黄金冲刺大题之 解三角形（精选30题）（解析版）

黄金冲刺大题之解三角形（精选30题）1．（2024·江苏·一模）记的内角的对边分别为，已知.(1)证明：；(2)若，求的周长.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角结合角范围可证；（2）利用倍角公式求得，然后利用正弦定理可得【详解】（1）因为或（舍），.（2）由，结合（1）知，则，得，，，由正弦定理得的周长为.2．（2024·湖南常德·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且．(1)求角； (2)若，，成等差数列，且的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)15【分析】（1）先利用正弦定理角化边得出；再结合余弦定理得出即可求解.（2先根据，，成等差数列得出；再利用三角形的面积公式得出；最后结合(1)中的，求出，，即可解答.【详解】（1）因为，由正弦定理可得：.由余弦定理可得：.又因为，所以.（2）由,,成等差数列可得：①.因为三角形的面积为，，，即②.由(1)知：③由①②③解得：.，故三角形的周长为15.3．（2024·江苏·一模）在中，．(1)求B的大小；(2)延长BC至点M，使得．若，求的大小．【答案】(1)；(2)或． 【分析】（1）由，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得，可得B的大小；（2）设，，在和中，由正弦定理表示边角关系，化简求的大小.【详解】（1）在中，，所以．因为，所以，即化简得．因为，所以，．因为，所以．（2）法1：设，，则．由（1）知，又，所以在中，．在中，由正弦定理得，即①．在中，由正弦定理得，即②．①÷②，得，即，所以．因为，，所以或，故或．法2：设，则，．因为，所以，因此，所以，． 在中，由正弦定理得，即，化简得．因为，所以或，，故或．4．（2024·浙江温州·二模）记的内角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若，，求的面积．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得，从而确定角.（2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.【详解】（1）由  得，而为三角形内角，故sinB>0,得，而为三角形内角，或（2）由得，又，∴，  ，故，由（1）得，故，∴，而为三角形内角，∴.又即，又，而为三角形内角，故，. 5．（2024·浙江嘉兴·二模）在中，内角所对的边分别是，已知.(1)求的值；(2)若为锐角三角形，，求的值.【答案】(1)或；(2).【分析】（1）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解；（2）解法一，由，利用正弦定理边化角得，结合和，化简运算并结合平方关系求得答案；解法二，根据条件利用余弦定理可得，再利用正弦定理边化角并结合条件求得答案.【详解】（1）由题可得，即，解得或.（2）解法一：因为，由正弦定理得，即，即，因为，所以；所以，又，且为锐角三角形，解得.解法二：由余弦定理得，因为，所以，即，所以，所以，又，所以，所以.6．（2023·福建福州·模拟预测）在中，角的对边分别是，且．(1)求；(2)若面积为，求边上中线的长． 【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边化角即可得到角；（2）根据，得，结合三角形面积公式即可得到，再由正弦定理得边c，以及，即可得到答案．【详解】（1），由正弦定理边化角得，，，或（舍），又，；（2），，，，，即，解得，由正弦定理，得，设边的中点为，连接，如下图：，即，即，解得．7．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，的角平分线交BC于P点，.   (1)若，求△ABC的面积;(2)若，求BP的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；（2）首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，再根据三角恒变换求出，最后再根据正弦定理即可.【详解】（1）中，设角A、B、C的对边分别为、、，在中由余弦定理得，即①因，即，整理得②①②解得，所以.（2）因为，所以在中由余弦定理可得，所以解得，由正弦定理得，即，解得，所以，中由正弦定理得，则， 解得，所以.8．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，．  (1)若，，求的值；(2)若，，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）中求出，在中，由正弦定理求出的值；（2）和中，由余弦定理求出和，得和，进而可求四边形ABCD的面积．【详解】（1）在中，，，则，，在中，由正弦定理得，.（2）在和中，由余弦定理得，，得，又，得，则，， 四边形ABCD的面积.9．（2024·浙江·一模）在中，内角所对的边分别是，已知．(1)求角；(2)设边的中点为，若，且的面积为，求的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到，再结合余弦定理即可求出角；（2）根据三角形面积公式得到和，再结合中线向量公式计算即可.【详解】（1）在中，由正弦定理得，，因为，所以，化简得，，在中，由余弦定理得，，又因为，所以（2）由，得，由，得，所以．