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【冲刺2022】中考数学 历届原题精选 解直角三角形解答题模块

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【解直角三角形】中考考试原题精选1、已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,OD⊥BC于点D,过点D作⊙O的切线,交OD的延长线于点E,连结BE.(1)求证:BE与⊙O相切;(2)连结AD并延长交BE于点F,若OB=9,,求BF的长.解:(1)如图1连接OC,则OCCE,,由于为等腰三角形,则,由垂径定理,得:CD=BD,∠CDE=∠BDE=90°DE=DE∴则∴即BE与⊙                  12\nO相切;(2)如图2过D作DG⊥AB于G  则△ADG∽△ABF∵OB=9,∴OD=OB·=6,OG=OD·=4,由勾股定理,得:DG=,,AG=9+4=13,∵△ADG∽△ABF∴∴BF=图1                                          图22、如图,矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图,已知BC=2m,CD=5.4m,∠DCF=30°,请你计算车位所占的宽度EF约为多少米?(,结果保留两位有效数字.)解:在直角三角形DCF中,∵CD=5.4m,∠DCF=30°,12\n∴sin∠DCF=== ,∵DF=2.7,∴∠CDF+∠DCF=90°∠ADE+∠CDF=90°,∴∠ADE=∠DCF,∵AD=BC=2,∴cos∠ADE===,∴DE=,∴EF=ED+DF=2.7+1.732≈4.4米.3、如图5,一天,我国一渔政船航行到A处时,发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船,正在以12海里∕小时的速度向西北方向航行,我渔政船立即沿北偏东60。方向航行,1.5小时后,在我领海区域的C处截获可疑渔船。问我渔政船的航行路程是多少海里?(结果保留根号)  解:自C点作AB的垂线,垂足为D,∵南北方            向⊥AB,∴∠CAD=30。,∠CBD=45。          在等腰Rt△BCD中,BC=12×1.5=18,∴CD=18sin45。=12\n,          在Rt△ACD中,CD=AC×sin30。,∴AC=(海里)        答:我渔政船的航行路程是海里。4、如图,A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点,且满足∠BAC=∠APC=60°,(1)求证:△ABC是等边三角形;(2)求圆心O到BC的距离OD.解:(1)在△ABC中,∵∠BAC=∠APC=60°,又∵∠APC=∠ABC,∴∠ABC=60°,∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°,∴△ABC是等边三角形;(2)连接OB,∵△ABC为等边三角形,⊙O为其外接圆,∴O为△ABC的外心,∴BO平分∠ABC,12\n∴∠OBD=30°,∴OD=8×=4.5、黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠A=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=千米,请据此解答如下问题:(1)求该岛的周长和面积;(结果保留整数,参考数据≈1.414,(2)求∠ACD的余弦值.解:(1)连接AC∵AB=BC=15千米,∠B=90°∴∠BAC=∠ACB=45° AC=15 又∵∠D=90°∴AD= = =12  (千米) 12\n∴周长=AB+BC+CD+DA=30+3 +12 =30+4.242+20.784≈55(千米)面积=S△ABC+18 ≈157(平方千米) (2)cos∠ACD= = = 6、如图,某测量船位于海岛P的北偏西60°方向,距离海岛100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于海岛P的西南方向上的B处,求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号)。解:∵AB为南北方向,∴△AEP和△BEP分别为直角三角形,再Rt△AEP中,∠APE=90°-60°=30°,AE=12AP=12×100=50海里,∴EP=100×cos30°=50海里,在Rt△BEP中,BE=EP=50海里,∴AB=(50+5012\n)海里.答:测量船从A处航行到B处的路程为(50+50)海里.7、如图,点A,E是半圆周上的三等分点,直径BC=2,AD⊥BC,垂足为D,连接BE交AD于F,过A作AG∥BE交BC于G.(1)判断直线AG与⊙O的位置关系,并说明理由.(2)求线段AF的长.解:(1)直线AG与⊙O的位置关系是AG与⊙O相切,理由是:连接OA,∵点A,E是半圆周上的三等分点,∴弧AB=弧AE=弧EC,∴点A是弧BE的中点,∴OA⊥BE,又∵AG∥BE,∴OA⊥AG,∴AG与⊙O相切.(2)∵点A,E是半圆周上的三等分点,∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°,又∵OA=OB,∴△ABO为正三角形,又∵AD⊥OB,OB=1,12\n∴BD=OD=,AD=,又∵∠EBC=∠EOC=30°,在Rt△FBD中,FD=BDtan∠EBC=BDtan30°=,∴AF=AD﹣DF=﹣=.答:AF的长是.8、如图,一艘巡逻艇航行至海面B处时,得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障,就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救.已知C处位于A处的北偏东45°的方向上,港口A位于B的北偏西30°的方向上.求A、C之间的距离(结果精确到0.1海里,参考数据:≈1.41,≈1.73).12\n解:作AD⊥BC,垂足为D,由题意得,∠ACD=45°,∠ABD=30°,设CD=x,在RT△ACD中,可得AD=x,在RT△ABD中,可得BD=x,又∵BC=20,即xx=20,解得:∴AC=x≈10.3(海里).答:A、C之间的距离为10.3海里.9、已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向,且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km,一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行,15min后达到C处,现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向,求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km,参12\n考数据:sin53.2°≈0.80,cos53.2°≈0.60,sin79.8°≈0.98,cos79.8°≈0.18,tan26.6°≈0.50,≈1.41,≈2.24)解:BC=40×=10,在Rt△ADB中,sin∠DBA=,sin53.2°≈0.8,所以AB==20,过点B作BH⊥AC,交AC的延长线于H,在Rt△AHB中,∠BAH=∠DAC-∠DAB=63.6°-37°=26.6°,tan∠BAH=,0.5=,AH=2BH,BH2+AH2=AB2,BH2+(2BH)2=202,BH=4,所以AH=8,在Rt△BCH中,BH2+CH2=BC2,CH=2,所以AC=AH-CH=8-2=612\n≈13.4,答:此时货轮与A观测点之间的距离AC约为13.4km.10、周末,小亮一家在东昌湖游玩,妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图).小船从P处出发,沿北偏东60°划行200米到达A处,接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上,这时小亮与妈妈相距多少米(精确到米)?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)解:作PD⊥AB于点D,由已知得PA=200米,∠APD=30°,∠B=37°,在Rt△PAD中,由cos30°=,得PD=PAcos30°=200×=100米,在Rt△PBD中,由sin37°=,得PB=≈≈288米.答:小亮与妈妈的距离约为288米.12\n12

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发布时间:2022-08-25 21:12:03 页数:12
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文章作者:U-336598

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