2024年高考数学一模好题分类汇编：平面向量、概率、统计、计数原理（解析版）
资源预览文档简介为自动调取，内容显示的完整度及准确度或有误差，请您下载后查看完整的文档内容。
1/27
2/27
3/27
4/27
5/27
6/27
7/27
8/27
9/27
10/27
剩余17页未读，查看更多内容需下载
平面向量、概率、统计、计数原理题型01平面向量题型02概率题型03统计题型04计数原理题型01平面向量1.(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知单位向量a,b满足a⊥a-2b，则a,b=()2ππππA.B.C.D.3346【答案】B1【分析】由向量垂直得到方程，求出a⋅b=，再利用向量夹角余弦公式求出答案.22【详解】由a⊥a-2b得a⋅a-2b=|a|-2a⋅b=0，又a,b为单位向量，1∴a⋅b=，2a⋅b1∴cosa,b==，又a,b∈[0,π]，2abπ∴a,b=.3故选：B.2.(2024·重庆·统考一模)已知向量a,b满足a=2,b=3,a-2b=5，则a⋅b=．15【答案】4【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得.22【详解】由a-2b=5，得a+4b-4a⋅b=25，而a=2,b=3，15则4+4×9-4a·b=25，所以a⋅b=.415故答案为：43.(2024·福建厦门·统考一模)已知a，b为单位向量，若|a+b|=|a-b|，则a+b与a-b的夹角为()ππ2π3πA.B.C.D.3234【答案】B【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求(a+b)⋅(a-b)即可判断夹角大小.22π【详解】由题意(a+b)⋅(a-b)=a-b=0，则a+b与a-b的夹角为.2故选：B4.(2024·云南曲靖·统考一模)若向量a=4,0，b=1,3，则向量a在向量b上的投影向量坐标为．【答案】1,31,【分析】利用向量的数量积运算与投影向量的定义求解即可.【详解】因为a=4,0，b=1,3，所以a⋅b=4+0=4,b=1+3=2，a⋅bb4b所以向量a在向量b上的投影向量的坐标为⋅=×=b=1,3.22bb故答案为：1,3.5.(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)若a+b=a-b,a=1,2,b=m,3，则实数m=()A.6B.-6C.3D.-3【答案】B【分析】将a+b=a-b两边平方，结合数量积的运算律求出a⋅b，再根据数量积的坐标公式即可得解.22【详解】因为a+b=a-b，所以a+b=a-b，2222即a+b+2a⋅b=a+b-2a⋅b，所以a⋅b=0，即m+6=0，解得m=-6.故选：B.6.(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)已知向量a=(1，2)，b=(1，-3)，则()A.a⎳(a+b)B.a⎳(a-b)C.a⊥(a-b)D.a⊥(a+b)【答案】D【分析】结合向量的加减运算及数量积运算进行判断.【详解】解：因为a=(1，2)，b=(1，-3)，所以a+b=(2，-1),a-b=(0,5)，则a⋅a+b=1×2-2×1=0,a⋅a-b=1×0+2×5=10，得a⊥a+b.故选：D7.(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)已知向量a=1,m,b=3,-1．若2a-b⎳a+2b，则实数m的值为．1【答案】-3【分析】根据向量的坐标运算和向量共线的坐标形式得到方程，解出即可.【详解】因为a=(1,m),b=(3,-1)，所以2a-b=(-1,2m+1),a+2b=(7,m-2).1又(2a-b)⎳(a+2b)，所以-(m-2)-7(2m+1)=0，解得m=-.31故答案为：-.38.(2024·山西晋城·统考一模)已知两个单位向量a，b的夹角为70°，则-a与a+b的夹角为．【答案】145°【分析】利用向量加减运算结合夹角定义求解.【详解】设a=OA，b=OB，a-b=OC，因为a，b均为单位向量，所以四边形OACB为菱形，且OC平分∠AOB，2,所以a与a+b的夹角为70°÷2=35°，则-a与a+b的夹角为180°-35°=145°．故答案为：145°9.(2024·河北·校联考一模)已知单位向量a,b满足2a+b=3，则a-b=.【答案】31【分析】利用向量数量积的运算律及已知可得a⋅b=-，再由运算律求a-b即可.2221【详解】因为2a+b=3，所以4a+4a⋅b+b=3，所以a⋅b=-，2222则(a-b)=a-2a⋅b+b=3，故a-b=3.故答案为：310.(2024·广东深圳·校考一模)已知向量a=1,m，b=3,-2，且(a+b)⊥b，则m=A.-8B.-6C.6D.8【答案】D【分析】由已知向量的坐标求出a+b的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵a=(1,m),b=(3,-2),∴a+b=(4,m-2)，又(a+b)⊥b，∴3×4+(-2)×(m-2)=0，解得m=8．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．11.(2024·浙江·校联考一模)已知平面向量a,b满足：b=2a=2,a与b的夹角为120°，若λa+b⊥a-bλ∈R，则λ=()35A.0B.1C.D.22【答案】D【分析】先计算平面向量a,b的数量积，再利用λa+b⋅a-b=0，列式解得即可.°1【详解】由题意，得a⋅b=a⋅bcos120=1×2×-2=-1，22由λa+b⊥a-b，得λa+b⋅a-b=0，即λa+1-λa⋅b-b=0，5∴λ-1-λ-4=0，解得λ=.2故选：D12.(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知向量a,b满足a=1,b=t,2-t,a-b与a垂直，则a-b的最小值为()2A.2B.C.1D.32【答案】C3,【分析】向量垂直则数量积为零，由此求出a⋅b，求a-b，利用平方法转化为数量积进行计算．2【详解】由a-b与a垂直，得a-b⋅a=0，则a⋅b=a=1，222222所以a-b=a-2a⋅b+b=1-2×1+t+(2-t)=2(t-1)+1≥1，所以当t=1时，a-b的最小值为1．故选：C题型02概率13.(2024·广东深圳·校考一模)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x，则这6个点数的中位数为4的概率为()1112A.B.C.D.6323【答案】A【分析】根据x的六种取值情况分别得出中位数，再利用古典概型概率公式即得.【详解】当x=1,2,3时，这6个点数的中位数为3，当x=4时，这6个点数的中位数为4，当x=5,6时，这6个点数的中位数为4.5，1故由古典概型概率公式可得：P=.6故选：A.14.(2024·辽宁沈阳·统考一模)下图是离散型随机变量X的概率分布直观图，其中3a=5b,2b=3c，则()A.a=0.5B.EX=2.3C.DX=0.61D.D2X=1.22【答案】ABC【分析】由所有取值频率之和为1，结合已知条件，解出a,b,c，利用期望和方差公式计算数据，验证选项即可.a+b+c=1,【详解】由题知3a=5b,解得a=0.5,b=0.3,c=0.2，A选项正确；2b=3c,所以EX=1×0.2+2×0.3+3×0.5=2.3，B选项正确；222DX=(1-2.3)×0.2+(2-2.3)×0.3+(3-2.3)×0.5=0.61，C选项正确；2D2X=2⋅Dx=2.44，D选项错误.故选：ABC.215.(2024·重庆·统考一模)已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且X∼N5.5,σ，P(x>6)=0.2．现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为4,()A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748【答案】B【分析】根据正态分布的对称性结合概率的乘法公式即可.【详解】由题意得P(x>5.5)=0.5，则P(5.5<x<6)=0.5-0.2=0.3，则p(5<x<6)=0.3×2=0.6，2233则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为c30.6×0.4+c30.6=0.648,故选：b.16.