【2023备考】高考数学各地名校试题解析分类汇编（一）9 直线、圆、圆锥曲线 理

各地解析分类汇编:直线、圆、圆锥曲线1.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】已知两条直线和互相平行，则等于（）A.1或-3B.-1或3C.1或3D.-1或3【答案】A【解析】因为直线的斜率存在且为，所以，所以的斜截式方程为，因为两直线平行，所以且，解得或，选A.2.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】已知P（x,y)是直线上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则的值为（）A.3B.C.D.2【答案】D【解析】由圆的方程得，所以圆心为，半径为，四边形的面积,所以若四边形PACB的最小面积是2，所以的最小值为1，而，即的最小值为2，此时最小为圆心到直线的距离，此时，即，因为，所以，选D.3.【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】一已知倾斜角为的直线与直线-15-\n平行，则的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】直线的斜率为，即直线的斜率为，所以，选B.4.【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】（本小题满分12分）已知长方形ABCD，，BC=1。以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.（Ⅰ）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的直线交（Ⅰ）中椭圆于M，N两点，是否存在直线，使得弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。【答案】解：（Ⅰ）由题意可得点A，B，C的坐标分别为.设椭圆的标准方程是则2分.∴椭圆的标准方程是.……………………4分（Ⅱ）由题意直线的斜率存在，可设直线的方程为.……5分-15-\n设M，N两点的坐标分别为.联立方程：消去整理得，有………………7分若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以，…………8分所以，，即所以，即，……………………9分得.……………………10分所以直线的方程为，或.………………11分所在存在过P（0，2）的直线：使得以弦MN为直径的圆恰好过原点。…12分圆锥曲线1【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为()A．B.C.D.【答案】C【解析】因为椭圆的焦距是4，所以又准线为，所以焦点在轴且，解得，所以，所以椭圆的方程为-15-\n，选C.2【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，P到直线的距离为，则的最小值()A．B．C．D．【答案】D【解析】因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。因为点到轴的距离为，所以到准线的距离为，又,所以，焦点到直线的距离，而，所以，选D.3【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：①；②，③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①②B．②③C．①④D．③④【答案】B【解析】画图可知选B.①x2﹣y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；②=，在x=和x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．③=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于，即x2+2|x|+y2﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．-15-\n故答案为B．4【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考理】已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题设条件可知△ABC为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有 ，即，所以，解得，选C.5【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】在抛物线上取横坐标为的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：两点坐标为，两点连线的斜率k=对于，，∴2x+a=a﹣2解得x=﹣1在抛物线上的切点为，切线方程为直线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，即解得a=4或0（0舍去），所以抛物线方程为顶点坐标为，故选A．6【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知双曲线的两条渐近线均与-15-\n相切，则该双曲线离心率等于A．B．C．D．【答案】A【解析】圆的标准方程为，所以圆心坐标为,半径，双曲线的渐近线为，不妨取，即，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，所以，，即，所以，选A.7【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A.（0，B.（）C.（0，）D.（，1）【答案】D【解析】根据正弦定理得，所以由可得，即，所以，又，即，因为，(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)所以，即，所以，即，所以，解得，即，选D.-15-\n8【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试】过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知点P的坐标为（-c,）,或（-c,-），因为，那么，这样根据a,b,c的关系式化简得到结论为，选B9【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知，根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐进线方程为，即。故选D.10【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为．【答案】-15-\n【解析】椭圆的，，所以。因为，所以，所以。所以,所以。11【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试理】若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则=.【答案】【解析】因为焦点在轴上。所以，所以。椭圆的离心率为，所以，解得。12【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试理】已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当时，的最小值是。【答案】【解析】当时，，所以，即，因为，所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线，由抛物线的定义可知,当，三点共线时，最小，此时为，又焦点坐标为,所以，即-15-\n的最小值为，所以的最小值为。13【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】过椭圆左焦点，倾斜角为的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为【答案】【解析】如图，设椭圆的左准线为l，过A点作AC⊥l于C，过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，直角△ABG中，∠BAG=60°，所以AB=2AG，…①由圆锥曲线统一定义得：，∵FA=2FB，∴AC=2BD直角梯形ABDC中，AG=AC﹣BD=…②①、②比较，可得AB=AC，又∵∴，故所求的离心率为．14【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】如图4，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“焚金双曲线”的离心率为。【答案】【解析】由图知，，整理得，即，解得-15-\n，故.15.【北京市东城区普通校2013届高三12月联考数学（理）】（本小题满分分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点．①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值．【答案】解：（Ⅰ）因为满足，，…………2分。解得，则椭圆方程为……………4分（Ⅱ）（1）将代入中得……………………………………………………6分……………………………………………………………7分因为中点的横坐标为，所以，解得…………9分（2）由（1）知，所以……………11分-15-\n………………………………………12分16.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】（本题12分）如图所示，已知椭圆和抛物线有公共焦点,的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点（1）写出抛物线的标准方程；（2）若，求直线的方程；（3）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值.【答案】解：（1）(2)设-15-\n（3）椭圆设为 消元整 17.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C.（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点D（0，－2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且平行于轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由【答案】-15-\n因为，所以四边形OANB为平行四边形，假设存在矩形OANB，则即，所以，…………10分设N（x0，y0），由，得，即N点在直线，所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为18.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】（本小题满分12分）设抛物线C的方程为x2=4y，M为直线l：y=－m(m>0)上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A,B．（Ⅰ）当M的坐标为（0，－l）时，求过M，A，B三点的圆的标准方程，并判断直线l与此圆的位置关系；-15-\n(Ⅱ)当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使MA⊥MB?若存在，有几个这样的点，若不存在，请说明理由，【答案】解：（Ⅰ）当M的坐标为时，设过M点的切线方程为，代入，整理得，①令，解得，代入方程①得，故得，.因为M到AB的中点(0，1)的距离为2，从而过三点的圆的标准方程为．易知此圆与直线l：y=-1相切.………………………………………………………（6分）（Ⅱ）设切点分别为、，直线l上的点为M，过抛物线上点的切线方程为，因为，，从而过抛物线上点的切线方程为，又切线过点，所以得，即.同理可得过点的切线方程为，………………………（8分）因为，且是方程的两实根，从而，所以，当，即时，直线上任意一点M均有MA⊥MB，…………………………………………………（10分）当，即m≠1时，MA与MB不垂直.综上所述，当m =1时，直线上存在无穷多个点M，使MA⊥MB，当m≠1时，直线l上不存在满足条件的点M.……………………………………………………………（12分）19.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试理科】（本小题满分12分）-15-\n如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。（1）求实数b的值；（11）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【答案】（I）由得()因为直线与抛物线C相切,所以,解得………………4分（II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为………..12分-15-