黄金冲刺大题之 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）（原卷版）

黄金冲刺大题之圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是，点在椭圆上，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于两点，且，求实数的值．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，设椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，且的周长是.(1)求椭圆的方程；(2)当时，求的面积.3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点．(1)求的方程．(2)是上两个动点，为的上顶点，是否存在以为顶点，为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆，右顶点为，上､下顶点分别为是的中点，且.(1)求椭圆的方程；(2)设过点的直线交椭圆于点，点，直线分别交直线于点，求证：线段的中点为定点.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy中，面积为9的正方形的顶点分别在x轴和y轴上滑动，且，记动点P的轨迹为曲线．(1)求的方程； (2)过点的动直线l与曲线交于不同的两点时，在线段上取点Q，满足．试探究点Q是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，且当的斜率为1时，．(1)求的方程；(2)设与的准线交于点，直线与交于点（异于原点），线段的中点为，若，求面积的取值范围．7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线，点在抛物线上，且在轴上方，和在轴下方（在左侧），关于轴对称，直线交轴于点，延长线段交轴于点，连接.(1)证明：为定值（为坐标原点）；(2)若点的横坐标为，且，求的内切圆的方程.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点，，和动点满足是，的等差中项．(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线按向量平移后得到曲线，曲线上不同的两点M，N的连线交轴于点，如果（为坐标原点）为锐角，求实数的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果时，曲线在点和处的切线的交点为，求证：在一条定直线上．9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线的渐近线为，左顶点为.(1)求双曲线的方程；(2)直线交轴于点，过点的直线交双曲线于，，直线，分别交于，，若，，，均在圆上，①求的横坐标；②求圆面积的取值范围. 10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线与双曲线（，）有公共的焦点F，且．过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，与E的两条近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧).(1)求E的渐近线方程；(2)若实数满足，求的取值范围．11．（2024·重庆·三模）已知，曲线上任意一点到点的距离是到直线的距离的两倍.(1)求曲线的方程；(2)已知曲线的左顶点为，直线过点且与曲线在第一、四象限分别交于，两点，直线、分别与直线交于，两点，为的中点.（i）证明：；（ii）记，，的面积分别为，，，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.12．（2024·河北·二模）已知椭圆的离心率．(1)若椭圆过点，求椭圆的标准方程．(2)若直线，均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设.（ⅰ）求；（ⅱ）记，求数列的前项和．13．（2024·辽宁沈阳·二模）以坐标原点为圆心的两个同心圆半径分别为和，为大圆上一动点，大圆半径与小圆相交于点轴于于点的轨迹为． (1)求点轨迹的方程；(2)点，若点在上，且直线的斜率乘积为，线段的中点，当直线与轴的截距为负数时，求的余弦值．14．（2024·广东佛山·二模）两条动直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，当的垂心恰是C的焦点时，.(1)求p；(2)若，弦中点为P，点关于直线的对称点N在抛物线C上，求的面积.15．（2024·广东深圳·二模）设抛物线C：（），直线l：交C于A，B两点．过原点O作l的垂线，交直线于点M．对任意，直线AM，AB，BM的斜率成等差数列．(1)求C的方程；(2)若直线，且与C相切于点N，证明：的面积不小于．16．（2024·湖南·一模）已知双曲线的渐近线方程为，的半焦距为，且．(1)求的标准方程．(2)若为上的一点，且为圆外一点，过作圆的两条切线（斜率都存在），与交于另一点与交于另一点，证明：（ⅰ）的斜率之积为定值；（ⅱ）存在定点，使得关于点对称．17．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆过定点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．