(2024·河北·校联考一模)在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为()1418a.b.c.d.99327【答案】b【分析】分别求出“甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法”和“每个地区至少安排1名专家的安排方法”的种数，再由古典概型的计算公式求解即可.4【详解】甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：3=81种；23每个地区至少安排1名专家的安排方法有：c4a3=36种；364由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：=.819故选：b.17.(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以a1，a2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以b表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是()5113a.a1，a2互斥b.pba1=c.pa2b=d.pb=7721【答案】c【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.【详解】因为每次只取一球，故a1，a2是互斥的事件，故a正确；1254由题意得pa1=，pa2=，pba1=，pba2=，3377152413pb=pa1b+pa2b=×+×=，故b，d均正确；373721248因为pa2b=×=，故c错误.3721故选：c.18.(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知某人每次投篮的命中率为p0<p<1，投进一球得14dx-3分，投不进得0分，记投篮一次的得分为x，则的最大值为．2ex【答案】2-23 -23="">1=p，则P-1≤ξ≤0=-p2D.某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人.【答案】BCD1【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得p=，知A错误；将数据按照从小到大顺序排序3后，根据百分位数的估计方法直接求解知B正确；由正态分布曲线的对称性可求得C正确；根据分层抽样原则可计算得到高二应抽取学生数，由此可得高三数据，知D正确.EX=np=3021【详解】对于A，∵X∼Bn,p，∴，∴1-p=，解得：p=，A错误；DX=np1-p=2033对于B，将数据从小到大排序为64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，∵10×45%=4.5，∴45%分位数为第5个数，即78，B正确；111对于C，∵ξ∼N0,1，∴P-1≤ξ≤0=1-Pξ>1-Pξ<-1=1-2Pξ>1=-p，222C正确；2011对于D，∵抽样比为=，∴高二应抽取360×=18人，则高三应抽取57-20-18=19人，D正4002020确.故选：BCD.21.(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获6,3胜的概率都是.5(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；(2)若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.5821966【答案】(1)；(2)分布列答案见解析，数学期望：.3125625【分析】(1)比赛恰好打了6局的情况有两种：甲胜或乙胜，即可求解；(2)分析可知X的可能取值为2，3，4，5，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列和EX.43423486【详解】解：(1)比赛结束时恰好打了6局，甲获胜的概率为P1=C5×5×5×5=3125，13124296恰好打了6局，乙获胜的概率为P2=C5×5×5×5=3125，48696582所以比赛结束时恰好打了6局的概率为P=P1+P2=+=.312531253125(2)X的可能取值为2，3，4，5，329PX=2==，525123336PX=3=C2×××=，5551251322324124PX=4=C3×5×5×5+5=625，132333233296PX=5=C4×5×5×5+C4×5×5×5=625.所以X的分布列如下：X234593612496P25125625625936124961966故EX=2×+3×+4×+5×=.2512562562562522.(2024·广东深圳·校考一模)某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．(1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；(2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望．4【答案】(1)；1519(2)分布列见解析，.3【分析】(1)利用古典概率公式即求；(2)由题可知X的可能取值为5，6，7，8，然后利用求分布列的步骤及期望公式即得.2【详解】(1)从这6人中随机选出2人，共有C6=15种选法，22其中这2人参加志愿者活动次数相同的选法有C3+C2=4种．，4故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为．15(2)由题可知，X的可能取值分别为5，6，7，8，121C31C3+C21PX=5==，PX=6==，C25C2366112C3C22C21PX=7==，PX=8==．C25C215667,故X的分布列为：X56781121P53515112119∴EX=5×+6×+7×+8×=．53515323.(2024·辽宁沈阳·统考一模)某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户(后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行)对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统计结果：①用户选择甲公司的频率为0.32，选择乙公司的频率为0.68：②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62，选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78；③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68，选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61；④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21，选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)该用户选择乙公司出行的概率更大，理由见解析【分析】(1)利用全概率公式可计算出用户网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，即可得出结论；(2)利用条件概率公式计算出该用户对甲、乙两个公司网约车舒适度满意率，比较大小后可得出结论.【详解】(1)解：设事件M:用户选择甲公司的网约车出行，事件A:用户对等待时间满意，事件B:用户对乘车舒适度满意，事件C:用户对乘车费用满意.则PA=PMPAM+PMPAM=0.32×0.62+0.68×0.78=0.7288，PB=PMPBM+PMPBM=0.32×0.68+0.68×0.61=0.6324，PC=PMPCM+PMPCM=0.32×0.21+0.68×0.32=0.2848所以，用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小.PMB0.32×0.68544(2)解：由题知，PMB===，PB0.63241581PMB0.68×0.611037PMB===，PB0.63241581所以，PMB<pmb，故该用户选择乙公司出行的概率更大.24.