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黄金冲刺大题之 数列(精选30题)(解析版)

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黄金冲刺大题之数列(精选30题)1.(2024·江苏南通·二模)设数列的前项和为,若,.(1)求,,并证明:数列是等差数列;(2)求.【答案】(1),,证明见解析;(2)420.【分析】(1)直接代入可得,再代入,结合的值求出;再由仿写出,作差后得到,即可证明结果.(2)由(1)知数列为等差数列,然后代入等差数列的前项和公式求解即可.【详解】(1)当时,由条件得,所以.当时,由条件得,所以.因为,所以(),两式相减得:,即,所以,从而数列为等差数列.(2)由(1)知,所以,所以数列为等差数列,首项为,所以,所以.2.(2024·福建福州·模拟预测)已知数列满足,(). (1)求数列的通项公式;(2)记数列的前项和为,证明:.【答案】(1),;(2)证明见解析.【分析】(1)根据给定条件,利用累加法,结合等差数列前项和公式求解即得.(2)利用裂项相消法求和即可得证.【详解】(1)数列中,当时,,即,则,而满足上式,所以数列的通项公式是,.(2)由(1)知,,则,因此,而,则,所以.3.(2024·全国·模拟预测)已知数列满足且.(1)求数列的通项公式.(2)求数列的前100项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)由递推公式得,当,是首项为1,公比为2的等比数列,令, 是首项为2,公比为2的等比数列,分别求出通项公式即可;(2)由分组求和,分别计算奇数项和偶数项之和,再根据等比数列前项和公式计算即可.【详解】(1)由题意,得当时,,①.②将①代入②,得,所以是首项为1,公比为2的等比数列,所以.又因为,所以,所以.令,则,而,,所以是首项为2,公比为2的等比数列,所以,所以.所以.(2).4.(2024·浙江宁波·二模)已知等差数列的公差为2,记数列的前项和为且满足.(1)证明:数列是等比数列;(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析; (2).【分析】(1)根据通项与前项和之间的关系,作差可得,即可利用等比数列的定义求解,(2)根据错位相减法求和以及分组求解,结合等差等比数列求和求解.【详解】(1)时,,即.又,也符合,所以时,,即.又,所以,所以,所以数列成等比数列.(2)由(1)易得.由可得,所以.所以,所以.令,则,所以,所以.5.(2024·浙江杭州·二模)已知等差数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)数列满足,令,求证:.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)设等差数列的首项为,公差为,由题意可得 ,解方程求出,即可求出数列的通项公式;(2)由(1)可得,由累乘法可求出的通项公式,再由裂项相消法求解即可.【详解】(1)设等差数列的首项为,公差为.由,得,解得:,所以.(2)由(1)知,,即,,,……,,利用累乘法可得:,也符合上式,所以.6.(2024·浙江·二模)欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数,例如:,,,数列满足.(1)求,,,并求数列的通项公式;(2)记,求数列的前和.【答案】(1),,,(2)【分析】(1)根据题意理解可求,,,结合与互素的个数可求数列的通项公式; (2)求出数列的通项公式,利用错位相减法求和即可.【详解】(1)由题意可知,,,由题意可知,正偶数与不互素,所有正奇数与互素,比小的正奇数有个,所以;(2)由(1)知,所以,所以,,所以,①,②所以①-②得,所以.7.(2024·重庆·模拟预测)已知数列满足.(1)求的通项公式;(2)若且,记,讨论数列的单调性.【答案】(1) (2)当时,单调递增;当时,单调递减【分析】(1)分两种情况讨论,和,即可求解;(2)先计算出和,当时,计算出,令,再检验两端点,即可得出的单调性.【详解】(1)由已知得,当时,,当时,①,②,②①得,,即,所以.(2)当时,,,当时,,当时,,,,显然,当时,单调递减,令,即,解得,所以当时,,单调递增,又,所以当时,单调递增;当时,,又,所以当时,单调递减.8.(2024·河北邯郸·二模)已知正项数列的前项和为,,且. (1)求的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)首先求出,可证明数列为首项为,公差为的等差数列,得到,利用得到的通项公式;(2)由(1)知,,化简可得,利用分组求和以及裂项相消即可求出数列的前项和.【详解】(1)当时,由,即,解得:,所以,则数列为首项为,公差为的等差数列;所以,则,当时,,当时,满足条件,所以的通项公式为(2)由(1)知,,所以,故,即9.