2024学年延安中学九下期中数学试卷（解析版）

福州延安中学2023-2024学年第二学期初三期中质量检测数学（满分150分，完卷时间120分钟）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.2024的倒数是（）11A.2024B.2024C.D.20242024【答案】C【解析】【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义，可得答案，解题的关键是正确理解乘积为1的两个数互为倒数．1【详解】解：2024的倒数是，2024故选：C．2.已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看到的视图．根据三视图进行判断即可，注意看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线表示．【详解】解：从上面可看，是一个矩形，矩形的中间有两条纵向的实线，故选：B．3.2024年中央电视广播总台“春节联欢晚会”，全媒体累计触达14200000000人次，较去年增长29％．数据14200000000用科学记数法表示应是（）A.1199100.14210B.14.210C.1.4210D.1.4210【答案】D第1页/共27页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】此题考查了同底数幂相乘，科学记数法的表示方法．先根据他同底数幂相乘得出结果，再运用科n学计数法进行解答，科学记数法的表示形式为a10的形式，其中1|a|10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正整数；当原数的绝对值1时，n是负整数．【详解】解：依题意，10142000000001.4210故选：D4.下列事件中，属于不可能事件的是（）A.经过红绿灯路口，遇到绿灯B.班里的两名同学，他们的生日是同一天C.射击运动员射击一次，命中靶心D.一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球【答案】D【解析】【分析】根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．【详解】A.经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故本不符合题意；B.班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故不符合题意；C.射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故不符合题意；D.一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，故本选项符合题意；故选：D【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件、必然事件，理解随机事件、不可能事件、必然事件的意义是正确判断的前提．5.下列运算正确的是（）4A.33382432637aa2aB.aaaC.aaaD.aa【答案】A【解析】【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法、除法，幂的乘方等知识．解题的关键在于正确的运算．根据合并同类项，同底数幂的乘法、除法，幂的乘方运算法则进行计算，然后判断即可．【详解】解：A、333aa2a，正确，故符合要求；B、8264aaaa，错误，故不符合要求；C、2356aaaa，错误，故不符合要求；第2页/共27页学科网（北京）股份有限公司 43127D、aaa，错误，故不符合要求．故选：A．6.如图，ABC与DEF是以点O为位似中心的位似图形，若ABC与DEF的面积比4:25，则OA与AD的比是（）A.4:25B.2:5C.2:3D.2:9【答案】C【解析】【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比AB4的平方是解题的关键．根据位似变换的概念得到△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质求出，DE25再根据相似三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：∵ABC与DEF是以点O为位似中心的位似图形，ABC∽DEF，AB∥DE，∵ABC与DEF的面积比4:25，2AB4，DE25AB2∴，DE5AB∥DE，AOB∽DOE，OAAB2，ODDE5∴OA:AD2:3，故选：C．7.某乡镇为了增加农民收入，大力发展种植业，该镇一农户承包荒山种植苹果，收获季节，随机抽取50个苹果并秤得它们的质量如下表（单位：克），则这些苹果重量的众数和中位数分别是（）重量（g）100120140160第3页/共27页学科网（北京）股份有限公司 数量（个）1015187A.140，130B.140，120C.18，17D.18，130【答案】A【解析】【分析】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，则中间的数（或中间两个数据的平均数）就是这组数据的中位数解答即可．【详解】解：总数为50，中位数为第25和26个数的平均值，中位数为(120140)2130，140g的有18个，最多，众数为140，故选：A．8.