三明中学2023-2024学年高三暑期考试数学试卷（解析版）

三明中学2023-2024学年高三暑期考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知角的终边上有一点的坐标为，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用任意角的三角函数定义进行判断.【详解】因为角的终边上有一点的坐标为，所以，故A，B，C错误.故选：D2.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由对数型函数的值域结合集合运算判定选项即可.【详解】由题意可得，即，所以，，，即A、B、C三选项错误，D正确.故选：D3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则B等于（）A.30°B.45°C30°或150°D.45°或135°【答案】D【解析】【分析】由正弦定理求解．【详解】由正弦定理得，，又，即，又∵，∴或，故选：D．4.已知，，，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第15页/共15页,【分析】首先由的范围及同角三角函数的平方关系和商数关系得出，再根据诱导公式得出，由两角差的正切公式计算即可．【详解】因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，故选：A．5已知，则（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件结合诱导公式进行角的变换，再利用二倍角公式计算作答.【详解】因，所以.故选：B6.垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为，经过10个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据：）A.20B.27C.32D.40【答案】B【解析】【分析】根据和的两组值求出，再根据求出即可得解.【详解】依题意得，解得，，则，这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以，所以，所以.故选：B7.若过点可以作曲线的两条切线，则（）第15页/共15页,A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设切点坐标为，由切点坐标求出切线方程，代入坐标，关于的方程有两个不同的实数解，变形后转化为直线与函数图象有两个交点，构造新函数由导数确定函数的图象后可得.【详解】设切点坐标为，由于，因此切线方程为，又切线过点，则，，设，函数定义域是，则直线与曲线有两个不同的交点，，当时，恒成立，在定义域内单调递增，不合题意；当时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，结合图像知，即.故选：D.8.已知在上存在唯一实数使，又，对任意的，均有成立，则实数ω的取值范围是（）A.B.C.D.第15页/共15页,【答案】A【解析】【分析】由三角恒等变换化简函数式，利用不等式恒成立得出的最大值，从而求得值，然后利用正弦函数性质根据题中唯一解的条件求得的范围．【详解】，∴，又对任意的，均有成立，即，所以恒成立，即恒成立，∴的最大值是，所以，又，所以，∴，时，又，∴，，，是唯一的，因此有，解得．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题是真命题的是（）A.，使函数在R上为偶函数B.，函数的值恒为正数C.，D.，【答案】AC【解析】【分析】对AC例说明其正确性，对BD可举例说明其是错误．【详解】对A，当时，函数为，满足，即函数为偶函数，正确；对B，当时，，B错；对C，当时，，正确；对D，当时，，而，D错．故选：AC．第15页/共15页,10.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）A.B.是图象的一个对称中心C.当时，取得最大值D.函数在区间上单调递增【答案】BD【解析】【分析】求得函数的解析式判断选项A；代入验证判断选项B；代入验证判断选项C；代入验证判断选项D.【详解】选项A：将函数的图象向右平移个单位长度得到函数.判断错误；选项B：，则是图象的一个对称中心.判断正确；选项C：，当时，取得最小值.判断错误；选项D：由，可得则函数在区间上单调递增.判断正确.故选：BD11.主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声.设噪声声波曲线函数为，降噪声波曲线函数为，已知某噪声的声波曲线部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）第15页/共15页,A.B.C.的单调减区间为，（）D.图像可以由图像向右平移个单位得到【答案】AB【解析】【分析】由图象求出解析式，依据题意得出解析式，对各选项逐个辨析即可.【详解】对于A，由已知，，∴，故选项A正确；对于B，∵，∴由图象知，，∴，又∵，且在的单调递减区间上，∴，（），∵，∴，又∵，∴，∴，故选项B正确；对于C，，由，（），解得，（），∴的单调减区间为，（），故选项C错误；对于D，图像向右平移个单位得到：，故选项D错误.故选：AB.第15页/共15页,12.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）A.的图象关于对称B.的图象关于对称C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据偶函数与奇函数得到对称，并得到周期，结合以上信息即可得到.【详解】为偶函数，关于对称，根据图像变换关于对称，故A正确；为奇函数，关于中心对称，根据图像变换关于中心对称，故B错误；由以上分析得的周期为，即，故C正确；关于中心对称，，，关于对称，，,，是周期为的函数，，，，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.化简的结果为________．【答案】【解析】【分析】根据诱导公式化简得解，注意需变函数名时三角函数的符号．