(2024·福建三明·三模)已知数列满足.(1)求数列的通项公式; (2)设数列的前n项和为,若不等式对任意的恒成立,求实数t的取值范围;(3)记,求证:.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】(1)当时求出,时,用,即可求解;(2)由得出,由得,根据对勾函数的单调性及的值,即可求出得范围;(3)由(1)得,则,根据放缩法得即可证明.【详解】(1)当时,,当时,,时成立,所以.(2)由得,,显然时,单调递增,,由得,,又,当且仅当时,即时等号成立,因为,,且,,,所以当时,,解得,当时,,解得,所以. (3)证明:由(1)得,,因为所以.10.(2024·全国·模拟预测)已知等差数列的前项和为,数列是等比数列,.(1)求和的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1),(2)【分析】(1)根据等差、等比数列的通项公式可得、,解之即可求解;(2)由(1)得,结合裂项相消求和法和等比数列前n项和公式计算即可求解【详解】(1)设数列的公差为d,数列的公比为,由,,得,,两式相除得,所以, 所以,.(2)由(1)得,所以,所以.11.(2024·全国·模拟预测)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用数列的和与项的关系构造①,②两式,相减即得数列的通项;(2)求出,将其裂项后,进行求和,消去中间项即得.【详解】(1)当时,.依题意,①当时,②.①-②得,所以.因时,该式也成立,故的通项公式为.(2)由(1)知,由可得则.12.(2024·全国·模拟预测)已知数列满足,. (1)求数列的通项公式;(2)若,证明:.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)考查与的关系,借助与的关系的解题步骤①,②,③检验的思想方法进行求解即可.(2)先求出,再求和,当时对进行放缩变形即可求和证明出不等式.【详解】(1)当时,;当时,①,②.①②得,因为不满足上式,所以.(2)由(1),因为,所以,当时,;当时,,综上,对任意的,.13.(2024·全国·模拟预测)已知数列的各项均不小于1,前项和为是公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式.(2)求数列的前项和.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用前项和与通项公式之间的关系判定是等差数列,再求通项公式即可.(2)对需要求和的数列先进行化简,再利用裂项相消法求和即可.【详解】(1)由,得.因为是公差为1的等差数列,所以.当时,.两式相减,得,所以,又,所以,则,所以是首项为1,公差为1的等差数列,所以.(2)由(1)可知,,则,所以数列的前项和.14.(2024·安徽·模拟预测)已知数列的首项,且满足.(1)求的通项公式;(2)已知,求使取得最大项时的值.(参考值:) 【答案】(1)(2)4【分析】(1)由递推关系将已知等式变形为,即可求出通项;(2)由已知可设,代入解不等式组求出即可.【详解】(1)因为,所以,又,所以,所以.(2)由(1)有,所以,设时,最大,因为,所以,即,解得,又,所以,所以使取得最大项时的值为4.15.(2024·辽宁·一模)已知为数列的前n项和,满足,且 成等比数列,当时,.(1)求证:当时,成等差数列;(2)求的前n项和.【答案】(1)证明见解析;(2).【分析】(1)利用得到和的关系即可证明;(2)结合(1)中结论得,求出和公比,得到通项公式,从而根据等差和等比数列前n项和公式即可求解.【详解】(1)∵,∴,,两式相减,得,即.当时,,∴,∴当时,成等差数列.(2)由,解得或,又成等比数列,∴由(1)得,进而,而,∴,从而,∴,∴. 16.(2024·湖南岳阳·三模)已知等差数列满足:,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)若等差数列的公差不为零且数列满足:,求数列的前项和.【答案】(1)或;(2).【分析】(1)设数列公差,由条件列出方程,求解后运用等差数列基本量运算即得;(2)求出数列的通项公式,根据其形式结构进行拆项和裂项,利用分组求和法与裂项求和法即可求得.【详解】(1)设数列的公差为,依题意,成等比数列,所以,解得或,当时,;当时,所以数列的通项公式为或.(2)因为等差数列的公差不为零,由(1)知,则,所以,即.17.(2024·湖南·二模)记为数列的前项和,已知.(1)证明:数列是等比数列;(2)求最小的正整数,使得对一切都成立.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)用替换已知,再与已知作差,得到,即可得证;(2)由(1)可得,利用错位相减法求出,进而得到结果.【详解】(1)由题知,用替换上式的,得.两式作差,,即.而由,可得.从而是首项为,公比为的等比数列.