黄金冲刺大题之 立体几何（精选30题）（原卷版）

黄金冲刺大题之立体几何1．（2024·黑龙江·二模）如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是的中点，P是的中点．  (1)证明：平面；(2)求点P到直线MN的距离．2．（2024·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是侧棱的中点，侧面为正三角形，侧面底面．(1)求三棱锥的体积；(2)求与平面所成角的正弦值．3．（2023·福建福州·模拟预测）如图，在三棱柱中，平面平面，．   (1)设为中点，证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．4．（2024·山西晋中·三模）如图，在六面体中，，，且，平行于平面，平行于平面，.(1)证明：平面平面；(2)若点到直线的距离为，为棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值．5．（2024·辽宁·二模）棱长均为2的斜三棱柱中，在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处，P为棱（包含端点）上的动点．(1)求点P到平面的距离；(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．6．（2024·重庆·模拟预测）在如图所示的四棱锥PABCD中，已知，，，是正三角形，点M在侧棱PB上且使得平面． (1)证明：；(2)若侧面底面，与底面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．7．（2024·安徽·模拟预测）2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，m，m，m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，m，，平面平面ABCD．(1)求点H到平面ABCD的距离；(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．8．（2024·重庆·模拟预测）如图，ACDE为菱形，，，平面平面ABC，点F在AB上，且，M，N分别在直线CD，AB上．(1)求证：平面ACDE；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若，MN为直线CD，AB的公垂线，求的值；(3)记直线BE与平面ABC所成角为，若，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围．9．（2024·安徽·二模）将正方形绕直线逆时针旋转，使得到 的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面平面；(2)点为上一点，若二面角的余弦值为，求．10．（2024·安徽黄山·二模）如图，已知为圆台下底面圆的直径，是圆上异于的点，是圆台上底面圆上的点，且平面平面，，，是的中点，．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）正四棱台的下底面边长为，，为中点，已知点满足，其中．  (1)求证；(2)已知平面与平面所成角的余弦值为，当时，求直线与平面所成角的正弦值．12．（2024·辽宁·三模）如图，在三棱柱中，侧面底面， ，点为线段的中点.(1)求证：平面；(2)若，求二面角的余弦值.13．（2024·广东广州·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，点，分别为和的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求与平面所成角的正弦值.14．（2024·广东梅州·二模）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，为等边三角形，，，．(1)求证：；(2)点在棱上运动，求面积的最小值；(3)点为的中点，在棱上找一点，使得平面，求的值．15．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形， 为底面圆周上异于的点，且是线段的中点.(1)求证：平面.(2)求平面与平面夹角的余弦值.16．（2024·广东深圳·二模）如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．  (1)证明：平面ABC；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值．17．（2024·河北保定·二模）如图，在四棱锥中，平面内存在一条直线与平行，平面，直线与平面所成的角的正切值为，，.  (1)证明：四边形是直角梯形.(2)若点满足，求二面角的正弦值.18．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，在圆锥中，是圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点， .  (1)求证：平面平面；(2)设点在线段上，且，求直线与平面所成角的正弦值.19．（2024·湖南岳阳·三模）已知四棱锥的底面是边长为4的菱形，，，，是线段上的点，且．  (1)证明：平面；(2)点在直线上，求与平面所成角的最大值．20．（2024·湖南·二模）如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，平面.(1)求四棱柱的体积；(2)设点关于平面的对称点为，点和点关于平面对称（和未在图中标出），求平面与平面所成锐二面角的大小. 21．（2024·山东济南·二模）如图，在四棱锥中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.(1)证明：；(2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为.22．（2024·山东潍坊·二模）如图1，在平行四边形中，，，E为的中点，将沿折起，连结，，且，如图2．  (1)求证：图2中的平面平面；(2)在图2中，若点在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离．23．（2024·福建·模拟预测）如图，在三棱锥中，，已知二面角的大小为，.(1)求点P到平面的距离；(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求：（Ⅰ）二面角的余弦值；（Ⅱ）直线与平面所成角. 24．（2024·浙江杭州·二模）如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，．(1)证明：；(2)若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．25．（2024·浙江嘉兴·二模）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，.(1)证明：平面平面；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.26．（2024·浙江绍兴·二模）如图，在三棱锥中，，，，.  (1)证明：平面平面；(2)若，，求二面角的平面角的正切值.27．（2024·河北沧州·一模）如图，在正三棱锥中，，点满足，，过点作平面分别与棱AB，BD，CD交于Q，S，T三点，且，. (1)证明：，四边形总是矩形；(2)若，求四棱锥体积的最大值.28．（2024·湖北·二模）如图1．在菱形ABCD中，，，，，沿EF将向上折起得到棱锥．如图2所示，设二面角的平面角为．(1)当为何值时，三棱锥和四棱锥的体积之比为？(2)当为何值时，，平面PEF与平面PFB的夹角的余弦值为？29．（2024·湖北·模拟预测）空间中有一个平面和两条直线m，n，其中m，n与的交点分别为A，B，，设直线m与n之间的夹角为，(1)如图1，若直线m，n交于点C，求点C到平面距离的最大值；(2)如图2，若直线m，n互为异面直线，直线m上一点P和直线n上一点Q满足，且，（i）求直线m，n与平面的夹角之和；（ii）设，求点P到平面距离的最大值关于d的函数．30．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图所示，四棱台，底面为一个菱形，且 .底面与顶面的对角线交点分别为，.，，与底面夹角余弦值为.(1)证明：平面；(2)现将顶面绕旋转角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向.此时使得底面与的夹角正弦值为，此时求的值()；(3)求旋转后与的夹角余弦值.