某厂家2024年1月份生产口罩产量为100万只，3月份生产口罩的产量为144万只，设从1月份到3月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程是（）22A.1001x144B.1001x14422C.1441x100D.1441x100【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设从1月份到3月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据等量关系列出方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键．【详解】解：设从1月份到3月份该厂家口罩产量的平均月增长率为x，2依题意得：1001x144，故选B．9.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，第4页/共27页学科网（北京）股份有限公司 k点B在函数y（k0，x0）的图象上，点D的坐标为6.5,2，则k的值是（）xA.6.5B.2C.13D.13【答案】C【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，根据矩形的性质可得S矩形OGDHS矩形OEBF13，设Ba,b，进而可求得ab13，进而可求解，灵活地将坐标与线段长进行相互转化是解答本题的关键．【详解】解：如图，根据矩形的性质可得：S矩形OGDHS矩形OEBF，∵D6.5,2，OH6.5，OG2，∴S矩形OGDHOH·OG13，设Ba,b，则OEa，OFb，∴S矩形OEBFS矩形OGDHOEOFab13，ab13，k又Ba,b在函数y（k0，x0）的图像上，xkab13，第5页/共27页学科网（北京）股份有限公司 故选C．210.抛物线yxbxc的图象与x轴交于点At2,0，Bt2,0，t为常数，则抛物线顶点的纵坐标是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与x轴的交点问题、二次函数的图象与性质，先利用二次函数的交点式化为顶点式，进而求得顶点坐标即可．2【详解】解：∵抛物线yxbxc的图象与x轴交于点At2,0，Bt2,0，∴yxt2xt2xt2xt22xt4，∴抛物线顶点坐标为t,4，∴抛物线顶点的纵坐标为4，故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11.若x9在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．【答案】x9【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得x90，解得：x9．故答案为：x9【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．12.一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若ABC120，则BCD的度数是______．第6页/共27页学科网（北京）股份有限公司 【答案】150##150度【解析】【分析】本题主要考查垂线的定义及平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键；过点B作BFAE，由题意易得BF∥CD，BAE90，然后根据平行线的性质可进行求解．【详解】解：过点B作BFAE，如图所示：∵CD∥AE，∴BF∥CD，∵BAAE，∴BAE90，∵BFAE，∴ABF180BAE90，∵ABC120，∴FBC30，∵BF∥CD，∴CBFBCD180，∴BCD150；故答案为：150．13.某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为________m．（参考数据：31.732，结果按四舍五八保留一位小数）第7页/共27页学科网（北京）股份有限公司 【答案】12.7【解析】【分析】设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．设DE=xm，在Rt△BDEDEx3DExtan30中，tan603，进而求得AE，在Rt△ADE中，AE33，求BEBE20x3得x，根据CD=CE-DE可得出答案．【详解】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，延长CD交直线AB于点E，依题意则DE⊥AB，则CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，设DE=xm，DEx在Rt△BDE中，tan603BEBE3解得BEx33则AEABBE(20x)m，3DEx3tan30在Rt△ADE中，AE33，20x3解得x10317.3m，∴CD=CE-DE12.7m．故答案为：12.7．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．第8页/共27页学科网（北京）股份有限公司 14.在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，下图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出癸烷中“H”的个数为______．【答案】22【解析】【分析】本题考查图形类规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现“H”的个数的变化特点．根据题目中的图形，可以发现“H”的个数的变化特点，然后即可写出癸烷分子结构式中“H”的个数．