(2024·云南曲靖·统考一模)2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行．树人中学高一*年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动．比赛采用2n-1局n胜制n∈n的比赛规则，即先赢下n局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1-p，比赛结束时，甲最终获胜的概率pn．1(1)若p=,n=2，结束比赛时，比赛的局数为x，求x的分布列与数学期望；2(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即p3>P2，求p的取值范围．8,5【答案】(1)分布列见解析，期望为；21(2)<p<1.2【分析】(1)先写出离散型随机变量的分布列，再求出数学期望即可；(2)先根据已知不等式列式求解，再根据单调性定义作差证明单调递增说明结论.1【详解】(1)p=,n=2，即采用3局2胜制，x所有可能值为2,3，212121112111121p(x=2)=2+2=2，p(x=3)=c222+c222=2，x的分布列如下，x2311p22115所以e(x)=2×+3×=.222(2)采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用ξ表示3局比赛中甲胜的局数，则ξ∼b(3,p)，22332甲最终获胜的概率为p2=pξ=2+pξ=3=c3p1-p+c3p=p3-2p，采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用η表示5局比赛中甲胜的局数，则η∼b(5,p)，3324455甲最终获胜的概率为p3=pξ=3+pξ=4+pξ=5=c5p1-p+c5p1-p+c5p32232=p[10(1-p)+5p(1-p)+p]=p(6p-15p+10)，322232则p3-p2=p6p-15p+10-p3-2p=3p(2p-5p+4p-1)22221=3p(p-1)(2p-3p+1)=3p(p-1)(2p-1)>0，得<p<1.225.(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)一只led灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制1每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄231光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.44(1)求第4次闪光为红光的概率；(2)求第n次闪光为红光的概率.3【答案】(1)1641n-11(2)⋅-+545【分析】(1)由互斥加法、独立乘法公式运算即可求解.(2)由全概率公式得递推f(n)=1-1f(n-1)式，构造等比数列f(n)-1即可求解.445【详解】(1)由题意，前4次闪光的顺序为“红黄蓝红”或“红蓝黄红”，1311313所以p=××+××=.24424416(2)设事件an表示“第n次闪光为红光”，事件bn表示“第n次闪光为黄光”，事件cn表示“第n次闪光为蓝光”，且pan=f(n)，pbn=g(n)，则pcn=1-f(n)-g(n)，由题意知f(1)=pa1=1，当n≥2时，pan=pbn-1panbn-1+pcn-1pancn-1，1111即f(n)=g(n-1)+[1-f(n-1)-g(n-1)]，整理得f(n)=-f(n-1)，44449,111所以f(n)-=-f(n-1)-，545所以f(n)-1是以f(1)-1=4为首项，-1为公比的等比数列，5554141n-1所以f(n)-=⋅-，55441n-1141n-11故pan=f(n)=5⋅-4+5，即第n次闪红光的概率为5⋅-4+5.26.(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()a.甲与丙相互独立b.甲与丁相互独立c.乙与丙不相互独立d.丙与丁不相互独立【答案】bcd【分析】计算各事件概率，再根据独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案.【详解】两次取出的球的数字之和为8，有2,6,3,5,4,4,5,3,6,2共5种情况，55所以p丙==；两次取出的球的数字之和为7，有1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1共6种情6×636况，611所以p丁==；p甲=p乙=；6×666对于a，p(甲丙)=0≠p(甲)p(丙)，故甲与丙不相互独立，错误；1对于b，p(甲丁)==p(甲)p(丁)，故甲与丁相互独立，正确；361对于c，p(乙丙)=≠p(乙)p(丙)，故乙与丙不相互独立，正确；36对于d，p(丙丁)=0≠p(丁)p(丙)，故丙与丁不相互独立，正确.故选：bcd.27.(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)在工业生产中轴承的直径服从n3.0,0.0025，购买者要求直径为3.0±ε，2不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在4.55%之内，则ε至少为；(若x~nμ,σ，则px-μ<2σ=0.9545)1【答案】0.1 102="">0.8，所以他不买的羽毛球品牌一定不是品牌B．32若他不买品牌A的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为0.9×+0.7×+0.6×3+2+33+2+335.9==0.7375．3+2+3843若他不买品牌C的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为0.8×+0.9×+0.6×4+3+34+3+337.7==0.77．4+3+31043若他不买品牌D的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为0.8×+0.9×+0.7×4+3+24+3+227.3=≈0.81．4+3+2912,故答案为：D32.(2024·河北·校联考一模)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为p(0<p<1)．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记x为试验结束时所进行的试验次数，x的数学期望为ex．1(1)证明：ex<；p(2)某公司意向投资该产品，若p=0.2，每次试验的成本为a(a>0)元，若试验成功则获利8a元，则该公司应如何决策投资？请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)应该投资，理由见解析k-17【分析】(1)由题意，X=1,2,3,...,8，P(X=k)=p(1-p),k=1,2,⋯,7,P(X=8)=(1-p)，列出分布列，0126列出E(X)，乘公比错位相减法求和S=(1-p)+2(1-p)+3(1-p)+⋯+7(1-p)，分析可证明EX<1；p1(2)由(1)可得E(X)<=5，分析即得解p【详解】(1)由题意，X=1,2,3,...,8k-17故P(X=k)=p(1-p),k=1,2,⋯,7,P(X=8)=(1-p)分布列如下：X12345678234567Ppp(1-p)p(1-p)p(1-p)p(1-p)p(1-p)p(1-p)(1-p)01267所以X的数学期望E(X)=p(1-p)+2p(1-p)+3p(1-p)+⋯+7p(1-p)+8(1-p)，0126记S=(1-p)+2(1-p)+3(1-p)+⋯+7(1-p)，1237(1-p)S=(1-p)+2(1-p)+3(1-p)+⋯+7(1-p)，71-1-p012677作差可得，pS=1-p+1-p+1-p+⋯+1-p-71-p=-71-p，p7871-(1-p)71-(1-p)1则E(X)=pS+8(1-p)=+(1-p)=<；ppp1(2)由(1)可知E(X)<=5，则试验成本的期望小于5a元，p试验成功则获利8a元，且8a>5a，则该公司应该投资该产品33.