAF2可以为直角42y2x13(2024·云南曲靖·统考一模)已知P为椭圆C:2+2=1a>b>0上一点，F1,F2分别为C的左、ab5右焦点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2外接圆半径与其内切圆半径之比为，则C的离心率为．22 2y2x14(2024·重庆·统考一模)已知点F为椭圆+=1(a>b>0)的右焦点，过坐标原点作一条倾斜22abπ角为的直线交椭圆于P,Q两点，FP+FQ=FP-FQ，则该椭圆的离心率为．32y2x15(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知P为椭圆C:+=1上的一个动点，过P作圆M:(x-93221)+y=2的两条切线，切点分别为A,B，则AB的最小值为.2y2x16(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)若椭圆C1和C2的方程分别为2+2=1(a>b>0)ab2y22y22y2xxx和2+2=λ(a>b>0,λ>0且λ≠1)则称C1和C2为相似椭圆．己知椭圆C1:4+3=1,C2:4+3ab=λ(0<λ<1)，过C2上任意一点P作直线交C1于M，N两点，且PM+PN=0，则△MON的面积最大时，λ的值为()1133A.B.C.D.32422y2x617(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，点P0,2在a2b23椭圆C上，过点P的两条直线PA，PB分别与椭圆C交于另一点A，B，且直线PA，PB，AB的斜率满足kPA+kPB=4kABkAB≠0．(1)求椭圆C的方程；(2)证明直线AB过定点；(3)椭圆C的焦点分别为F1，F2，求凸四边形F1AF2B面积的取值范围．3 2218(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)如图，D为圆O：x+y=1上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA并延长至点W，使得WA=1，点W的轨迹记为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若过点K-2,0的两条直线l1，l2分别交曲线C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点；(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线x=x0与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴π于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得∠ORP+∠ORQ=？若存在，求出点R坐标；若不存2在，请说明理由．4 2y2x119(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，且点a2b2231,-在椭圆上．2(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点(-1,0)与椭圆交于M,N两点，椭圆C的左、右顶点分别为A,B，直22k1+k2线BN的斜率为k1，直线AM的斜率为k2，求证：为定值．k1⋅k22y2x20(2024·吉林延边·统考一模)已知椭圆E:+=1a>b>0的右焦点为F2，上顶点为H，O为22ab3坐标原点，∠OHF2=30°，点1,2在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)设经过点F2且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点P-2,0，Q2,0．若M，N分别为S△MPQ直线AP，BQ与y轴的交点，记△MPQ，△NPQ的面积分别为S△MPQ，S△NPQ，求的值．S△NPQ5 2y2x21(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知椭圆C:+=1a>b>0的右焦点为22abF2,0，点2,3在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)过F的两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A,B两点和P,Q两点，设AB,PQ的中点分别为M,N，求△FMN面积的最大值．2y22y2xx22(2024·山西晋城·统考一模)已知椭圆P:+=1的焦点是椭圆E的顶点，椭圆Q:+=16269的焦点也是E的顶点．(1)求E的方程；(2)若Fx0,y0，C，D三点均在E上，且CF⊥DF，直线CF，DF，CD的斜率均存在，证明：直线CD过定点(用x0，y0表示)．2y2x23(2024·浙江·校联考一模)已知椭圆C:+=1的左右焦点分别为F1,F2，点Px0,y0为椭圆C上43异于顶点的一动点，∠F1PF2的角平分线分别交x轴、y轴于点M、N．1(1)若x0=，求PF1；2PM(2)求证：为定值；PN(3)当△F1PN面积取到最大值时，求点P的横坐标x0．6 24(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知如图，点B1,B2为椭圆C的短轴的两个端点，且B2的坐标为0,1，2椭圆C的离心率为.2(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l不经过椭圆C的中心，且分别交椭圆C与直线y=-1于不同的三点D,E,P(点E在线段DP上)，直线PO分别交直线DB2,EB2于点M,N.