【详解】解：由图可得，甲烷分子结构式中“H”的个数是2214；乙烷分子结构式中“H”的个数是2226；丙烷分子结构式中“H”的个数是2238；，癸烷分子结构式中“H”的个数是：221022；故答案为：22．15.如图，O的半径是4，等边ABC内接于O，点D在AC上，点E在BC上，且DOE120，OFAB于点F，则阴影部分的面积是______．16【答案】233【解析】【分析】本题主要考查扇形的面积公式，根据圆的旋转不变性，把阴影部分面积化为弓形的面积和三角形面积是解题的关键．第9页/共27页学科网（北京）股份有限公司 连接OB、OC，过O作OGBC于点G，S扇形BOCS扇形DOE，OCM≌OBN，△OAF≌△OBG进而得到：阴影部分的面积=弓形BEC的面积S△BOGS扇形BOCS△BOCS△BOG，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式，即可求解．【详解】连接OB、OC，ABC是等边三角形，BACABC60，BOC120，DOE120，SS，扇形BOC扇形DOEBOCCONDOECON即COMBON，SSSS扇形BOC扇形COE扇形DOE扇形COE即S扇形BOES扇形COD，在OCM和△OBN中OCOBCOMBONOBNOCM30OCM≌OBN，OBOC4，BOC为等腰三角形，1OBCOCB18012030，2ACO30，过O作OGBC于点G，BGO90，第10页/共27页学科网（北京）股份有限公司 1OGOB2，21BGCGBC23，2BC43OAOBOCOAFOBFOBC30，OFAB，OFA90，在△OAF和△OBG中OAOBOAFOBG30OFAOGB90△OAF≌△OBG∴阴影部分的面积=弓形BEC的面积S△BOGS扇形BOCS△BOCS△BOG，212044322321623，36022316故答案为：23316.如图，在矩形ABCD中，DE平分ADC交BC于点E，连接AE，过点E作EGAE交CD的AF延长线于点G，过点E作EFDE交AD于点F．若ABDG，则的值是______．DF1【答案】2【解析】【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握知识点．由矩形的性质，及角平分线的定义证明△EFA≌△EDG，设ABDCDGx，由△EDC,△FED为等腰直角三角形，得出DF2x，即可求解．第11页/共27页学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：在矩形ABCD中，ADBC,ABDC,CADC90，∵EGAE，EFDE，∴AEFGED，∵DE平分ADC，∴EDC45FDE，∴△EDC,△FED为等腰直角三角形，∵ABDG∴设ABDCDGx，∴在等腰RtEDC中，ED2x，在等腰RtEDF中，ED2x∵EDC45DFE，∴AFEGDE135，∵EFED，∴△EFA≌△EDG，∴AFDGx，AFx1∴，DF2x21故答案为：．2三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．3xx517.解不等式组：2x123x5【答案】4x2【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．5【详解】解：解不等式3xx5，得：x，2解不等式2x123x，得：x4，5则不等式组的解集为4x．2第12页/共27页学科网（北京）股份有限公司 22a11a18.化简并求值：，其中a10．2a1a1a111【答案】，a10【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算除法，然后把a10代入化简后的结果，即可求解．2a1a1a1【详解】解：原式2a1a1a1a1a2aaa12a1a1aaa1a12a1a1a1a1当a10时，原式．1019.如图，点B，F，E，C在一条直线上，ABDC，AD，AB∥DC，求证：BFCE．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据平行线性质求出BC，再证明△ABE≌△DCF，最后证出BECF，即可得出结论．【详解】证明：AB∥CD，BC，在ABE和DCF中，ADABDCBCABE≌DCFASA．第13页/共27页学科网（北京）股份有限公司 BECF，则BFEFCEEF，BFCE．20.如图，已知线段AB、BC，点E在线段BC上．（1）求作四边形ABCD，使得四边形ABCD是平行四边形，并在AD边上截取线段AF，使得AF=CE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：AC、BD、EF相交于同一点．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意作图；（2）连接AC，BD交于点O，连接EF，证明VAFOVCEO(SAS)，由全等三角形的对应角相等解得AOFCOE，可证明线段EF经过点O，据此解答．【小问1详解】解：如图，四边形ABCD即为所求作的平行四边形，AF=CE【小问2详解】连接AC，BD交于点O，连接EF在平行四边形ABCD中，AD//BCDACBCA又QAFCE,AOOCVAFOVCEO(SAS)AOFCOEEF经过点O，第14页/共27页学科网（北京）股份有限公司 AC、BD、EF相交于同一点．【点睛】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角、作线段等于已知线段、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．21.