(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产业化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服务方式，培育新业态新产品、新模式，促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质量，准备从m个跟团游团队和6个私家游15团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率为.91(1)若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队的概率；(2)若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.14【答案】(1)1912(2)分布列见解析，7【分析】(1)根据题意可知共有m+6个团队，根据全是私家游团队的概率结合古典概型求出m，再分3个团队全是私家游团队和3个团队全是跟团游团队两种情况讨论，结合古典概型即可得解；13,(2)先写出随机变量ξ的所有可能取值，再求出对应随机变量的概率，从而可得分布列，再根据期望公式求期望即可.【详解】(1)由题意知共有m+6个团队，22一次抽取2个团队的情况有Cm+6种，其中全是私家游团队的情况有C6种，2C63015故一次抽取2个团队，全是私家游团队的概率是==，C2m+6m+591m+62整理得m+11m-152=0，解得m=8或m=-19(舍去)，3若一次抽取的3个团队全是私家游团队，则共有C6=20种情况，3若一次抽取的3个团队全是跟团游团队，则共有C8=56种情况，所以在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，5614这3个团队全是跟团游团队的概率为=；20+5619(2)由题意知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，413C87010C6C833648Pξ=0===，Pξ=1===，C41001143C4100114314142231C6C842060C6C8160Pξ=2===，Pξ=3==，C41001143C4100114144C615Pξ=4==，C4100114故ξ的分布列为ξ0123410486016015P143143143100110011048601601512数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=.14314314310011001734.(2024·吉林延边·统考一模)“斯诺克(Snooker)”是台球比赛的一种，意思是“阻碍､障碍”，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一.现甲､乙两人进行比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球(例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球⋯⋯)，没有平局，已知在甲的“开球局”，甲获得11该局比赛胜利的概率为，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，并且通过“猜硬币”，甲获32得了第一局比赛的开球权.(1)求甲以3∶1赢得比赛的概率；(2)设比赛的总局数为ξ，写出随机变量ξ的分布列并求其数学期望E(ξ).5【答案】(1)；3649(2)分布列见解析，数学期望为.12【分析】(1)设出事件，利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式进行计算；(2)求出随机变量ξ的可能取值及相应的概率，从而求出分布列和数学期望.【详解】(1)记第i局甲赢为事件Ai，乙赢为事件Bi，则P(A)=PA1A2B3A4+PA1B2A3A4+PB1A2A3A4112111112111=×××+×××+×××3232323232325=3614,(2)由题意知ξ的取值为3，4，5.Pξ=3=PA1A2A3+PB1B2B31112125=××+××=32332318Pξ=4=PA1A2B3A4+PA1B2A3A4+PB1A2A3A4+PB1B2A3B4+PB1A2B3B4+PA1B2B3B452111212111215813=+×××+×××+×××=+=3632323232323236363651313Pξ=5=1--=183636由题意得，随机变量ξ的分布列如下：ξ34551313P1836365131314749数学期望Eξ=3×+4×+5×==.183636361235.(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到红球的概率；(2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为P1；第1次摸到红球的概率为P2；在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为P3；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P4.求P1,P2,P3,P4；(3)对于事件A,B,C，当PAB>0时，写出PA,PB∣A,PC∣AB,PABC的等量关系式，并加以证明.7【答案】(1)10(2)详见解析(3)详见解析【分析】(1)根据全概率公式求解即可；(2)根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解；(3)根据(2)猜想PABC=PAPBAPCAB，由条件概率公式证明即可.【详解】(1)记事件“第i次摸到红球”为Aii=1,2,3,⋯,10，则第2次摸到红球的事件为A2，于是由全概率公式，72377得PA2=PA1PA2|A1+PA1PA2|A1=×+×=.103109103A77(2)由已知得P1=PA1A2A3=3=，A10247P2=PA1=，102PA1A2A7107102P3=PA2|A1==2×=×=，PA1A1071573PA1A2A37155P4=PA3|A1A2==×=.PA1A22478(3)由(2)可得P1=P2P3P4，即PA1A2A3=PA1PA2|A1PA3|A1A2，可猜想：PABC=PAPBAPCAB,证明如下：由条件概率及P(A)>0,P(AB)>0，15,PABPABC得PB|A=，PC|AB=，PAPABPABPABC所以P(A)PBA)P(CAB=PA⋅⋅=PABC.PAPAB36.(2024·福建厦门·统考一模)已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者a,b,c,d将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．(1)求a,b,c三人均被分至同一队的概率；(2)记甲，乙两队的最终人数分别为n1，n2，设随机变量X=n1-n2，求E(X)．2【答案】(1)；1538(2).35【分析】(1)由题意，a,b,c三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出a被分至甲队即a摸出红球的概率、b被分至甲队即b摸出红球的概率、c被分至甲队即c摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求a,b,c三人均被分至同一队的概率；(2)根据题意有X可能取值为4,2,0，分析X各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.