又因为边的中点为，所以，所以10．（2024·湖北·一模）在中，已知．(1)求的大小；(2)若，求函数在上的单调递增区间．【答案】(1)或(2) 【分析】（1）利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；（2）利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）在中，由正弦定理可得：，即，解得，又，故或．（2）由，可得，故.,令,解得.由于，取，得；取，得；取，得，故在上的单调递增区间为．11．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且.(1)证明：是倍角三角形；(2)若，当取最大值时，求.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明；（2）由正弦定理结合题中条件得到，结合三角形面积公式化为关于的表达式，构造函数，利用导数求得最大值即可. 【详解】（1）因为，又,所以，则，又由余弦定理知，，故可得，由正弦定理，,又,代入上式可得,即，，则有,故是倍角三角形.（2）因为，所以,故，则，又，又，则,则,设，，则 令得或者（舍），且当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，故当时，取最大值，此时也取最大值，故为所求.12．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，，，且的外接圆半径为4.(1)若，，求的面积；(2)若，求的最大值.【答案】(1)4；(2).【分析】（1）在三角形中，根据正弦定理求得，再在三角形中，利用三角形面积公式即可求得结果；（2）设，在三角形中分别用正弦定理表示，从而建立关于的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.【详解】（1）因为，的外接圆半径为4，所以，解得.在中，，则，解得. 又，所以；在中，，，，所以.（2）设，.又，所以.因为，所以.在中，，由正弦定理得，即，解得.在中，，由正弦定理得，即，解得，所以.又，所以，当且仅当，即时，取得最大值1，所以的最大值为.13．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.(1)若，，求的大小；(2)若求四边形ABCD面积的最大值. 【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，利用余弦定理可得，由等腰三角形可得，然后在中利用正弦定理即可求解；（2）利用勾股定理求得，然后四边形面积分成即可求解.【详解】（1）在中，，，所以，由余弦定理可得，，即，又，所以，在中，由正弦定理可得，得，因为，所以，所以.（2）在中，，所以，所以，四边形ABCD的面积，当时，，即四边形ABCD面积的最大值为.14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角的三内角的对边分别是，且，(1)求角的大小；(2)如果该三角形外接圆的半径为，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理将化成边，化简再结合余弦定理可求得答案；（2）利用正弦定理，将边化角，再利用角的范围即可得出结果.【详解】（1）， 由余弦定理可得，化简整理得，又，，又，所以.（2）因为三角形外接圆半径为，所以，，，由（1）得，所以，因为是锐角三角形，且，所以，，，，即.所以的取值范围为.15．（2024·湖南邵阳·模拟预测）在中，角的对边分别为，且的周长为．(1)求；(2)若，，为边上一点，，求的面积．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式，结合割补法列式求出，再求出的面积.【详解】（1）在中，，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，而，所以.（2）由为边上一点，及（1）得，且，即有，则，解得，所以的面积.16．（2024·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，(1)求A的大小：(2)点D在BC上，（Ⅰ）当，且时，求AC的长；（Ⅱ）当，且时，求的面积．【答案】(1)(2)；【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得的值，结合即可求解的值；（2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得正弦定理即可求解.（Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决．【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得，又，所以，因为为三角形内角，，所以，可得，因为，所以；（2）（Ⅰ）此时，，所以，所以，在中，由正弦定理可得；（Ⅱ）设，由，可得，化简可得有，由于，所以，所以，则．17．（2024·广东广州·一模）记的内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知.(1)求；(2)若点在边上，且，，求的周长.【答案】(1)； (2)【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合的范围，即可求得结果；（2）利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得，即可求得三角形周长.