求证：四边形B1MB2N为平行四边形.7 2y2x25(2024·河北·校联考一模)已知椭圆C：2+2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率ab1π为2，经过点F1且倾斜角为θ0<θ<2的直线l与椭圆交于A、B两点(其中点A在x轴上方)，△ABF2的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面(平面AF1F2)与y轴负半轴和x轴所确定的半平面(平面BF1F2)互相垂直．π①若θ=，求异面直线AF1和BF2所成角的余弦值；3π15②是否存在θ0<θ<2，使得折叠后△ABF2的周长为2？若存在，求tanθ的值；若不存在，请说明理由．8 题型03双曲线26(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知双曲线C的两个焦点分别为F1-22,0,F222,0，且满足条件22p，可以解得双曲线C的方程为x-y=4，则条件p可以是()A.实轴长为4B.双曲线C为等轴双曲线2C.离心率为D.渐近线方程为y=±x22y2x27(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知A为双曲线E:-=1(a>0,b>0)的右顶点，O为坐22ab1标原点，B,C为双曲线E上两点，且AB+AC=2AO，直线AB,AC的斜率分别为2和，则双曲线E的4离心率为()56A.2B.C.D.2222y2x28(2024·云南曲靖·统考一模)已知双曲线C:-=1a>0,b>0，过其右焦点F作一条直线分22ab别交两条渐近线于A,B两点，若A为线段BF的中点，且OA⊥BF，则双曲线C的渐近线方程为()1A.y=±2xB.y=±3xC.y=±5xD.y=±x22y2x29(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知双曲线C:-=1a>0,b>0的左、右22ab顶点分别为A1,A2,F为C的右焦点，C的离心率为2，若P为C右支上一点，PF⊥FA2，记∠A1PA2=πθ0<θ<，则tanθ=()21A.B.1C.3D.222y2x30(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)设双曲线2-2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，Aab是右支上一点，满足AF1⊥AF2，直线AF2交双曲线于另一点B，且BF1-AF1=2a，则双曲线的离心率为．2x231(2024·浙江·校联考一模)已知A,B分别是双曲线C:-y=1的左，右顶点，P是双曲线C上的一4S1动点，直线PA，PB与x=1交于M,N两点，△PMN,△PAB的外接圆面积分别为S1,S2，则的最小值为S2()333A.B.C.D.116442y2x32(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知O为坐标原点，双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、22ab9 6右焦点分别是F1，F2，离心率为，点Px1,y1是C的右支上异于顶点的一点，过F2作∠F1PF2的平分线的2垂线，垂足是M，|MO|=2，若双曲线C上一点T满足F1T⋅F2T=5，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为()A.22B.23C.25D.262y2x33(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知F1，F2分别是双曲线Γ:2-2=1a>0,b>0ab的左、右焦点，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，CB=3F2A，BF2平分∠F1BC，则双曲线Γ的离心率为()A.7B.5C.3D.222234(2024·山西晋城·统考一模)双曲线C:x-y=m(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P(t,s)(s≠0)为C的右支上一点，分别以线段PF1，PF2为直径作圆O1，圆O2，线段OO2与圆O2相交于点M，其中O为坐标原点，则()A.O1O2=3mB.OM=mπC.点(t,0)为圆O1和圆O2的另一个交点D.圆O1与圆O2有一条公切线的倾斜角为42235(2024·重庆·统考一模)已知点M为圆C:(x-2)+y=4上任意一点，B-2,0，线段MB的垂直平分线交直线MC于点Q．(1)求Q点的轨迹方程；(2)设过点C的直线l与Q点的轨迹交于点P，且点P在第一象限内．已知A-1,0，请问是否存在常数λ，使得∠PCA=λ∠PAC恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．