【详解】(1)a,b,c三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件A=“a被分至甲队”，事件B=“b被分至甲队”，事件C=“c被分至甲队”，1当a即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a被分至甲队即a摸出红球的概率为P(A)=；22当a被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b被分至甲队即b摸出红球的概率为P(B|A)=；5当a,b均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c被分至甲队即c摸出红球的概率为P(C|AB)=1；3121111所以P(AB)=P(A)P(B|A)=×=，则P(ABC)=P(AB)PC|AB)=×=，25553151同理知：新增登山爱好者a,b,c均被分至乙队的概率也为，152所以a,b,c三人均被分至同一队的概率为.15(2)由题设，X可能取值为4,2,0，2×2×2×24X=4为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则P(X=4)=2×=，4×5×6×7105X=2为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第k(k=1,2,3,4)名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则2×3×3×392×3×3×39P1=P(k=1)=2×=，P2=P(k=2)=2×=，4×5×6×7704×5×6×7702×2×4×342×2×2×52P3=P(k=3)=2×=，P4=P(k=4)=2×=，4×5×6×7354×5×6×7217所以P(X=2)=P1+P2+P3+P4=，15X=0为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则P(X=0)=1-P(X=2)-P(X=4)=16,52，105475238所以E(X)=4×+2×+0×=.1051510535题型03统计37.(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分如下：10,7,6,9,8,9,5，这组数据的中位数和众数分别是()A.7,9B.9,9C.9,8D.8,9【答案】D【分析】把7个数由小到大重新排序，即可得到中位数为8，众数为9.【详解】某乡镇7个村的得分：10,7,6,9,8,9,5，由小到大排序为：5,6,7,8,9,9,10，所以中位数为8，众数为9.故选：D.38.(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：858788898990919192939393949698则这组数据的40%分位数为()A.90B.91C.90.5D.92【答案】C【分析】根据百分位数的定义计算即可.90+91【详解】由题意，15×0.4=6，故这组数据的40%分位数为从小到大第6，7位数据的平均数，即=290.5.故选：C39.(2024·河北·校联考一模)现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为()A.3.5B.4C.4.5D.5【答案】D【分析】利用平均数和方差公式可求得新数据的方差.【详解】设甲组数据分别为x1、x2、⋯、x6，乙组数据分别为x7、x8、⋯、x12，66661122甲组数据的平均数为xi=3，可得xi=18，方差为xi-3=5，可得xi-3=30，6i=1i=16i=1i=1121212121122乙组数据的平均数为xi=5，可得xi=30，方差为xi-5=3，可得xi-5=18，6i=7i=76i=7i=712118+30混合后，新数据的平均数为xi==4，12i=112612612122122方差为xi-4+xi-4=xi-3-1+xi-5+112i=1i=712i=1i=7612612122=xi-3+xi-5-2xi-3+2xi-5+1212i=1i=7i=1i=71=×30+18-2×3-3×6+2×5-5×6+12=5.12故选：D.17,40.(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知一组数据：12,31,24,33,22,35,45,25,16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是()A.中位数不变B.平均数不变C.方差不变D.第40百分位数不变【答案】AD【分析】依次分别算出这组数据去掉12和45前后的平均数，方差，第40百分位数和中位数，对比即可得解.【详解】将原数据按从小到大的顺序排列为12,16,22,24,25,31,33,35,45，其中位数为25，平均数是12+16+22+24+25+31+33+35+45÷9=27，1222222222824方差是×(-15)+(-11)+(-5)+(-3)+(-2)+4+6+8+18=，99由40%×9=3.6，得原数据的第40百分位数是第4个数24.将原数据去掉12和45，得16,22,24,25,31,33,35，186其中位数为25，平均数是16+22+24+25+31+33+35÷7=，717423221821123124525921916方差是7×-7+-7+-7+-7+7+7+7=49，由40%×7=2.8，得新数据的第40百分位数是第3个数24，故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A，D正确，B，C错误.故选：AD.41.(2024·重庆·统考一模)2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，设这组样本数据的75%分位数为x，众数为y，则()A.x=88,y=90B.x=83,y=90C.x=83,y=85D.x=88,y=85【答案】D【分析】首先a=0.05，再根据百分位数和众数的计算方法即可.【详解】由题意得0.005+0.03+a+0.015×10=1，解得a=0.05，因为0.05+0.3=0.35，0.05+0.3+0.5=0.85，则0.35<0.75<0.85，则样本数据的75%分位数位于80,90，则0.35+x-80×0.05=0.75，解得x=88，80+90因为样本数据中位于成绩80,90之间最多，则众数为y==85，2故选：D.42.(2024·福建厦门·统考一模)已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则()A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同18,【答案】BD【分析】根据已知平均数的关系求得a=28，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可.20+21+22+23+24+25a+23+24+25+26+27【详解】由题设，=-3，所以a=28，66甲组数据中6×70%=4.2，故第70百分位数为24，A错；甲乙组数据的极差都为5，B对；25+26乙组数据从小到大为23,24,25,26,27,28，故其中位数为=25.5，C错；2由上易知：甲的平均数为22.5，乙的平均数为25.5，122222235所以甲的方差为×(2.5+1.5+0.5+0.5+1.5+2.5)=，612122222235乙的方差为×(2.5+1.5+0.5+0.5+1.5+2.5)=，612故两组数据的方差相同，D对.故选：BD43.(2024·广东深圳·校考一模)某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：月份编号x12345销量y(万件)5096142185227若y与x线性相关，其线性回归方程为y=bx+7.1，则下列说法正确的是()A.线性回归方程必过3,140B.b=44.3C.相关系数r<0D.6月份的服装销量一定为272.9万件【答案】AB【分析】对于A，由回归直线过样本中心点判断，对于B，将样本中心点代入回归方程求解，对于C，由b的值分析判断，对于D，将x=6代入回归方程求解.1+2+3+4+550+96+142+185+227【详解】对于A，因为x==3,y==140，所以线性回归方程必55过3,140，所以A正确；对于B，由线性回归直线必过3,140，所以140=3b+7.1，解得b=44.3，所以B正确；对于C，因为b=44.3>0，所以相关系数r>0，所以C错误；对于D，当x=6时，y=6×44.3+7.1=272.9，所以可预测6月份的服装销量约为272.9万件，所以D错误．故选：AB．44.(2024·浙江·校联考一模)为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数x与所用时间y(单位：min)的5组数据为：10,52,20,67,30,70,40,75,50,86，根据以上数据可得经验回归方程为：y=0.76x+a，则()A.a=47.3B.回归直线y=0.76x+a必过点30,70C.加工60个零件的时间大约为92.8minD.