【详解】（1）由，则，又，故.（2）由（1）可知，，又，则；由题可知，，故，所以，因为，所以，，在中，，故的周长为.18．（2024·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边分别为，其中，．(1)求角的大小；(2)如图，为外一点，，，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】 （1）根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；（2）根据题意，由正弦定理可得，再由余弦定理分别得到，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为，所以，由正弦定理，可得，整理可得，又因为，化简可得，而，则，又，则（2）在中，由可得，在中，由可得，所以，设，由余弦定理，，可得，，因此，当且仅当时，即等号成立，所以的最大值为，此时.19．（2024·河北石家庄·二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，.(1)求函数的最大值; (2)若，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得，再结合三角函数的值域计算即可求得；（2）由题中条件计算可得，再由正弦定理得，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式计算即可求得．【详解】（1）因为，所以，所以当，即时，有最大值；（2）因为，所以，所以，因为，所以，由正弦定理得：，所以，，又因为，所以，所以，由余弦定理有：，即，所以，所以．20．（2024·广东·一模）设锐角三角形的内角的对边分别为，已知．(1)求； (2)若点在上（与不重合），且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件，边转角得到，再利用即可求出结果；（2）根据题设得到，进而可求得，，再利用，即可求出结果.【详解】（1）由，得到，又，所以，又三角形为锐角三角形，所以，得到，即.（2）因为，又，所以，则，所以，由（1）知，，则，，则，又，所以.  21．（2024·辽宁·二模）在中，为边上一点，，且面积是面积的2倍．(1)若，求的长； (2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理、二倍角的余弦公式求出的表达式，最后根据正弦定理求出的表达式，利用余弦函数的最值性质进行求解即可.【详解】（1）设边上的高为，垂足为，因为面积是面积的2倍，所以有，设，由余弦定理可知：，解得或舍去，即；（2）由（1）可知，设，由且，由余弦定理可得：，，在中，因为， 所以由正弦定理可知：，因为，所以，于是有，因此的取值范围为..22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）记的内角的对边分别为，已知.(1)求；(2)若的面积为，求边上的中线长.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得.（2）根据三角形的面积求得，根据同角三角函数的基本关系式求得，利用正弦定理、向量数量积运算来求得边上的中线长.【详解】（1）由正弦定理可得，所以，即，又，所以，整理得，解得；（2）依题意，，解得，又， 所以为钝角，所以由,解得，由正弦定理可得，又，所以，设的中点为，则，所以，所以边上的中线长为.23．（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m）测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底O在同一水平线上，从测角仪顶点C处测得楼顶M的仰角，（点E在线段MO上）．他沿线段AO向楼前进100m到达B点，此时从测角仪顶点D处测得楼顶M的仰角，楼尖MN的视角（N是楼尖底部，在线段MO上）．(1)求楼高MO和楼尖MN；(2)若测角仪底在线段AO上的F处时，测角仪顶G测得楼尖MN的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO． 参考数据：，，，【答案】(1)，(2)FO为37．4m【分析】（1）法一：在中，由正弦定理得，可得，进而求得MO，进而求得CE，计算可求得楼离MO和楼尖MN；法二：利用，，可求得ME，进而计算可求得楼离MO和楼尖MN；（2）设，，，进而可得，利用基本不等式可求得楼尖MN的视角最大时x的值．【详解】（1）法一：，，∴．在中，由正弦定理得，，又，∴．∴，∴．（m）．∴．∵，∴，．法二：，，∴，即，∴，∴．m．∴． ∵，∴，．（2）设，，，∴，当且仅当，即时，等号成立．∴测角仪底到楼底的距离FO为37．4m处时，测得楼尖MN的视角最大．24．（2024·重庆·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求角A的大小；(2)若，且，求AP的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据题意，由正弦定理代入计算，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）在中，由正弦定理，可得又由知，即，得，得，得，所以；又因为，所以．（2）由，得， 所以，当且仅当，即时等号成立，故AP的最小值为．25．（2024·山西朔州·一模）已知的内角的对边分别为，向量，且．