(2)由(1)得,于是,设,则,当时,,故,两式作差,得.整理可得.故,又,因此满足条件的最小正整数为.18.(2024·河北石家庄·二模)已知数列满足(1)写出;(2)证明:数列为等比数列;(3)若,求数列的前项和.【答案】(1),,(2)证明见解析(3) 【分析】(1)由数列的递推式,分别令,2,3,计算可得所求值;(2)推得,由等比数列的定义,可得证明;(3)求得,,由数列的错位相减法求和,结合等比数列的求和公式,可得所求和.【详解】(1)由可得;;;(2)证明:由题可得,则数列是首项为1,公比为2的等比数列;(3)由(2)可得,即,,,前项和,,两式相减可得,化简可得.19.(2024·全国·模拟预测)已知数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】(1)当时,求得,当时,得到,两式相减化简得到 ,结合叠加法,即可求得数列的通项公式;(2)由(1)得到,求得,解法1:根据题意,转化为,结合,结合基本不等式,即可求解;解法2:根据题意,转化为,结合二次函数的性质,即可求解.【详解】(1)解:当时,,解得,当时,,两式相减可得,,则,叠加可得,,则,而时也符合题意,所以数列的通项公式为.(2)解:由(1)知,可得,故;解法1:由,可得,即,即则,又由,当且仅当时取等号,故实数的取值范围为.解法2:由,可得,当,即时,, 则,故实数的取值范围为.20.(2024·湖北·二模)已知各项均不为0的数列的前项和为,且.(1)求的通项公式;(2)若对于任意成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)根据题意,得到时,,两式相减得到,得到及均为公差为4的等差数列,结合等差数列的通项公式,进而得到数列的通项公式;(2)由(1)求得,证得为恒成立,设,求得数列的单调性和最大值,即可求解.【详解】(1)解:因为数列的前项和为,且,即,当时,可得,两式相减得,因为,故,所以及均为公差为4的等差数列:当时,由及,解得,所以,,所以数列的通项公式为.(2)解:由(1)知,可得,因为对于任意成立,所以恒成立,设,则,当,即时, 当,即时,所以,故,所以,即实数的取值范围为.21.(2024·湖北·模拟预测)数列中,,,且,(1)求数列的通项公式;(2)数列的前项和为,且满足,,求.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】(1)依题意可得,即可得到为等差数列,即可得到,再利用累加法计算可得;(2)由(1)可得,由,得到与同号,再对分类讨论,利用并项求和法计算可得.【详解】(1)因为,所以,所以数列是公差为的等差数列,其首项为,于是,则,,,,,所以,所以;而符合该式,故.(2)由(1)问知,,则,又,则,两式相乘得,即,因此与同号, 因为,所以当时,,此时,当为奇数时,,当为偶数时,;当时,,此时,当为奇数时,,当为偶数时,;综上,当时,;当时,.22.(2024·全国·模拟预测)已知是各项均为正数的数列的前项和,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)先利用题给条件求得数列是公比为3的等比数列,再求得其首项的值,进而求得数列的通项公式;(2)利用错位相减法即可求得数列的前项和.【详解】(1),.,,,数列是公比为3的等比数列.,,.(2)由(1)知,, ,①,②①②得,.23.(2024·湖北黄石·三模)已知等差数列的前项和为,,,等比数列满足,是,的等比中项.(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足,求数列前项的和.【答案】(1)或(2)【分析】(1)根据题意结合等差数列可得,可得,根据等比数列通项公式结合等比中项可得,即可得;(2)由(1)可知:,利用分组求和结合并项求和分析求解.【详解】(1)设等差数列的公差为,由题意可知:,解得,所以.设等比数列的公比为,则,由题意可知:,则,解得, 所以或.(2)由(1)可知:,设前项的和为,前项的和为,可知,对任意,因为,,,,则,所以,又因为,,,,则,所以,所以.24.(2024·山东菏泽·一模)已知数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式; (2)若,,求证:.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)利用与项的关系,结合等比数列的定义及通项公式即可求解;(2)利用(1)的结论及对数的运算,利用裂项相消法求数列的前项和即可求解.【详解】(1)由①,当时,解得,当时,②,①-②,得,数列是以首项为,公比为的等比数列,.经验证符合上式,所以.(2)由(1)知,,.则,故,所以,,,故.25.(2024·山东聊城·二模)已知数列满足为常数,若为等差数列,且.(1)求的值及的通项公式; (2)求的前项和.【答案】(1)的值为(2)【分析】(1)设等差数列的公差为,结合等差数列的性质可得方程组,解出即可得;(2)由题意可得,借助分组求和法计算即可得解.