某校为了解学生对“A：古诗词，B：国画，C：闽剧，D：书法”等中国传统文化项目的最喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人限选一项），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图，根据图中的信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共调查了______名学生；扇形统计图中，项目D对应扇形的圆心角为______度；（2）请把折线统计图补充完整；（3）如果该校共有3000名学生，请估计该校最喜爱项目A的学生有多少人？（4）若该校在A，B，C，D四项中任选两项成立课外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好选中项目A和B的概率．【答案】（1）200，90（2）图见解析（3）该校最喜爱项目A的学生约有1200人1（4），列表见解析6【解析】【分析】本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比，能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解题的关键．（1）根据折线统计图中C的人数和扇形统计图中C所占的百分比，求出总数，用360乘以项目D所占的比例即可求出圆心角；第15页/共27页学科网（北京）股份有限公司 （2）分别求出A，B的人数，再补全统计图；（3）用总人数乘以喜爱项目A的占比即可；（4）列表得出所有等可能情况，再根据题意求得概率．【小问1详解】解：调查的总人数为：3015%200（人），50项目D对应扇形的圆心角为：36090，200故答案为：200，90；【小问2详解】B项目人数：20020%40人，A项目人数：20040305080人，补全折线统计图如下：【小问3详解】8030001200（人），200该校最喜爱项目A的学生有1200人；【小问4详解】第一ABCD项第二项第16页/共27页学科网（北京）股份有限公司 AA,BA,CA,DBB,AB,CB,DCC,AC,BC,DDD,AD,BD,C由列表可见，所有可能出现的结果共有12种，并且这些结果出现的可能性相等，其中恰好选中项目A和B的结果有2种，21恰好选中项目A和B的概率为：．12622.【综合与实践】常言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：第17页/共27页学科网（北京）股份有限公司 m0mlMay．其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤陀与零刻线的水平距离为y厘米．【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定m010，M50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．任务一：确定l和a的值．（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．任务二：确定刻线的位置．（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式．a0.51【答案】（1）l5a；（2）101l5a250；（3）；（4）ym．l2.520【解析】【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意．（1）根据题意可直接进行求解；（2）根据题意可直接代值求解；（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；（4）根据（3）可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：m0，y0，∴10l50a，∴l5a；（2）由题意得：m1000，y50，∴101000l50a50，∴101l5a250；l5a（3）由（1）（2）可得：，101l5a250l2.5解得：；a0.5第18页/共27页学科网（北京）股份有限公司 （4）由任务一可知：l2.5，a0.5，∴2.510m500.5y，1∴ym．2023.如图，四边形ABCD是O内接四边形，ABBD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E，连接AC．（1）求证：ADBE；（2）若AC5，DE3，AD17，求O的半径．517【答案】（1）见解析（2）8【解析】【分析】（1）根据平行线得EBCE180，四点共圆得到BADBCE180，再根据等腰三角形的性质即可求证；（2）连接AO并延长交O于点F，过点A作AGCE于点G，连接DF，设DGx，勾股定理得2217x25x2，求出AG，再利用△AFD∽△ACG求出AF，即可解决问题．【小问1详解】证明：AE∥BCEBCE180，四边形ABCD是圆内接四边形，BADBCE180，BADE，又ABBD，ADBBAD，ADBE．【小问2详解】解：连接AO并延长交O于点F，过点A作AGCE于点G，连接DF，第19页/共27页学科网（北京）股份有限公司 AGCE于点G，AGD90，设DGx，∵在RtADG中，AD17，2222AGADDG17x，ADBE，ADCADBBDCEDAE，∴BDCDAE，∵BDCBAC，∴BACDAEBACCADDAECAD，即BADCAE，∵BADE，∴CAEE，∴CACE，∵AC5，DE3，∴CD2，在Rt△ACD中，AC5，CD2，2222AGACCG25x2，2217x25x2，解得x1，2AG1714，∵AF为O的直径，ADF90，ADFAGC90，ADAD，第20页/共27页学科网（北京）股份有限公司 AFDACG，△AFD∽△ACG，AFAD，ACAGAF17，54517AF，41517rAF．