黄金冲刺大题之 数列（精选30题）（原卷版）

黄金冲刺大题之数列（精选30题）1．（2024·江苏南通·二模）设数列的前项和为，若，.(1)求，，并证明：数列是等差数列；(2)求.2．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列满足，（）．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：．3．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足且．(1)求数列的通项公式．(2)求数列的前100项和．4．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和.5．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，令，求证：．6．（2024·浙江·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，数列满足.(1)求，，，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前和.7．（2024·重庆·模拟预测）已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)若且，记，讨论数列的单调性．8．（2024·河北邯郸·二模）已知正项数列的前项和为，，且．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．9．（2024·福建三明·三模）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围；(3)记，求证：．10．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，．(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和．11．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．12．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，证明：．13．（2024·全国·模拟预测）已知数列的各项均不小于1，前项和为 是公差为1的等差数列．(1)求数列的通项公式．(2)求数列的前项和．14．（2024·安徽·模拟预测）已知数列的首项，且满足．(1)求的通项公式；(2)已知，求使取得最大项时的值．（参考值：）15．（2024·辽宁·一模）已知为数列的前n项和，满足，且成等比数列，当时，．(1)求证：当时，成等差数列；(2)求的前n项和．16．（2024·湖南岳阳·三模）已知等差数列满足：，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若等差数列的公差不为零且数列满足：，求数列的前项和．17．（2024·湖南·二模）记为数列的前项和，已知.(1)证明：数列是等比数列；(2)求最小的正整数，使得对一切都成立.18．（2024·河北石家庄·二模）已知数列满足(1)写出;(2)证明:数列为等比数列;(3)若，求数列的前项和. 19．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围．20．（2024·湖北·二模）已知各项均不为0的数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)若对于任意成立，求实数的取值范围．21．（2024·湖北·模拟预测）数列中，，，且，(1)求数列的通项公式；(2)数列的前项和为，且满足，，求．22．（2024·全国·模拟预测）已知是各项均为正数的数列的前项和，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．23．（2024·湖北黄石·三模）已知等差数列的前项和为，，，等比数列满足，是，的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列前项的和.24．（2024·山东菏泽·一模）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若，，求证：．25．（2024·山东聊城·二模）已知数列满足为常数，若为等差数列，且． (1)求的值及的通项公式；(2)求的前项和．26．（2024·福建·模拟预测）已知数列的前n项和为，，数列满足，且均为正整数.(1)是否存在数列，使得是等差数列？若存在，求此时的；若不存在，说明理由；(2)若，求的通项公式.27．（2024·河北邢台·二模）已知数列的前项和为，且．(1)求的通项公式；(2)求证：．28．（2024·江苏南通·二模）已知数列的前n项和为，，.(1)证明：数列为等比数列；(2)设，求数列的前n项和；(3)是否存在正整数p，q（），使得，，成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由.29．（2024·辽宁·二模）已知数列的各项是奇数，且是正整数的最大奇因数，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求数列的通项公式.30．（2024·山东·二模）记为数列的前项和，．(1)求和的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明：．