(1)求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可得，结合余弦定理可求；（2）利用基本不等式可求最小值.【详解】（1）因为，所以，由正弦定理可得即，故，所以，而为三角形内角，故.（2）结合（1）可得：,，当且仅当时等号成立，故的最小值为.26．（2024·河南开封·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求； (2)若，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2)答案见解析.【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角公式计算即得.（2）选择条件①，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件②，利用正弦定理计算判断三角形不唯一；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积.【详解】（1）由得：，而，则，为锐角，又，解得，所以且为锐角.（2）若选条件①，由，为锐角，得，由余弦定理得，又，则，解得唯一确定，所以.若选条件②，由正弦定理得，则，由，得，因此角有两解，分别对应两个三角形，不符合题意.若选条件③，由，为锐角，得，又，得，，则，因此唯一确定，由正弦定理得，则，所以. 27．（2024·河南·一模）中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.(1)求证：；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）用正弦定理边化角，再利用和差化积公式与诱导公式进行化简，得，从而用等量关系即可得证；（2）由（1）知，锐角三角形中，利用角关系求得角的范围，再把式子用角的三角函数来表示并利用两角和差的正弦公式进行化简，进而用三角函数的取值范围即可求解.【详解】（1）证明：由条件，根据正弦定理可得，，即，，又中，进行化简得，所以，即或，即（舍去），所以.（2）若为锐角三角形，根据（1），则，得，式子，，由得，又易知函数在内单调递减，所以，因此. 28．（2023·河南·三模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且．(1)求证：；(2)若的平分线交AC于D，且，求线段BD的长度的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据正余弦定理边角互化可得，即可利用三函数的性质求解，（2）根据正弦定理以及角的范围即可利用三角函数的范围求解.【详解】（1）证明：由余弦定理可得，    故，由正弦定理得．    所以在中，或．    若，又，故，因为，所以，故不满足题意，舍去，所以．（2）在中，由正弦定理可得，即    所以    因为是锐角三角形，且，所得，    所以．所以线段BD长度的取值范围是．   29．（2024·湖北·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，．(1)求A；(2)者，，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）借助正弦定理、三角形内角和与两角差的正弦公式计算即可得；（2）借助向量的模长与平方的关系，结合数量积公式计算可得，借助三角函数的性质，可令，，结合余弦定理计算可得，即可得解.【详解】（1）由正弦定理得，则，则，，．即或，解得或．因为，所以，所以舍去，即；（2）由得，则，则，则，则，即．令，，因为，，所以．因为，所以，解得．由（1）得，则，又因为．所以，所以7，解得，所以，解得，所以． 令，则，则．因为，所以，即．30．（2024·河北·二模）若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．(1)若，且满足，求的大小．(2)若为锐角三角形．（ⅰ）证明：．（ⅱ）若平分，证明：．【答案】(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）先判断与相似，进而得到，应用余弦定理求出的值即可；（2）（ⅰ）在内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式得：，针对分别在、和内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式，且表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，再化简整理得：，即可得证；（ⅱ）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，平分，将代入，化简整理即可得证.【详解】（1）若，即，得， 点满足，则，在和中，，，所以与相似，且，所以，即，由余弦定理得：，且，，得，且，所以；（2）（ⅰ）在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：，，，三式相加可得：①在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：，在和内，同理：，，三式相等：，因为，由等比性质得：② 由①②式可证得：；（ⅱ）因为，即，所以，在中，分别由余弦定理得：，，，三式相加整理得，，将代入得：若平分，则，，所以③又由余弦定理可得：④由③-④得：所以，所以.【点睛】关键点点睛：根据表示出三角形得面积，在中，由余弦定理相加，得出与的等量关系，是解决本题的关键.