28【点睛】本题考查了四点共圆，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练灵活运用知识点是解决本题的关键．224.抛物线yxbxc的图象与x轴交于点A，B1,0（点A在B的左侧），与y轴交于点C，OC3．（1）求抛物线的解析式；1（2）点P是抛物线在第二象限上的点，若tanÐPCA=，求点P的坐标；2（3）在（2）的条件下，点D为x轴负半轴上一点，且DPC2BCO，求证：点C在以BD为直径的圆上．2【答案】（1）yx2x3（2）P5,12（3）见解析【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求得A3,0，从而得OAOC3，OAC45，AC32，设PC交x轴于点Et,0，则AEAOOE3t，过点E作EFAC于点F，23t121由tanÐPCA=，得，解得t1，进而得E1,0，再求出直线PC的解析式，联立2223t2直线PC及抛物线即可得解；（3）过点P作PGx轴于点G，证EOC≌BOCSAS，得ECOBCO，再证△PED∽△CEB，第21页/共27页学科网（北京）股份有限公司 △DOC∽△COB，进而证明DCB90，即可证明结论成立．【小问1详解】2解：抛物线yxbxc的图象与x轴交于点A，B1,0（点A在B的左侧），与y轴交于点C，OC3．C0,3，01bc，3cb2解得，c32yx2x3，【小问2详解】解：当y0，得2x2x30，解得x3，x1，ABA3,0，OAOC3，OAC45，AC32，设PC交x轴于点Et,0，则AEAOOE3t，过点E作EFAC于点F，第22页/共27页学科网（北京）股份有限公司 22AFEFAE3t．2222CFACAF323t3t，221tanPCA，2EF1，CF223t21，223t2解得t1，E1,0，设直线PC的解析式为ykxm，0km，3mk3，m3∴直线PC的解析式为y3x3，y3x3，2yx2x3x5x0解得，，y12y3P5,12，【小问3详解】解：过点P作PGx轴于点G，连接CD，第23页/共27页学科网（北京）股份有限公司 ∵在△EOC和BOC中，OEOBEOCBOC90OCOCEOC≌BOCSAS，ECOBCO，DPC2BCOBCE，PEDCEB，△PED∽△CEB，DEPG124，BEOC3DE4BE8，D9,0，OD9OC3，3，OC3OBODOC，OCOBDOCCOB90，△DOC∽△COB，DCOCBO，CBOOCB90，DCOOCB90，DCB90，第24页/共27页学科网（北京）股份有限公司 ∴点C在以BD为直径的圆上．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质，一次函数的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，圆周角定理的推论，熟练掌握相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质以及圆周角定理的推论是解题的关键．25.如图，在正方形ABCD中，将边AB绕A点逆时针旋转30°，得到线段AE，连接BE，CE，DE，AC．DE交AC于点F．（1）求证：BECE；AF（2）求的值；CF12（3）求证：AFEFBC．3【答案】（1）见解析（2）3（3）见解析【解析】【分析】（1）根据以及BAE30以及正方形性质可求出EAD60，由AEABAD，可得△AED为等边三角形，进而证得CDEBAE30，根据SAS可证△ABE≌△DCE，进而证得结论；AFDGAFDGDG（2）过点F作FGDC于点G，有FG∥AD，可证，而CGFG，，CFCGCFCGFGFG3DGtanFDGtan30，可求出的值进而求解；DG3FG（3）根据DECD，CDE30，可证DECDCE75，根据外角定理可证CEFCFE75，CEDE证得CECF，证得△DEC∽△CEF，有，有2CEFEAD，CECF，ADBC，FECE23有CFEFBC，而CFAF，代入即可得到结论．3【小问1详解】证明：∵四边形ABCD为正方形，第25页/共27页学科网（北京）股份有限公司 ∴ABBCCDAD，ADCBAD90，ACD45∵将边AB绕A点逆时针旋转30°，得到线段AE，∴ABAE，BAE30，∴AEAD，EAD903060，∴VADE为等边三角形，∴DEAEAD，ADE60，∴CDEADCADE30，∴BAECDE，∴在ABE和△DCE中，ABDCBAECDEAEDE∴△ABE≌△DCE(SAS)，∴BECE，【小问2详解】解：过点F作FGDC于点G，即FGC90，∴FGCADC，∴FG∥AD，AFDG∴，CFCG∵在Rt△CFG中，ACD45，∴GFC45，∴FGCG，∵在Rt△FGD中，CDE30第26页/共27页学科网（北京）股份有限公司 FG3tanFDG，DG3DG∴3，FGAF∴3．CF【小问3详解】证明：∵DECD，CDE30，∴DECDCE75，∵EFCEDCACD75，∴CEFCFE75，∴CECF，∴ECDEFC，∵CEDFEC，∴△DEC∽△CEF，CEDE∴，FECE∴2CEFEDE，∴2CEFEAD，∴2CFEFBC，12∴AFEFBC．3【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，特殊角的三角函数，相似三角形的判定和性质等知识，作出辅助线，并找到相应的全等三角形和相似三角形是求解的关键．第27页/共27页学科网（北京）股份有限公司