(1)已知、两点的坐标分别为、，直线、的斜率分别为、，证明：；(2)若点、是轨迹上的两个动点且，设线段的中点为，圆与动点 的轨迹交于不同于的三点、、，求证：的重心的横坐标为定值．18．（2024·湖北·二模）已知双曲线的方程为，其中是双曲线上一点，直线与双曲线的另一个交点为，直线与双曲线的另一个交点为，双曲线在点处的两条切线记为与交于点，线段的中点为，设直线的斜率分别为．(1)证明：；(2)求的值．19．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆和的离心率相同，设的右顶点为，的左顶点为，，(1)证明：；(2)设直线与的另一个交点为P，直线与的另一个交点为Q，连，求的最大值．参考公式：20．（2024·山东·二模）已知椭圆的离心率为，设的右焦点为，左顶点为，过的直线与于两点，当直线垂直于轴时，的面积为．(1)求椭圆的标准方程；(2)连接和分别交圆于两点．（ⅰ）当直线斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（ⅱ）设的面积为的面积为，求的最大值．21．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线：的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1．(1)求的方程；(2)过上一点作的切线，与的两条渐近线分别交于R，S两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于M，N两点，求四边形的面积． (3)过上一点Q向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点Q，满足，若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．22．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，设抛物线在点处的切线分别为和，已知与轴交于点与轴交于点，设与的交点为.(1)证明：点在定直线上；(2)若面积为，求点的坐标；(3)若四点共圆，求点的坐标.23．（2024·福建漳州·一模）已知过点的直线与圆：相交于，两点，的中点为，过的中点且平行于的直线交于点，记点的轨迹为．(1)求轨迹的方程．(2)若为轨迹上的两个动点且均不在轴上，点满足（，），其中为坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①点在轨迹上；②直线与的斜率之积为；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．24．（2024·福建福州·模拟预测）点是椭圆：（）上（左、右端点除外）的一个动点，，分别是的左、右焦点.(1)设点到直线：的距离为，证明为定值，并求出这个定值；(2)的重心与内心（内切圆的圆心）分别为，，已知直线垂直于轴.（ⅰ）求椭圆的离心率；（ⅱ）若椭圆的长轴长为6，求被直线分成两个部分的图形面积之比的取值范围.25．（2024·福建三明·三模）已知平面直角坐标系中，有真命题：函数的图象是双曲线，其渐近线分别为直线和y轴．例如双曲线的渐近线分别为x轴和y轴，可将其图象绕原点顺时针旋转得到双曲线的图象． (1)求双曲线的离心率；(2)已知曲线，过上一点作切线分别交两条渐近线于两点，试探究面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；(3)已知函数的图象为Γ，直线，过的直线与Γ在第一象限交于两点，过作的垂线，垂足分别为，直线交于点，求面积的最小值．26．（2024·浙江绍兴·二模）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，过点作直线交于M，N两点，点，记直线，的斜率分别为，.(1)求的方程；(2)求的值；(3)设直线交C于另一点Q，求点B到直线距离的最大值.27．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线:的焦点，直线过且交C于两点，已知当时，中点纵坐标的值为.(1)求的标准方程.(2)令，P为C上的一点，直线，分别交C于另两点A，B.证明：.(3)过分别作的切线，与相交于，同时与相交于，求四边形面积取值范围.28．（2024·河北保定·二模）平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知的垂心为D，外心为E，D和E关于原点O对称，.(1)若，点B在第二象限，直线轴，求点B的坐标；(2)若A，D，E三点共线，椭圆T：与内切，证明：D，E为椭圆T的两个焦点.29．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线，直线与交于两点.(1)求的取值范围；(2)已知上存在异于的两点，使得.（i）当时，求到点的距离（用含的代数式表示）； （ii）当时，记原点到直线的距离为，若直线经过点，求的取值范围.30．（2024·湖北·一模）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．(1)求椭圆的标准方程：(2)设椭圆的右顶点为、是椭圆上不与顶点重合的动点．（i）若点，点在椭圆上且位于轴下方，直线交轴于点，设和的面积分别为，若，求点的坐标：（ii）若直线与直线交于点，直线交轴于点，求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线和直线的斜率）．