【详解】原式．【点睛】本题考查诱导公式，注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的运用要领，特别是需要变函数名时，函数的符号，此题属于基础题.第15页/共15页,14.已知，若，则______．【答案】【解析】【分析】构造新函数，利用的奇偶性求解．【详解】设，易知的定义域是，又，∴是奇函数，∵，所以，∴，故答案为：．15.在中，，，则的形状为______．【答案】等边三角形【解析】【分析】由正弦定理化角为边得，再代入另一已知条件得，从而得三角形形状．【详解】由正弦定理，所以，代入得，∴，所以，三角形为等边三角形，故答案为：等边三角形．16.已知恒成立，则t的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】由已知不等式变形为，构造函数，借助函数单调性，可得恒成立，通过分离参数，以及构造导数求得t的取值范围.【详解】由，得，所以，即，即恒成立，构造函数，上式即为恒成立，因为，所以在R上单调递增，则可得恒成立，所以，即，第15页/共15页,再设，因为，所以当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以，从而，即t的取值范围是.故答案为：【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.在中，．（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.【小问1详解】解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.第15页/共15页,18.已知.（1）若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；（2）若在区间上存在单调递增区间，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）函数求导后，函数在区间内单调递增，转换成在上恒成立，孤立参数得，转换成求函数最大值，从而得实数的取值范围；（2）函数求导后，在区间上存在单调递增区间转换成在上能成立，孤立参数得，转换成求函数最小值，从而得实数的取值范围.【小问1详解】解：，在区间内单调递增在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，，在，则的取值范围是：.【小问2详解】解：在上存在单调递增区间，则在上有解，即在上有解，，又，.则的取值范围是：.19.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且.⑴写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；⑵当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入第15页/共15页,年总成本）.【答案】(1)详见解析;(2)千件.【解析】【详解】试题分析：由年利润＝年销售收入年总成本，结合，即可得到所求的解析式；由的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．解析：⑴当时，；当时，.故，⑵①当时，由，得当时，，单调递增；当时，，单调递减.故；②当时，，当且仅当时，.综合①、②知，当时，取最大值.所以当年产量为千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大.20.已知函数.（1）求函数在区间上的最值；（2）若，，求的值.【答案】（1）最大值为，最小值为（2）【解析】第15页/共15页,【分析】（1）先逆用正弦的和差公式化简得，再利用正弦型函数的单调性求得的最值；（2）先利用三角函数的平方关系求得，再利用倍角公式求得，进而利用正弦的和差公式求得.【小问1详解】因为，又，所以，故，所以，所以函数在区间上的最大值为，最小值为；【小问2详解】因为，，所以，所以，，所以.21.在下面的三个条件中任选一个补充到问题中，并给出解答．①，②，③，，．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______．（1）求角C；（2）若，求周长的取值范围．【答案】（1）（2）第15页/共15页,【解析】【分析】（1）选①，由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式等化简求得；选②，由两角和与差的正弦公式变形求解；选③，由垂直的向量表示得出边的关系，再由余弦定理求角；（2）由余弦定理得边关系后，结合基本不等式和三角形性质得周长范围．【小问1详解】选①：由正弦定理及，得，又∵，∴．∵，∴．又∵，∴．选②：由，得，即，∴．∵，∴，∴，∴．选③：∵，∴，化简得，∴．∵，∴．【小问2详解】由余弦定理得．∵，∴，当且仅当时等号成立．∴，∴，当且仅当时等号成立．∴．又∵，∴．∴周长的取值范围为．22.已知曲线C：（1）若曲线C过点，求曲线C在点P处的切线方程；（2）当时，求在上的值域；（3）若，讨论的零点个数．第15页/共15页,【答案】（1）（2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由导数得切线斜率，然后由点斜式得切线方程并化简；（2）由导数的正负确定单调性进而即得；（3）先求得，得的单调性，然后讨论的正负，结合零点存在定理得零点个数．【小问1详解】依题意得，，此时，，则切线斜率为，故切线方程：，即；【小问2详解】当时，，则，∴，∴在上单调递减，又，，故值域为．【小问3详解】，令得，令得，令得．减区间为，增区间为，∴．当时，，∴，∴在上有且仅有一个零点．当时，令，，∴在上单调递增，∴，即，又，∴在上有一个零点，又令，则，∴在上单调递减，∴，∴，∴在上有一个零点．综上所述，时，有一个零点，时，有2个零点.【点睛】第15页/共15页,方法点睛：利用导数确定零点个数问题，方法是利用导数确定函数的单调性，得出函数的最值，然后确定最值的正负（有时需要再次引入新函数，由新函数的导数得出结论）同时确定某些函数值的正负，从而利用零点存在定理得出零点的个数．第15页/共15页