10 36(2024·吉林延边·统考一模)如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双2y2x曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:-=1a>0,b>0的左22ab､右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos∠BAC=4-，AB⊥BD，则E的离心率为.5题型04抛物线237(2024·河北·校联考一模)若抛物线x=2py(p>0)上一点Mn,6到焦点的距离是4p，则p的值为()12767A.B.C.D.71276238(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知抛物线C:y=4x的焦点为F，若点Q是抛物线C上到点4,0距离最近的点，则QF=.239(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)抛物线C：y=2px(p>0)的顶点为O，斜率为1的直线l过点2p,0，且与抛物线C交于A，B两点，若△OAB的面积为85，则该抛物线的准线方程为()2A.x=-1B.x=-C.x=-2D.x=-2211 2π40(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)设抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的4p直线与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l切于点M-2，2，则C的方程为()2222A.y=2xB.y=4xC.y=6xD.y=8x241(2024·重庆·统考一模)已知抛物线C:y=4x的焦点为F,O为坐标原点，其准线与x轴交于点M，经过点M的直线l与抛物线交于不同两点Ax1,y1,Bx2,y2，则下列说法正确的是()A.OA⋅OB=5B.存在∠AMF=50°C.不存在以AB为直径且经过焦点F的圆π5πD.当△ABF的面积为42时，直线l的倾斜角为或6642(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点P22,5且平行于y轴的一条光线射向抛物2线C:x=4y上的A点，经过反射后的反射光线与C相交于点B，则AB=()79A.B.9C.36D.221243(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知F为拋物线C:y=x的焦点，过点F的直线l与42拋物线C交于不同的两点A，B，拋物线在点A,B处的切线分别为l1和l2，若l1和l2交于点P，则|PF|25+的最小值为.AB44(2024·山西晋城·统考一模)吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线(设该抛物线的焦点到准线的距离为p米)的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为a米(将每根吊索视为线段)．已知最中间的吊索的长度(即图中点A到桥面的距离)为b米，则最靠近前主塔的吊索的长度(即图中点B到桥面的距离)为()222298a+pb49a+pb169a+pb169a+2pbA.米B.米C.米D.米ppp2p245(2024·浙江·校联考一模)设P是抛物线弧C:y=8x(y>0)上的一动点，点F是C的焦点，A4,4，则()A.F2,0B.若PF=4，则点P的坐标为2,49C.AP+AF的最小值为2+25D.满足△PFA面积为的点P有2个212 246(2024·广东深圳·校考一模)设抛物线C:y=2pxp>0的焦点为F，点Pa,4在抛物线C上，△POF(其中O为坐标原点)的面积为4．(1)求a；4(2)若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为，证明：直线l过定3点，并求出此定点坐标．47(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)在平面直角坐标系xOy中，点F0,1,P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记P的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)设M为直线y=-1上的动点，过M的直线与Γ相切于点A，过A作直线MA的垂线交Γ于点B，求△MAB面积的最小值.13 248(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)设抛物线C:y=2px(p>0)，过焦点F的直线与抛物线C交于点Ax1,y1，Bx2,y2.当直线AB垂直于x轴时，AB=2.(1)求抛物线C的标准方程.(2)已知点P1,0，直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D.①求证：直线CD过定点；②求△PAB与△PCD面积之和的最小值.14 249(2024·云南曲靖·统考一模)已知斜率为1的直线l1交抛物线E:x=2pyp>0于A、B两点，线段AB的中点Q的横坐标为2．(1)求抛物线E的方程；(2)设抛物线E的焦点为F，过点F的直线l2与抛物线E交于M、N两点，分别在点M、N处作抛物线E的切线，两条切线交于点P，则△PMN的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l2的方程；若不存在，请说明理由．250(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)已知曲线Γ:x=4y．t(1)若点Tt,s是Γ上的任意一点，直线l:y=x-s，判断直线l与Γ的位置关系并证明．2(2)若E是直线y=-1上的动点，直线EA与Γ相切于点A，直线EB与Γ相切于点B．①试问∠AEB是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．EBAB②若直线EA,EB与x轴分别交于点C,D，证明：=．ECCD15