若去掉30,70，剩下4组数据的经验回归方程会有变化【答案】BC【分析】求得数据的样本中心点可判断B；结合回归方程可求出a=47.2可判断A；将x=60代入回归方程19,求得预测值可判断C；根据y=0.76x+47.2恒过30,70，可判断D.11【详解】x=10+20+30+40+50=30，y=52+67+70+75+86=70，55所以y=0.76x+a恒过30,70，所以70=0.76×30+a，解得：a=47.2，故A错误；B正确；所以y=0.76x+47.2，令x=60，则y=0.76×60+47.2=92.8，故加工60个零件的时间大约为92.8min，故C正确；因为y=0.76x+47.2恒过30,70，所以剩下4组数据的经验回归方程不会有变化，故D错误.故选:BC.bx-0.6bx-0.645.(2024·云南曲靖·统考一模)已知变量y关于x的回归方程为y=e，若对y=e两边取自然对数，可以发现lny与x线性相关．现有一组数据如下表所示：x123453467yeeeee则当x=6时，预测y的值为()98A.9B.8C.eD.e【答案】C【分析】令u=lny，可得出u=lny=bx-0.6，求出x、u的值，将x、u的值代入u=bx-0.6，求出b的值，可得出变量y关于x的回归方程，然后令x=6，可得出y的值.bx-0.6【详解】令u=lny，由y=e可得u=lny=bx-0.6，如下表所示：x123453467yeeeeeu134671+2+3+4+51+3+4+6+7由表格中的数据可得x==3，u==4.2，551.6x-0.6则有3b-0.6=4.2，解得b=1.6，故y=e，1.6×6-0.69当x=6时，y=e=e.故选：C.46.(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而许多人被睡眠时长过短､质量不高等问题所困扰.2023年3月21日是第23个世界睡眠日，这一天某研究小组随机调查了某高校100名学生在某一天内的睡眠情况，将所得数据按照[5.75,6.25),[6.25,6.75),[6.75,7.25),[7.25,7.75),[7.75,8.25),[8.25,8.75]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：20,(1)求a的值，并由频率分布直方图估计该校所有学生每一天的平均睡眠时长(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)每一天睡眠时长不低于7.75小时认定为睡眠充足，以频率代替概率，样本估计总体，在该高校学生中随机抽查3人，求至少有两人每一天睡眠时长充足的概率.【答案】(1)a=0.24，7.295(小时)(2)0.104【分析】(1)根据频率之和为1求得a，根据平均数的求法求得平均数.(2)根据独立重复事件概率计算公式求得所求概率.【详解】(1)0.06+0.08+a+0.34+0.56+0.72×0.5=1，解得a=0.24，依题意，该校学生每一天的平均睡眠时长为：6×4+6.5×12+7×28+7.5×36+8×17+3×8.5=7.295(小时)；10017+3(2)100名学生的睡眠充足的频率为=0.2，100以频率代替概率，样本估计总体，该校学生睡眠充足的概率为0.2，223所以至少有两人睡眠时长充足的概率为P=C3×0.2×1-0.2+0.2=0.104.47.(2024·重庆·统考一模)实现“双碳目标”是党中央作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某市电动汽车的销售情况，调查了该市某电动汽车企业近6年产值情况，数据如下表所示：年份201820192020202120222023编号x123456产值y/百万91830515980辆bx(1)若用模型y=a⋅e拟合y与x的关系，根据提供的数据，求出y与x的经验回归方程(精确到0.01)；(2)为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4S店当日5位购买电动汽车和3位购买燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车主人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，66参考数据：ui=20.88,xiui=80.58，其中ui=lnyi．i=1i=1参考公式：对于一组数据xi,yi(i=1,2,3,⋯,n)，其经验回归直线y=bx+a的斜率截距的最小二乘估计分21,nxiyi-nx⋅yi=1别为b=,a=y-bx．n22xi-nxi=11.98+0.43x【答案】(1)y=e(2)答案见解析bx【分析】(1)令u=lny=lnae=bx+lna，利用最小二乘法求出，即可得解；(2)分析可知，利用超几何分布X∼H4,5,8可得出随机变量的分布列，利用超几何分布的期望公式可求bx【详解】(1)令u=lny=lnae=bx+lna1+2+3+4+5+620.88x==3.5，u==3.48，666xiui-nx⋅ui=180.58-6×3.5×3.48则b===0.43，62222222221+2+3+4+5+6-6×3.5xi-nxi=1lna=3.48-0.43×3.5=1.98，1.98所以a=e，bx1.980.43x1.98+0.43x所以y=a⋅e=e×e=e(2)由题意得X=1,2,3,4，13C5C351Px=1===，C47014822C5C3303Px=2===，C4707831C5C3303Px=3===，C4707840C5C351Px=4===，C470148分布列为：X12341331P1477144×5数学期望EX==2.5848.(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢篮球不喜欢篮球合计男生40女生30合计2(1)根据所给数据完成上表，依据小概率值α=0.001的χ独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？(2)篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的22,32概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数X的分43布列和数学期望．2nad-bc2附：χ=a+bc+da+cb+dα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表见解析；与性别有关.13(2)分布列见解析，数学期望为.6【分析】(1)根据题意补全列联表，再计算出卡方值并与边界值比较即可；(2)根据独立事件的乘法公式计算出概率分布列，最后再利用期望公式即可.【详解】(1)依题意，2×2列联表如下：喜欢篮球不喜欢篮球合计男生6040100女生3070100合计90110200零假设H0:该校学生喜欢篮球与性别无关，22200(60×70-30×40)200χ==≈18.182>10.828=x0.001，100×100×90×11011根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为该校学生喜欢篮球与性别有关.(2)依题意，X的可能值为0，1，2，3，3221P(X=0)=1-4×1-3=48，13323221P(X=1)=C2×41-4×1-3+1-4×3=6，13323227P(X=2)=C2×41-4×3+4×1-3=16，3223P(X=3)=×=，438所以X的分布列为：X01231173P486168117313数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.4861686题型04计数原理49.(2024·辽宁沈阳·统考一模)如图，小明从街道的E处出发，到F处的老年公寓参加志愿者活动，若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是()23,A.8B.12C.16D.24【答案】D【分析】根据分步分类计数原理即可求解.【详解】中途共三次转向可以分为两类:第一类，第一次向右转，第二次向上转，第三次向右转，此时有3×4=12种方法，第二类，第一次向上转，第二次右转，最后向上转，此时共有4×3=12种方法.故总的方法有24种，故选：D.50.(2024·福建厦门·统考一模)《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有种．【答案】24【分析】先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可.3【详解】若三人选书没有要求，则有3=27种，若三人选择的书完全相同，则有3种，所以三人选择的书不全相同，不同的选法有27-3=24种.