【详解】(1)由题意知,因为,所以,设等差数列的公差为,则,解得,所以,所以的值为的通项公式为;(2)由(1)知,,所以.所以的前项和.26.(2024·福建·模拟预测)已知数列的前n项和为,,数列满足,且均为正整数. (1)是否存在数列,使得是等差数列?若存在,求此时的;若不存在,说明理由;(2)若,求的通项公式.【答案】(1)存在,;(2)【分析】(1)利用条件先计算,得,根据正整数的性质确定,,假设若成立可得,再利用的关系检验即可;(2)法一、利用的关系及递增数列与整数的性质知,整理化简可得,即可得结果;法二、利用反证法假设存在一个正整数,使得,根据条件判定,矛盾.【详解】(1)由题意易知,,当时,,由均为正整数知,为正整数,则当且仅当即时,,为整数,若存在数列,使得是等差数列,则,故,此时为整数,符合题意,所以,当时,有,两式相减得,整理得,故,当n=2时,,故,经检验,当时,,充分性成立,故存在数列,使得是等差数列.此时;(2)法一、 因为,当时,有,两式相减,整理得:,由递增数列的题意与整数的性质知,,故,因为,所以,则,因为为正整数,所以.法二、假设存在一个正整数,使得则,,则,不符合递增数列的题意,故假设错误,不存在这样的正整数,使得,所以.27.(2024·河北邢台·二模)已知数列的前项和为,且.(1)求的通项公式;(2)求证:.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)根据,作差得到,从而是以为首项,为公比的等比数列,即可求出其通项公式;(2)由(1)知,再利用放缩法证明即可.【详解】(1)由,当时,,则, 当时,,两式相减得,即,因此数列是以为首项,为公比的等比数列,所以.(2)由(1)知.当时,;当时,,所以,所以,所以当时,.综上,.28.(2024·江苏南通·二模)已知数列的前n项和为,,.(1)证明:数列为等比数列;(2)设,求数列的前n项和;(3)是否存在正整数p,q(),使得,,成等差数列?若存在,求p,q;若不存在,说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在,.【分析】(1)利用给定的递推公式,结合及等比数列定义推理即得.(2)由(1)求出,再利用裂项相消法求和即可.(3)由(1)求出,由已知建立等式,验证计算出,再分析求解即可.【详解】(1),,当时,, 两式相减得,即,则有,当时,,则,即,所以数列是以1为首项,为公比的等比数列.(2)由(1)得,,则,数列是等差数列,于是,解得,则,所以的前项和.(3)由(1)知,,由成等差数列,得,整理得,由,得,又,,不等式成立,因此,即,令,则,从而,显然,即,所以存在,使得成等差数列.【点睛】易错点睛:裂项法求和,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的.29.(2024·辽宁·二模)已知数列的各项是奇数,且是正整数的最大奇因数,.(1)求的值;(2)求的值;(3)求数列的通项公式.【答案】(1),(2),, (3)【分析】(1)根据所给定义直接计算可得;(2)根据所给定义列出,即可得解;(3)当为奇数时,即可求出,当为偶数时,从而得到,即可推导出,再利用累加法计算可得.【详解】(1)因为,所以,又,所以;(2)依题意可得,,,,,,,所以,,.(3)因为是正整数的最大奇因数,当为奇数,即时,所以,当为偶数,即时,所以当时,所以, 所以且,所以,当时也满足,所以数列的通项公式为.【点睛】关键点点睛:本题关键是理解定义,第三问关键是推导出且,最后利用累加法求出.30.(2024·山东·二模)记为数列的前项和,.(1)求和的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明:.【答案】(1);.(2)答案见解析【分析】(1)分别取和即可求得的值,对进行分奇偶讨论,即可得到的通项公式;(2)根据题意化简得到,再对该式进行两次放缩,分别求和即可证明不等式.【详解】(1)因为,所以当时,,所以;当时,,所以,所以.又因为,所以.当为奇数时,,所以,, 作差,,所以.当为偶数时,,所以,,作差,,所以.所以,.(2)由第1小问得,,所以令,所以.所以.下面证明:因为,所以.下面证明:因为,所以,所以.所以. 【点睛】方法点睛:本题考查数列的求通项、求和与放缩问题。求通项时要进行奇偶讨论,通项公式也要写成分段函数的形式,放缩用到了两个不等式和,放缩之后再进行求和,即可证明不等式.

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发布时间:2024-06-03 01:20:01 页数:34
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文章作者:180****8757

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