故答案为：24.51.(2024·重庆·统考一模)2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为()A.50B.36C.26D.14【答案】A【分析】按照2,2,1和3,1,1分组讨论安排.【详解】(1)按照2,2,1分3组安装，2①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有C4=6种，122②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有C4C3A2=24种，(2)按照3,1,1分3组安装，32①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有C4⋅A2=8种，22②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有C4A2=12种，故共有6+24+8+12=50种，故选：A.52.(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)某中学进行数学竞赛选拔考试，A，B，C，D，E共5名同学参加比赛，决出第1名到第5名的名次.A和B去向教练询问比赛结果，教练对A说：“你和B都没有得到冠军．”对B说：“你不是最后一名.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有()24,A.54种B.72种C.96种D.120种【答案】A【分析】根据题意分两种情况讨论：当A是最后一名，B可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次；当A不是最后一名，A，B需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法计数原理可得.【详解】根据题意可知A和B都没有得到冠军，且B不是最后一名，分两种情况：①A是最后一名，则B可以为第二、三、四名，即B有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，3有A3=6种情况，此时有3×6=18种名次排列情况；2②A不是最后一名，A，B需要排在第二、三、四名，有A3=6种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有3A3=6种情况，此时有6×6=36种名次排列情况，则5人的名次排列方式共有18+36=54种.故选A．53.(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)第33届奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校需要选派4名大学生去当志愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有种(用数字作答).【答案】105【分析】分别求出恰有两名女生人选、恰有3名女生人选、恰有4名女生人选的选法种数，根据分类加法计数原理，即可求得答案.22【详解】由题意可得恰有两名女生人选的选法有C5×C4=60种，31恰有3名女生人选的选法有C5×C4=40种，40恰有4名女生人选的选法有C5×C4=5种，所以至少有两名女生人选的选法有60+40+5=105(种)，故答案为：1051654.(2024·辽宁沈阳·统考一模)2x+的展开式中常数项的二项式系数为.x【答案】20【分析】求出二项式展开式的通项公式，令x的次数为0，求得答案.rr6-r16-rr3-r【详解】此二项式展开式的通项公式为Tr+1=C6(2x)=2C6x，xr=0,1,2,3,4,5,6，则当r=3时，对应的为常数项，3故常数项的二项式系数为C6=20，故答案为：20.1655.(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)在二项式(x-1)2x+的展开式中，常数项为．x【答案】-160【分析】写出二项式展开式的通项，令x的幂指数等于0可得答案.161616【详解】(x-1)2x+x=x2x+x-2x+x，16k6-k1kk6-k6-2k因为2x+x的通项公式为Tk+1=C6(2x)x=C62x(0≤k≤6，k∈N)，167所以在x2x+中，当6-2k=-1时，k=不满足；x21633在2x+x中，当6-2k=0时，k=3，则常数项为T4=C62=160.25,故答案为：-160．5625656.(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知多项式(x-2)+(x-1)=a0+a1x+a2x+⋯+a5x+a6x，则a1=.【答案】7456【分析】利用二项展开式的通项分别求得x-2和x-1的展开式的x项，进而求得a1的值.5【详解】对于(x-2)，r5-rr其二项展开式的通项为Tr+1=C5x(-2)，令5-r=1，得r=4，44故T5=C5x(-2)=80x，6对于(x-1)，k6-kk其二项展开式的通项为Tk+1=C6x(-1)，55令6-k=1，得k=5，故T6=C6x(-1)=-6x，所以a1=80+-6=74.故答案为：74.n(a-b)*57.(2024·山西晋城·统考一模)若(n∈N)的展开式存在常数项，则常数项为()25abA.-35B.35C.-21D.21【答案】C【分析】先确定n值，再利用通项公式求解.n525(a-b)C7a(-b)52【详解】若25的展开式存在常数项，则n=2+5=7，且常数项为25=-C7=-C7=-21．abab故选：C255258.(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)x-x+y的展开式中xy的系数为()A.-30B.-20C.20D.30【答案】A【分析】利用二项式定理展开式的通项公式进行计算即可.2525【详解】x-x+y=x-x+y，r25-rr其展开式的通项公式为Tr+1=C5x-xy，2232令r=2，则T3=C5x-xy，23而x-x的展开式的通项公式为：'k23-kkkk6-kTk+1=C3x⋅-x=-1C3x，2552令k=1，则x-x+y的展开式中xy的系数为:211C5×-1×C3=-30,故选：A.15159.(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)已知ax+x2x-x(a为常数)的展开式中所有项的系数和为232，则展开式中x的系数为．(用数字作答)．【答案】15【分析】代入x=1，解出a=1，再利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可.5【详解】令x=1，则(a+1)=32，即a=1，26,15k5-k1kk5-2k则对x+x，有Tk+1=C5xx=C5x，22令5-2k=1，即k=2，有T3=C5⋅x=10x，即有T3⋅2x=20x，13312令5-2k=3，即k=1，有T2=C5⋅x=5x，即有T2⋅-x=-5x，2故展开式中x的系数为15.故答案为：15.31860.(2024·河北·校联考一模)已知二项展开式fx=x-，下列说法正确的有()xA.fx的展开式中的常数项是56B.fx的展开式中的各项系数之和为0C.fx的展开式中的二项式系数最大值是70D.fi=-16，其中i为虚数单位【答案】BC【分析】结合二项式系数的性质、系数的性质及对数的运算计算即可得.k38-k1kkk24-4k【详解】Tk+1=C8x-x=-1C8x，66对A：令24-4k=0，即k=6，则T7=-1C8=28，故A错误；18对B：令x=1，即f1=1-=0，故各项系数之和为0，故B正确；148×7×6×5对C：由n=8，故二项式系数中的最大值为C8==70，故C正确；4×3×2×13188对D：fi=i-=-i+i=0，故D错误.i故选：BC.27</p<1)．现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8次．记x为试验结束时所进行的试验次数，x的数学期望为ex．1(1)证明：ex<；p(2)某公司意向投资该产品，若p=0.2，每次试验的成本为a(a></p<1.225.(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)一只led灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制1每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄231光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.44(1)求第4次闪光为红光的概率；(2)求第n次闪光为红光的概率.3【答案】(1)1641n-11(2)⋅-+545【分析】(1)由互斥加法、独立乘法公式运算即可求解.(2)由全概率公式得递推f(n)=1-1f(n-1)式，构造等比数列f(n)-1即可求解.445【详解】(1)由题意，前4次闪光的顺序为“红黄蓝红”或“红蓝黄红”，1311313所以p=××+××=.24424416(2)设事件an表示“第n次闪光为红光”，事件bn表示“第n次闪光为黄光”，事件cn表示“第n次闪光为蓝光”，且pan=f(n)，pbn=g(n)，则pcn=1-f(n)-g(n)，由题意知f(1)=pa1=1，当n≥2时，pan=pbn-1panbn-1+pcn-1pancn-1，1111即f(n)=g(n-1)+[1-f(n-1)-g(n-1)]，整理得f(n)=-f(n-1)，44449,111所以f(n)-=-f(n-1)-，545所以f(n)-1是以f(1)-1=4为首项，-1为公比的等比数列，5554141n-1所以f(n)-=⋅-，55441n-1141n-11故pan=f(n)=5⋅-4+5，即第n次闪红光的概率为5⋅-4+5.26.(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()a.甲与丙相互独立b.甲与丁相互独立c.乙与丙不相互独立d.丙与丁不相互独立【答案】bcd【分析】计算各事件概率，再根据独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案.【详解】两次取出的球的数字之和为8，有2,6,3,5,4,4,5,3,6,2共5种情况，55所以p丙==；两次取出的球的数字之和为7，有1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1共6种情6×636况，611所以p丁==；p甲=p乙=；6×666对于a，p(甲丙)=0≠p(甲)p(丙)，故甲与丙不相互独立，错误；1对于b，p(甲丁)==p(甲)p(丁)，故甲与丁相互独立，正确；361对于c，p(乙丙)=≠p(乙)p(丙)，故乙与丙不相互独立，正确；36对于d，p(丙丁)=0≠p(丁)p(丙)，故丙与丁不相互独立，正确.故选：bcd.27.(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)在工业生产中轴承的直径服从n3.0,0.0025，购买者要求直径为3.0±ε，2不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在4.55%之内，则ε至少为；(若x~nμ,σ，则px-μ<2σ=0.9545)1【答案】0.1></p<1.2【分析】(1)先写出离散型随机变量的分布列，再求出数学期望即可；(2)先根据已知不等式列式求解，再根据单调性定义作差证明单调递增说明结论.1【详解】(1)p=,n=2，即采用3局2胜制，x所有可能值为2,3，212121112111121p(x=2)=2+2=2，p(x=3)=c222+c222=2，x的分布列如下，x2311p22115所以e(x)=2×+3×=.222(2)采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用ξ表示3局比赛中甲胜的局数，则ξ∼b(3,p)，22332甲最终获胜的概率为p2=pξ=2+pξ=3=c3p1-p+c3p=p3-2p，采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用η表示5局比赛中甲胜的局数，则η∼b(5,p)，3324455甲最终获胜的概率为p3=pξ=3+pξ=4+pξ=5=c5p1-p+c5p1-p+c5p32232=p[10(1-p)+5p(1-p)+p]=p(6p-15p+10)，322232则p3-p2=p6p-15p+10-p3-2p=3p(2p-5p+4p-1)22221=3p(p-1)(2p-3p+1)=3p(p-1)(2p-1)></pmb，故该用户选择乙公司出行的概率更大.24.(2024·云南曲靖·统考一模)2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行．树人中学高一*年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动．比赛采用2n-1局n胜制n∈n的比赛规则，即先赢下n局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为p，乙获胜的概率为1-p，比赛结束时，甲最终获胜的概率pn．1(1)若p=,n=2，结束比赛时，比赛的局数为x，求x的分布列与数学期望；2(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即p3></x<6)=0.5-0.2=0.3，则p(5<x<6)=0.3×2=0.6，2233则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为c30.6×0.4+c30.6=0.648,故选：b.16.(2024·河北·校联考一模)在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲､乙､丙､丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的概率为()1418a.b.c.d.99327【答案】b【分析】分别求出“甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法”和“每个地区至少安排1名专家的安排方法”的种数，再由古典概型的计算公式求解即可.4【详解】甲､乙､丙､丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：3=81种；23每个地区至少安排1名专家的安排方法有：c4a3=36种；364由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：=.819故选：b.17.(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以a1，a2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以b表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是()5113a.a1，a2互斥b.pba1=c.pa2b=d.pb=7721【答案】c【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.【详解】因为每次只取一球，故a1，a2是互斥的事件，故a正确；1254由题意得pa1=，pa2=，pba1=，pba2=，3377152413pb=pa1b+pa2b=×+×=，故b，d均正确；373721248因为pa2b=×=，故c错误.3721故选：c.18.(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知某人每次投篮的命中率为p0<p<1，投进一球得14dx-3分，投不进得0分，记投篮一次的得分为x，则的最大值为．2ex【答案】2-23>
版权提示
- 温馨提示：
- 1.
部分包含数学公式或PPT动画的文件，查看预览时可能会显示错乱或异常，文件下载后无此问题，请放心下载。
- 2.
本文档由用户上传，版权归属用户，莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
- 3.
下载前请仔细阅读文档内容，确认文档内容符合您的需求后进行下载，若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
- 4.
下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误，付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线：13123380146（工作日9:00-18:00）
文库资源
分享到：
报错